36数列和不等式的微积分证明.doc

36数列和不等式的微积分证明 第30讲:数列和不等式的微积分证明 251 第30讲:数列和不等式的微积分证明 选修2-2(人教版).第32页习题1.3B组第1(3)题:证明不等式ex1+x,x0.近年来,流行以该不等式及其变形为背景的数列不等式,记忆该不等式及其变形和如何赋值？是解决该类问题的关键; 定积分源于求函数y=f(x)(f(x)0)的图像与直线x=a,x=b(ab)及x轴围成的曲边梯形的面积;其基本思想是:首先在区间a,b内取x1=a,x2,x3,xn=b(x1x2xn);则直线x=x2,x=x3,x=xn-1把曲边梯形分成n个小曲边梯形,用(xi+1-xi)f(xi),或(xi+1-xi)f(xi+1)分别近似代替第i个小曲边梯形的面积,则,或就近似于曲边梯形的面积,且=. 易知,当f(x)单调递增时,;当f(x)单调递减时,; 数列是特殊的函数,若对数列求和不等式与上述积分不等式进行联想,许多数列求和不等式的证明便得心应手,明了顺畅.例1:指数不等式ex1+x.始源问题:(2013年黄冈中学高三上学期期末考试题)在数列an中,a1=1,前n项和Sn满足:nSn+1-(n+3)Sn=0.()求数列an的通项公式;()求证:9.解析:()由nSn+1-(n+3)Sn=0n(Sn+1-Sn)=3Snnan+1=3Snnan+1-(n-1)an=3(Sn-Sn-1)nan+1=(n+2)an=an=;()由=1+=;而+=2(1-)+(-)+(-)=2(1-)2e29. 利用ex1+x可证明:(1+a1)(1+a2)(1+an),由此可构造:原创问题:设数列an的前n项和Sn满足:an+Sn=n+3-()n-1.()求数列an的通项公式;()设数列an的前n项积为Tn,求证:Tn9.解析:()当n=1时,a1+S1=3a1=S1=;当n2时,由an+Sn=n+3-()n-1an-1+Sn-1=n+2-()n-2(an-an-1)+(Sn-Sn-1)=1+()n-1an=an-1+()n(an-1)=(an-1-1)+()n2n(an-1)=2n-1(an-1-1)+12n(an-1)=nan=1+n()n;()令bn=n()n,则an=1+bn,且bn的前n项和Mn=2-(n+2)()n2Tn=a1a2an=(1+b1)(1+b2)(1+bn)=e29.原创问题:设数列an的前n项和Sn满足:an+Sn=n+2.()求数列an的通项公式; 252 第30讲:数列和不等式的微积分证明 ()设数列an的前n项积为Tn,求证:Tn3.解析:()当n=1时,由an+Sn=n+2a1+S1=3a1=S1=1+;当n2时,由an+Sn=n+2an+1+Sn+1=n+3(an+1-an)+(Sn+1-Sn)=1an+1=an+an+1-1=(an-1)an-1=(a1-1)()n-1=()nan=1+()n;()令f(x)=x-ln(1+x)(x)=1-=fmin(x)=f(0)=0f(x)0ln(1+x)xln(1+)+ln1+()2+ln1+()n+()2+()n=1-()n1Tn=(1+)1+()21+()ne3.例2:对数不等式ln(1+x)x.始源问题:(2006年江西高考试题)己知数列an满足a1=,且an=(n2,nN+).()求数列an的通项公式;()证明:对一切正整数n,不等式a1a2an2n！恒成立.解析:()由an=+-1=(-1)-1=-()nan=;()因a1a2an2n！2(1+)(1+)(1+)2;令f(x)=x-ln(1+x)(x)=1-=fmin(x)=f(0)=0f(x)0ln(1+x)xln(1+)+ln(1+)+ln(1+)+()n-1)+1-()n-3+1时,q1)的求和不等式还可用递推法:如本题an=an-1ana1()n-1=()n-1+=+.一般地,由an=an-1ana1()n-1a1+a2+an.解析:()由f(1)=1,f()=a=b=1xn+1=(+1)-1=(-1)-1=()n-1xn=; ()因x1x2xnlnx1+lnx2+lnxn-(ln2+1)ln+ln+lnln2+1;而ln+ln+ln=ln1+ 第30讲:数列和不等式的微积分证明 253 ()0+ln1+()1+ln1+()n-1(ln(1+x)x)ln2+()1+()2+()n-1ln2+1.