2019_2020学年新教材高中数学第五章统计与概率5.1.4用样本估计总体课后篇巩固提升新人教B版必修第二册.docx

5.1.4　用样本估计总体
课后篇巩固提升
夯实基础
1.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如表所示:

甲
乙
丙
丁
x
8.5
8.8
8.8
8
s2
3.5
2.1
3.5
8.7

则参加奥运会的最佳人选为(　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案B
2.有一个容量为200的样本,样本数据分组为[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150],其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为(　　)

A.48 B.60 C.64 D.72
答案B
解析由(0.0050+0.0075+0.0100+0.0125+a)×20=1,解得a=0.015,
所以数据落在区间[90,110)内的频率为0.015×20=0.3,
所以数据落在区间[90,110)内的频数为200×0.3=60,故选B.
3.(多选)某班进行了一次数学测试,全班学生的成绩都落在区间[50,100]内,其成绩的频率分布直方图如图所示,则该班学生这次数学测试成绩的中位数和众数的估计值为(　　)

A.81.5 B.75
C.81.25 D.85
答案CD
解析因为(0.005+0.015+0.025)×10=0.45<0.5,(0.005+0.015+0.025+0.040)×10=0.85>0.5,所以该班学生这次数学测试成绩的中位数落在[80,90)之间.设中位数为x,因为(0.005+0.015+0.025)×10+0.04×(x-80)=0.5,所以所求中位数为x=81.25.众数在[80,90)之间,为85.故选CD.
4.下图是1,2两组各7名同学体重(单位:千克)数据的茎叶图.设1,2两组数据的平均数依次为x1和x2,标准差依次为s1和s2,那么(　　)

A.x1s2
C.x1>x2,s1>s2 D.x1>x2,s1依题意x1=53+56+57+58+61+70+727=61,s1≈6.72,x2=54+56+58+60+61+72+737=62,s2≈6.99.故x1y-1.4)2≥2x+y-2.822=0.72,
当且仅当x-1.4=y-1.4,即x=y=2时,取等号,此时总体标准差最小,所以4x+2y=12,故选A.
6.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:
[11.5,15.5),2;[15.5,19.5),4;[19.5,23.5),9;
[23.5,27.5),18;[27.5,31.5),11;[31.5,35.5),12;
[35.5,39.5),7;[39.5,43.5],3.
根据样本的频率分布估计数据落在[31.5,43.5]内的概率约为　　　　　. 
答案13
解析由已知,样本容量为66,而落在[315,43.5]内的样本数为12+7+3=22,
故所求概率约为2266=13.
7.从某校期中考试数学试卷中抽取样本,考察成绩分布,将样本分成5组,绘成频率分布直方图,图中各小长方形面积之比从左至右依次为1∶3∶6∶4∶2,第一组的频数是4.

(1)求样本容量及各组对应的频率;
(2)根据频率分布直方图估计成绩的平均数和中位数(结果保留两位小数).
解(1)因为第一组频数为4,从左到右各小长方形的面积之比为1∶3∶6∶4∶2,所以设样本容量为n,得(1+3+6+4+2)∶n=1∶4,
则n=64,即样本容量为64.
各组频率依次为116=0.0625,
316=0.1875,
616=0.375,
416=0.25,
216=0.125.
(2)平均数x=116×55.5+316×65.5+616×75.5+416×85.5+216×95.5≈77.38,
设中位数为x,则116+316+(x-70.5)×616×110=0.5,解得x≈77.17.
能力提升
1.(多选)统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分),根据成绩分数依次分成六组:
[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到频率分布直方图如图所示,且不低于140分的人数为110.
有以下说法
①m=0.031;②n=800;③100分以下的人数为60;④分数在区间[120,140)的人数占大半.
其中说法正确的是(　　)

A.① B.② C.③ D.④
答案AC
解析由题意,根据频率分布直方图的性质得10(m+0.020+0.016+0.016+0.011+0.006)=1,
解得m=0.031.故①正确;
因为不低于140分的频率为0.011×10=0.11,
所以n=1100.11=1000,故②错误;
由100分以下的频率为0.006×10=0.06,
所以100分以下的人数为1000×0.06=60,
故③正确;
分数在区间[120,140)的频率为0.031×10+0.016×10=0.47,故④错误.
所以说法正确的是①③.
故选AC.
2.第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行.如下图所示的茎叶图是两位选手在运动会前期选拔赛中的比赛得分,则下列说法正确的是(　　)

A.甲的平均数大于乙的平均数
B.甲的中位数大于乙的中位数
C.甲的方差大于乙的方差
D.甲的极差小于乙的极差
答案C
解析由于x甲=29,x乙=30,x甲s乙2,故C选项正确.甲的极差为59-11=48,乙的极差为51-12=39,48>39,故D选项错误.故选C.
3.空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的质量指数.空气质量按照AQI大小分为六级:0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;大于300为严重污染.一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图.利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数(按这个月总共30天计算)为　　　　　. 

答案18
解析根据茎叶图,可得该样本中空气质量优的天数为2,空气质量良的天数为4,
故该样本中空气质量优良的频率为610=35,估计该地本月空气质量优良的频率为35,
从而估计该地本月空气质量优良的天数为30×35=18.
4.某校从高二年级学生中随机抽取60名学生,将期中考试的政治成绩(均为整数)分成六段:[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100]后得到如下频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图,分别求a,众数,中位数;
(2)估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分;
(3)用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本,则在[70,90)分数段抽取的人数是多少?
解(1)由题意可得,(0.01+0.015×2+a+0.025+0.005)×10=1,解得a=0.03.
根据频率分布直方图可知[70,80)分数段的频率最高,因此众数为75.
又由频率分布直方图可知[40,70)分数段的频率为0.1+0.15+0.15=0.4,因为[70,80)分数段的频率为0.3,
所以,中位数为70+13×10=2203.
(2)估计该校高二年级学生政治成绩的平均分为
(45×0.01+55×0.015+65×0.015+75×0.03+85×0.025+95×0.005)×10=71.
(3)因为总体共60名学生,样本容量为20,因此抽样比为2060=13.
又在[70,90)分数段共有60×(0.3+0.25)=33(人),
因此,在[70,90)分数段抽取的人数是33×13=11.
5.某体校为了备战明年四月份省划艇单人双桨比赛,对本校甲、乙两名划艇运动员在相同条件下进行了6次测试,测得他们划艇最大速度(单位:m/s)数据如下.
甲:27,38,30,37,35,31.
乙:33,29,38,34,28,36.
(1)试用茎叶图表示甲、乙两名运动员测试的成绩;
(2)根据测试的成绩,你认为派哪名运动员参加明年四月份的省划艇单人双桨比赛比较合适?并说明你的理由.

解(1)用茎叶图表示甲、乙两名运动员测试的成绩如下.
(2)甲的平均数x1=16(27+30+31+35+37+38)=33,
乙的平均数x2=16(28+29+33+34+36+38)=33,
甲的方差s12=16[(27-33)2+(30-33)2+(31-33)2+(35-33)2+(37-33)2+(38-33)2]=946=473,
乙的方差s22=16[(28-33)2+(29-33)2+(33-33)2+(34-33)2+(36-33)2+(38-33)2]=766=383,
所以甲和乙的平均数相等,甲的方差大于乙的方差,
故乙的成绩较稳定,派乙运动员参加明年四月份的省划艇单人双桨比赛比较合适.

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