1、第1课时 函数的单调性及函数的平均变化率A基础达标1如图是函数yf(x)的图像，则此函数的单调递减区间的个数是()A1B2C3 D4解析：选B.由图像，可知函数yf(x)的单调递减区间有2个故选B.2下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是()Ay3x Byx21Cy Dy|x1|解析：选B.y3x，y，y|x1|在(0，2)上都是减函数，只有yx21在(0，2)上是增函数3若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是()Af(a)f(2a) Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a) Df(a21)a2，所以f(a21)f(a2)故选D.4函数y|x2|在区间3，0上()A递减
2、B递增C先减后增 D先增后减解析：选C.因为y|x2|作出y|x2|的图像，如图所示，易知在3，2)上为减函数，在2，0上为增函数5(2019宣城检测)已知函数yax和y在(0，)上都是减函数，则函数f(x)bxa在R上是()A减函数且f(0)0B增函数且f(0)0D增函数且f(0)0解析：选A.因为yax和y在(0，)上都是减函数，所以a0，b0，所以f(x)bxa为减函数且f(0)a0，故选A.6已知函数f(x)则f(x)的单调递减区间是_解析：当x1时，f(x)是增函数，当x1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间为(，1)答案：(，1)7如果二次函数f(x)x2(a1)x5在
3、区间上是增函数，则实数a的取值范围为_解析：因为二次函数f(x)x2(a1)x5的图像的对称轴为直线x，又函数f(x)在区间上是增函数，所以，解得a2.答案：(，28已知函数f(x)在R上是减函数，A(0，2)，B(3，2)是其图像上的两点，那么不等式2f(x)2的解集为_解析：因为A(0，2)，B(3，2)在函数yf(x)的图像上，所以f(0)2，f(3)2，故2f(x)2可化为f(0)f(x)f(3)，又f(x)在R上是减函数，因此3x0.答案：(3，0)9作出函数f(x)的图像，并指出函数的单调区间解：f(x)的图像如图所示，由图像可知，函数的单调递减区间为(，1和(1，2；单调递增区间
4、为(2，)10已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域；(2)证明函数f(x)在1，)上是增函数解：(1)由题意知x10，即x1.所以f(x)的定义域为(，1)(1，)(2)证明：x1，x21，)，且x1x2，则f(x2)f(x1).因为x10.又因为x1，x21，)，所以x210，x110.所以f(x2)f(x1)0，所以f(x2)f(x1)所以函数f(x)在1，)上是增函数B能力提升11函数y的单调递增区间是()A(，3 B.C(，1) D1，)解析：选B.由2x30，得x.又因为t2x3在(，)上单调递增，y在定义域上是增函数，所以y的单调递增区间是.12已知函数f(x)是(，)上的减
5、函数，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A.当x0的实数a的取值范围解：由题意，可得f(12a)f(3a)因为f(x)在定义域1，4上单调递减，所以，解得1a0，所以实数a的取值范围为1，014已知函数f(x)x在(1，)上是增函数，求实数a的取值范围解：设1x11.因为函数f(x)在(1，)上是增函数，所以f(x1)f(x2)x1(x1x2)0.因为x1x20，即ax1x2.因为1x11，所以x1x21，所以a1.所以a的取值范围是1，)C拓展探究15设f(x)x21，g(x)f(f(x)，F(x)g(x)f(x)问是否存在实数，使F(x)在区间上是减函数且在区间上是增函数？解：假设存在这样的实数，则由f(x)x21，g(x)f(f(x)，得g(x)(x21)21，所以F(x)g(x)f(x)x4(2)x22.令tx2，则tx2在(，0)上递减，且当x时，t；当x时，0t.故要使F(x)在上递减，在上递增，则函数(t)t2(2)t2在上递增，在上递减，所以函数(t)t2(2)t2的图像的对称轴t为t，即，则3.故存在这样的实数(3)，使F(x)在区间上是减函数且在区间上是增函数- 5 -
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