原创问题:已知数列an的前n项和满足:Sn=an-2n+.()求数列an的通项公式;()证明:(1+)(1+)(1+)2.解析:()由Sn=an-2n+a1=S1=2;当n2时,an=Sn-Sn-1=(an-2n+)-(an-1-2n+2+)an=4an-1+6an=4n-2;()由ln(1+)(1+)(1+)=ln(1+)+ln(1+)+ln(1+)+;而=()n-1+ln(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)2.例3:对数不等式ln(1+x)0).始源问题:(2013年大纲卷高考试题)已知函数f(x)=ln(1+x)-. ()若x0时,f(x)0,求的最小值;()设数列an的通项an=1+,证明:a2n-an+ln2.解析:()因f(0)=0,(x)=-;当1-20,即时,(x)0f(x)f(0)=0;当0f(x)f(0)=0.综上,的最小值=;()令=,由()知,当x0时,f(x)ln(1+x)(令x=)ln=ln(k+1)-lnka2n-an+=+=+=+ln(n+1)-lnn+ln(n+2)-ln(n+1)+ln(2n)-ln(2n-1)=ln(2n)-lnn=ln2.原创问题:设数列an的前n项和Sn满足:S1=3,Sn=an+n2-1.()求数列an的通项公式; ()设数列的前n项和为Tn,xn=Tn-ln,证明:0xn-x4n)-=0xn-xn+10xnxn+1xnx4nxn-x4n0; 又由xn-xn+1=ln(1+)-(ln(1+x)x)-=-xn-x4n=(xn-xn+1)+(xn+1-xn+2)+ 254 第30讲:数列和不等式的微积分证明 (x4n-1-x4n)(-)+(-)+(-)=-=.原创问题:已知数列an和bn满足:a1=b1,且对任意nN+,都有an+bn=1,=.()求数列an和bn的通项公式;()证明:+ln(1+n)+.解析:()由a1=b1,an+bn=1a1=b1=;又由=+1=n+1an=bn=;()由()知:=,故+ln(1+n)+ln(1+n)1+;在不等式ln(1+x)x中,令x=得:ln(1+)ln(1+n)-lnn+ln(1+n)-ln11+ln(1+n)1+.例4:对数不等式lnx1).始源问题:(2010年湖北高考试题)已知函数f(x)=ax+c(a0)的图象在点(1,f(1)处的切线方程为y=x-1.()用a表示出b,c;()若f(x)lnx在1,+)上恒成立,求a的取值范围;()证明:1+ln(n+1)+(n1).解析:()由f(1)=0,(1)=1a+b+c=0,a-b=1b=a-1,c=1-2a;()令g(x)=f(x)-lnx=ax+1-2a-lnx,x1,),则g(1)=0,(x)=(x-1)(x-);当1,即a时,g(x)在(1, )上单调递减g()g(1)=0f()ln,不合题意;当1,即a时,g(x)在1,+)上单调递增g(x)g(1)=0f(x)lnx在1,)上恒成立.故a的取值范围是,+);()由()知,当a=时,f(x)lnx(x1)lnx1);令x=,则ln(-)ln(k+1)-lnk2ln(k+1)-lnk1+2(ln2-ln1),+2(ln3-ln2),+2ln(n+1)-lnn,以上不等式相加得1+2(+)+2ln(n+1)1+ln(n+1)+(n1).原创问题:设正项数列an的前n项和Sn满足Sn=,a2=2.()求数列an的通项公式;()设数列的前n项和为Tn,证明:Tn+1-1lnan+1Tn. 第30讲:数列和不等式的微积分证明 255 解析:()当n=1时,S1=a1=S1=1;当n3时,an=Sn-Sn-1=-(n-2)an=(n-1)an-1-1=-=-(-)=+(-)+(-)=2-(1-)+(-)+(-)=2-(1-)=an=n;()由lnx1);令x=,则ln(-)ln(k+1)-lnk2ln(k+1)-lnk1+2(ln2-ln1),+2(ln3-ln2),+2ln(n+1)-lnn,以上不等式相加得1+2(+)+2ln(n+1)1+ln(n+1)+(n1)1+ln(n+1)lnan+1ln(1+)ln(k+1)-lnkTn+1-1=+ln(n+1)=lnan+1Tn+1-1lnan+1恒成立.