1、2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程(2)会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.知识点一b24ac()的取值与根的个数间的关系b24ac()根的情况b24ac0方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实数根，即x1，x2b24ac0方程ax2bxc0(a0)有两个相等的实数根，即x1x2b24ac0方程ax2bxc0(a0)无实数根知识点二一元二次方程根与系数的关系若x1，x2是一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个根，则x1x2，x1x2.应用一元二次方程的根与系数的关系时，常
2、有以下变形：(1)xx(x2x1x2x)2x1x2(x1x2)22x1x2；(2)(x1x2)2(x1x2)24x1x2；(3)|x1x2|；(4)；(5).基础自测1方程x22kx3k20的根的情况是()A有一个实数根 B有两个不相等的实数根C有两个相等的实数根 D没有实数根解析：(2k)212k212k212k20.答案：C2已知x1，x2是关于x的方程x2bx30的两根，且满足x1x23x1x25，那么b的值为()A4 B4C3 D3解析：由题知x1x2b，x1x23，则x1x23x1x2b3(3)5，解得b4.答案：A3若代数式x26x5的值是12，则x的值为()A7或1 B1或5C1
3、或5 D不能确定解析：由题意得x26x512，x26x5120，x26x70，x，解得x11，x27.故选A.答案：A4已知一元二次方程x22x10的两根分别为x1，x2，则_.解析：因为x1，x2是方程x22x10的两个根，所以x1x22，x1x21，所以2.答案：2题型一方程根个数的判断及应用经典例题例1若关于x的不等式x1的解集为x1，试判断关于x的一元二次方程x2ax10的根的情况【解析】解不解式x1，得x1，而不等式x1的解集为x1，所以11，解得a0，所以一元二次方程的根的判别式a2440，0，0时，方程有两个不相等的实数根x1,2；(2)当0时，方程有两个相等的实数根x1x2；(
4、3)当0，即4(13k)0，所以k0满足若x10，方程有两个不相等的实数根故选B.答案：B2若关于x的一元二次方程x22(m1)xm20的两个实数根分别为x1，x2，且x1x20，x1x20，则m的取值范围是()Am Bm且m0Cm1 Dm0，x1x2m20，m1Ck0，且m50，解得m0，则x1，x2.(2)方程整理得3x210x80，a3，b10，c8，10096196，x1，x24.9若关于x的方程x22xm10没有实数根，试说明关于x的方程x2mx12m1一定有实数根解析：方程x22xm10没有实数根，此方程的判别式2241(m1)0，解得m0.而方程x2mx12m1的根的判别式m241(12m1)m248m4，m0，48m0.m248m40，即0，方程x2mx12m1有两个不等的实数根，即一定有实数根尖子生题库10已知关于x的一元二次方程x2(2k1)xk2k10有实数根(1)求k的取值范围；(2)若此方程的两个实数根x1，x2满足xx11，求k的值解析：(1)因为关于x的一元二次方程x2(2k1)xk2k10有实数根所以0，即(2k1)241(k2k1)8k50，解得k.(2)由题知x1x22k1，x1x2k2k1，所以xx(x1x2)22x1x2(2k1)22(k2k1)2k26k3.因为xx11，所以2k26k311，解得k4或k1，因为k，所以k1.- 8 -
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