东城区20112012学年度第一学期期末教学统一检测.doc

东城区2011-2012学年度第一学期期末教学统一检测

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东城区2011-2012学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学 （理科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）在复平面内，复数对应的点位于
(A)第一象限　 （B） 第二象限　 （C） 第三象限　 （D） 第四象限
（3）下列命题中正确的是
（A）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行
（B）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
（C）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面
（D）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面

（4）一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中△ABC是边长
为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧(左)
视图的面积为
（A）　 （B） （C） （D）

（5）在平面直角坐标系内，若曲线：上所有的点均在第二象限内，则实数的取值范围为
（A） （B） （C） （D）

（6）如图所示，点是函数的图象的最高点，，是该图象与轴的交点，若，则的值为
（A） （B） （C） （D）
（7）对于函数，有如下三个命题：
①是偶函数；
②在区间上是减函数，在区间上是增函数；
③在区间上是增函数．
其中正确命题的序号是
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③
（8）已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知，那么的值为　 ．
（10）若非零向量，满足，则与的夹角为 ．
（11）已知函数那么的值为 ．

y
x
A
F
O
B
（12）在等差数列中，若，，则数列的公差等于 ；
其前项和的最大值为 ．
（13）如图，已知椭圆的左顶点为，左焦点为，
上顶点为，若，则该椭圆的离心率是 .
(14)已知不等式≤，若对任意且，该不等式恒成立，则实
数的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知△中，角，，的对边分别为，，，且，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求△的面积．

（16）（本小题共13分）
在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且， ．
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）证明：≤．

（17）（本小题共14分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的
中点，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）点在线段上，，试确定的值，
使平面；
（Ⅲ）若平面，平面平面，
求二面角的大小．

（18）（本小题共13分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）求证：函数在区间上是增函数；
（Ⅱ）若函数在处取得最大值，求的取值范围．

（19）（本小题共13分）
已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为△的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

（20）(本小题共14分)
已知是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，①方程有实数根；②函数的导数满足．
（Ⅰ）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性质：若的定义域为，则对于任意，都存在，使得等式成立．试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根；
（Ⅲ）对任意，且，求证：对于定义域中任意的，，，当，且时，.

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高三数学参考答案及评分标准 （理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）A （3）D （4）C
（5）D （6）B （7）A （8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10） （11）
（12） 57 （13） （14）≥
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）由已知，
整理得． ………………2分
因为，
所以.
故，解得. ……………4分
由，且，得.
由，即，
解得. ………………7分
（Ⅱ）因为，又，
所以，解得. ………………10分
由此得，故△为直角三角形，，．
其面积． ………………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）设的公差为，
因为所以
解得 或（舍），．
故 ，． ……………6分
（Ⅱ）因为，
所以． ………9分
故
． ………11分
因为≥，所以≤，于是≤，
所以≤．
即≤． ……………13分

（17）（共14分）
证明：（Ⅰ）连接 ．
因为四边形为菱形，，
所以△为正三角形．又为中点，
所以．
因为,为的中点，
所以．
又，
所以平面． ………………4分
（Ⅱ）当时，∥平面．
下面证明：
连接交于，连接．
因为∥，
所以．
因为∥平面，平面，平面平面，
所以∥.
所以．
所以，即．
因为，
所以．
所以，
所以∥.
又平面，平面，
所以∥平面． …………9分
（Ⅲ）因为，
又平面平面，交线为，
所以平面．
以为坐标原点，分别以所在的直
线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
由===2，
则有，，．
设平面的法向量为=，
由，
且，，
可得
令得．
所以=为平面的一个法向量．
取平面的法向量=，
则，
故二面角的大小为60°． …………14分

（18）（共13分）
证明：（Ⅰ）．
因为且，所以．
所以函数在区间上是增函数． …………6分
（Ⅱ）由题意.
则. …………8分
令，即. ①
由于 ，可设方程①的两个根为，，
由①得，
由于所以，不妨设，
．
当时，为极小值，
所以在区间上，在或处取得最大值；
当≥时，由于在区间上是单调递减函数，所以最大值为，
综上，函数只能在或处取得最大值． …………10分
又已知在处取得最大值，所以≥，
即≥，解得≤，又因为，
所以（］． ………13分

（19）（共13分）
解：（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，，
故椭圆方程为． 　　　　 …………5分
（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心，
设，
因为，，故． …………7分
于是设直线的方程为，
由得．
由，得， 且,． ……9分
由题意应有，又，
故，
得．
即．
整理得．
解得或． …………12分
经检验，当时，△不存在，故舍去．
当时，所求直线存在，且直线的方程为．
…………13分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）因为①当时，，
所以方程有实数根0；
②，
所以，满足条件；
由①②，函数是集合中的元素. …………5分
（Ⅱ）假设方程存在两个实数根，，
则，.
不妨设，根据题意存在，
满足.
因为，，且，所以.
与已知矛盾.又有实数根，
所以方程有且只有一个实数根. …………10分
（Ⅲ）当时，结论显然成立；
当，不妨设.
因为,且所以为增函数，那么.
又因为，所以函数为减函数，
所以.
所以，即.
因为，所以， （1）
又因为，所以， （2）
（1）（2）得即.
所以.
综上，对于任意符合条件的,总有成立.……14分

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