解析:()由f(1)=-(1+a)0a-;又因(x)=+x-(1+a)=x2-(1+a)x+a=(x-1)(x-a)fmin(x)=f(1)=-(1+a)0.故a的取值范围是(-,-;()由()知,当a=-时,f(x)0lnxx2-x-(x1)-(i=1,2,m)+(-)+(-)+(-)=-=.例5:含n的求和不等式.始源问题:(2010年全国高中数学联赛陕西初赛试题)设对任意正整数n,都有:+a1+,则实数a= .解析:令xi=,f(x)=(0x1),则xi+1-xi=+=(x2-x1)f(x1)+(x3-x2)f(x2)+(xn-xn-1)f(xn-1);1+=(x1-0)f(0)+(x2-x1)f(x1)+(x3-x2)f(x2)+(xn-xn-1)f(xn-1),所以,+a1+1+a=. 本题利用圆形函数构造出一个绝佳试题,具有明显的定积分背景.作简单变换可构造:原创问题:对给定的正整数n(n2),非负数列ak满足:an=0,ak+12=ak2-(k=0,1,2,n-1). 256 第30讲:数列和不等式的微积分证明 ()求数列ak的通项公式;()设数列ak的所有项的和为Sn,若对任意正整数n,都有:Sn-1anSn,求常数a的值.解析:()由ak+12=ak2-ak+12-ak2=-ak2=a12+(a22-a12)+(a32-a22)+(ak2-ak-12)=a12-3+5+(2k-1)=a12-(k2-1);由an=0a12-(n2-1)=0a1=ak2=(1-)-(k2-1)=1-ak=;()由Sn-1anSn+an1+a0.()求a的值;()若对任意的x0,+),有f(x)kx2成立,求实数k的最小值;()证明:-ln(2n+1)0;又因f(x)kx2x-kx2ln(x+1)(函数y=x-kx2与y=ln(x+1)均过点O(0,0),只需函数y=x-kx2在(0,)内单调递增的速度不大于y=ln(x+1)的单调递增速度)当x(0,)时,1-2kx当x(0,)时,2k(x+1)12k1k的最小值=(本解法为作者给出);()考虑到F(x)=ln(2x-1)的导函数f(x)=单调递增,作分点xi=i(i=1,2,3,n),则(x2-x1)f(x2)+(x3-x2)f(x3)+(xn-xn-1)f(xn)F(n)-F(1)=ln(2n-1)=2+2+ln(2n-1)2+ln(2n+1)-ln(2n+1)2. 本题充分体现了m(n)ln(n-1)+(n2).解析:()由2Sn=an2+n2S1=a12+1a1=1;当n2时,2an=2Sn-2Sn-1=(an2+n)-(an-12+n-1)(an-1)2=an-12an-1=an-1;当an-1=-an-1时,a2n-1=1,a2n=0,不符合题意;当an-1=an-1时,an=n;()考虑到F(x)=lnx的导函数f(x)=单调递增,作分点xi=i(i=1,2,3,n+1),则(x2-x1)+(x3-x2)+(xn+1-xn)f(x1)+f(x2)+f(xn)-ln(n+1)Tn=f(x1)+f(x2)+f(xn)ln(n+1)+;而ln(n+1)+ln(n-1)+ln(1+)(令x=1+(1,3=-) 第30讲:数列和不等式的微积分证明 257 lnx-lnx+-0;令g(x)=lnx+-(x)=0g(x)g(1)=0;故Tnln(n-1)+.例7:递推求和不等式.始源问题:(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)数列an中,已知a1(1,2),an+1=an3-3an2+3an,nN*,求证:(a1-a2)(a3-1)+(a2-a3)(a4-1)+(an-an+1)(an+2-1).解析:由an+1=an3-3an2+3anan+1-1=(an-1)2,令bn=an-1b1=a1-1(0,1),bn+1=bn3(0,1),且bn+1-bn=bn3-bn=bn(bn+1)(bn-1)0bn+1bn,(an-an+1)(an+2-1)=(bn-bn+1)bn+2=(bn-bn+1)f(bn+1),其中f(x)=x3,所以,(a1-a2)(a3-1)+(a2-a3)(a4-1)+(an-an+1)(an+2-1)=F(1)-F(0)=.其中F(x)=x4. 本题给出了关于、型上、下界问题的定积分解决,该解法具有通性.