2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例新人教A版必修2.doc

课时素养评价 十
平面几何中的向量方法　向量在物理中的应用举例

　　　　　(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F做的功为 (　　)

A.100焦耳 B.50焦耳
C.50焦耳 D.200焦耳
【解析】选B.设小车位移为s，则|s|=10米，WF=F·s=|F||s|·cos 60°
=10×10×=50(焦耳).
2.(2019·蒙阴实中高一月考)在△ABC中，D为BC边的中点，已知=a，=b，则下列向量中与同方向的是 (　　)
A. B.+
C. D.-
【解析】选A.因为D为BC边的中点，则有+=2，所以a+b与共线，又因为与a+b共线，所以选项A正确.
3.(2019·新泰一中高一检测)若四边形ABCD满足+=0，(-)·=0，则该四边形一定是 (　　)
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.直角梯形
【解析】选C.因为+=0，所以=，所以四边形ABCD是平行四边形.由(-)·=0，得·=0，所以⊥，即此平行四边形对角线互相垂直，故一定是菱形.
4.(多选题)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足=2a，=2a+b，则下列结论正确的是 (　　)
A.|b|=1 B.|a|=1
C.a∥b D.(4a+b)⊥
【解析】选B、D.如图，

由题意，=-=(2a+b)-2a=b，则|b|=2，故A错误；|2a|=2|a|=2，所以|a|=1，B正确；因为=2a，=b，故a，b不平行，C错误；设BC的中点为D，则+=2，且⊥，而2=2a+(2a+b)=4a+b，所以(4a+b)⊥，故D正确.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知△ABC的三个顶点A(0，-4)，B(4，0)，C(-6，2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点.则直线DE的方程为________，直线EF的方程为________. 
解析】由已知得点D(-1，1)，E(-3，-1)，
设M(x，y)是直线DE上任意一点，
则∥.
又=(x+1，y-1)，=(-2，-2)，
所以(-2)×(x+1)-(-2)×(y-1)=0，
即x-y+2=0为直线DE的方程.
同理可求，直线EF的方程为x+5y+8=0.
答案：x-y+2=0　x+5y+8=0
6.设O是△ABC内部一点，且+=-2，则△AOB与△AOC的面积之比为________. 
【解析】设D为AC的中点，
如图所示，连接OD，则+=2.

又+=-2，
所以=-，即O为BD的中点，
从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.
答案：1∶2
三、解答题(共26分)
7.(12分)如图所示，若D为△ABC内一点，且|AB|2-|AC|2=|DB|2-|DC|2，求证：AD⊥BC.

【证明】设=a，=b，=e，=c，=d，
则a=e+c，b=e+d，
所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2
=c2+2e·c-2e·d-d2.
因为a2-b2=c2-d2，
所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2，
所以e·(c-d)=0.
因为=+=d-c，
所以·=e·(d-c)=0.
又因为≠0，≠0，
所以⊥，即AD⊥BC.
8.(14分)某物体受到两个大小均为60 N的力的作用，两个力的夹角为60°，且有一个力的方向为水平方向，求合力的大小及方向.
【解析】如图，设，分别表示两个力，以OA，OB为邻边作▱OACB，则就是合力.根据题意，△OAC为等腰三角形且∠COA=30°，
过点A作AD⊥OC，垂足为D.

在Rt△OAD中，||=||·cos 30°=60×=30，故||=2||=60.故合力的大小为60 N，方向与水平方向成30°角.

　(15分钟·30分)
1.(4分)O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(-)·(+)=(-)·(+)=0，则O为△ABC的 (　　)
A.内心 B.外心
C.重心 D.垂心
【解析】选B.因为()·(+)=0，
则(-)·(+)=0，
所以-=0，
所以||=||.同理可得||=||，
即||=||=||，
所以O为△ABC的外心.
2.(4分)甲、乙两人同时用力，拉起一个有绳相缚的物体处于静止状态，如图，当甲、乙所拉着的绳子与铅垂线分别成30°、60°的角时，甲和乙的手上所承受的力之比是 (　　)

A.1∶ B.∶1
C.1∶ D.∶1
【解析】选D.如图，设物体重量为G，

则|F甲|=Gsin 60°=G，
|F乙|=Gsin 30°=G，
所以|F甲|∶|F乙|=∶1，
故选D.
3.(4分)(2019·黄山高一检测)单位圆上三点A，B，C满足++=0，则向量，的夹角为________.  
【解析】因为A，B，C为单位圆上三点，所以||=||=||=1，又因为++=0.
所以-=+.所以=(+)2=++2·，可得cos<，>=-.所以向量，的夹角为120°.
答案：120°
4.(4分)在△ABC所在平面上有一点P，满足++=，则△PAB与△ABC的面积的比值是________. 
【解析】由题意可得=2，
所以P是线段AC的三等分点(靠近点A)，
易知S△PAB=S△ABC，即S△PAB∶S△ABC=1∶3.
答案：1∶3
5.(14分)某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.
【解析】设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v-a，设=-a，=-2a，=v，因为+=，

所以=v-a，
这就是感到由正北方向吹来的风速，
因为+=，所以=v-2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.
由题意：∠PBO=45°，PA⊥BO，BA=AO，从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO=PB=a，即|v|=a，所以实际风是每小时a千米的西北风.

1.已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为(-2，0)，O为原点，则·的最大值为________.  
【解析】设P(cos α，sin α)，=(2，0)，
=(cos α+2，sin α).
则·=2(cos α+2)≤6，
当且仅当cos α=1时取等号.
答案：6
2.在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，M是AC边上靠近A点的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PC⊥BM？
【解析】以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
由于AB=AC=5，BC=6，
所以B(0，0)，A(3， 4)，C(6，0).则=(3，-4)，
由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点.
所以==，于是M，
所以=，
假设在BM上存在点P使得PC⊥BM，

则设=λ，且0<λ<1，即=λ=，所以=+=(-6，0)+=
由于PC⊥BM，所以·=0，
得4(4λ-6)+λ·=0，解得λ=.
由于λ=∉(0，1)，所以线段BM上不存在点P使得PC⊥BM.

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