原创问题:已知函数f(x)=x-ln(x+1),x(0,1),数列an满足:a1=a(0,1),an+1=f(an).()求证:0an+1an1;()求证:(a1-a2)a3+(a2-a3)a4+(an-an+1)an+20f(x)在区间(0,1)内单调递增f(x)值域为(f(0),f(1)=(0,1-ln2)(0,1);又因f(x)-x=-ln(x+1)00f(x)x10f(a1)a110a2a110an+1an1;()考虑到F(x)=x2+x-(x+1)ln(x+1)的导函数f(x)=x-ln(x+1)单调递增,作分点xi=ai(i=1,2,3,n+1),则(a1-a2)a3+(a2-a3)a4+(an-an+1)an+2=(a1-a2)f(a2)+(a2-a3)f(a3)+(an-an+1)f(an+1)=F(1)-F(0)=-ln40,如图,己知直线 y P2 Q1l:y=ax及曲线C:y=x2,C上的点Q1的横坐标为a1(0a1a).从C 上的点Qn(n1)作直线平行于x轴,交直线l于点Pn+1,再从点Pn+1作直线平行于y轴,交曲线C于点Qn+1,Qn(n=1,2,3,)的横 P3 Q2坐标构成数列an. Q3()试求an+1与an的关系,并求an的通项公式; O a3 a2 a1 x()当a=1,a1时,证明:ak+2;()当a=1时,证明:ak+2.解析:()由Qn的横坐标=anQn(an,an2)Pn+1(an2,an2)Qn+1(an2,(an2)2)an+1=an2lgan+1=2lgan-lgalgan+1-lga=2(lgan-lga)lgan-lga=(lga1-lga)2n-1an=a(;()当a=1时,考虑到F(x)=x3的导函数f(x)=x2单调递增,作分点xi=ai(i=1,2,3,n+1),则ak+2=(a1-a2)a3+f(ak+1)(a1-a2)a3+=(a1-a2)a3+F(a2)-F(0)=(a1-a2)a3+a23=a16+a15()6+()5=; 258 第30讲:数列和不等式的微积分证明 ()ak+2=f(ak+1)=a13a3=. 不着意于求数列的通项公式,而着力于研究数列性质及和式不等式是安徽高考命题的特色.原创问题:己知直线l:y=ax及曲线C:y=f(x),C上的点Q1的横坐标为a1.从C上的点Qn(n1)作直线平行于x轴,交直线l于点Pn+1,再从点Pn+1作直线平行于y轴,交曲线C于点Qn+1,Qn(n=1,2,3,)的横坐标构成数列an.()试求an+1与an的关系式;()当a=1,f(x)=2x-1,a1(0,1)时,求证:(i)0an+1an1;(ii)ak+2log2.解析:()由Qn的横坐标=anQn(an,f(an)Pn+1(f(an),f(an)Qn+1(f(an),f(f(an)an+1=f(an);()(i)函数y=x、y=f(x)的图像知当x(0,1)时,f(x)x,且f(x)(0,1)0f(x)x10f(a1)a110a2a110an+1an1;(ii)考虑到F(x)=2xlog2e-x的导函数f(x)=2x-1单调递增,作分点xi=ai(i=1,2,3,n+1),则=f(ak+1)=F(a1)-F(0)F(1)-F(0)=2log2e-1-log2e=log2e-1=log2.原创问题:己知函数f(x)=ex-2,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn)处的切线与x轴交点为(xn+1,0)(nN*),其中x1为正实数.()用xn表示xn+1;()求证:对一切正整数n,xn+1xn的充要条件是x1ln2;()若x1=2ln2,求证:.解析:()由(x)=ex知曲线y=f(x)在点(xn,f(xn)处的切线方程为y-f(xn)=(xn)(x-xn),即y-(-2)=(x-xn),令y=0得x=xn+-1,即xn+1=xn+-1;()(必要性)xn+1xnxn+-1xn12xnln2x1ln2;(充分性)如果x1ln2,由g(x)=x+-1(x)=1-0g(x)在ln2,+)上单调递增x2=g(x1)g(ln2)=ln2x3g(ln2)=ln2xng(ln2)=ln2xn+1xn;()考虑到G(x)=x2-x的导函数f(x)=x+-1单调递增,作分点xi=ai(i=1,2,3,n+1),则=G(2ln2)-G(ln2)=ln22+-ln2ln22.