1、4.5.1 函数的零点与方程的解
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分对应值如下表：
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4)
B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2)
D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
答案 A
解析 因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在(－3，－1)内必有零点．又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有零点．
2．对于函数f(x
2、)，若f(－1)·f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
答案 D
解析 因为函数f(x)的图象在[－1,3]上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在[－1,3]上不一定有实数解．
3．函数f(x)＝lg x－的零点所在的大致区间是( )
A．(6,7) B．(7,8)
C．(8,9) D．(9,10)
答案 D
解析 因为f(9)＝lg 9－1<0，f(10)＝lg 10－＝1－>0，所以f(9)·f(10)<0，所以f
3、x)＝lg x－在区间(9,10)上有零点，故选D．
4．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1009个，则f(x)的零点的个数为( )
A．1009 B．1010
C．2018 D．2019
答案 D
解析 ∵f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内有1009个零点，∴在(－∞，0)上也有1009个零点，又∵f(0)＝0，∴共有1009×2＋1＝2019个．
5．设a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若x0>a，则( )
A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0
C．f(x0)<0 D．f(x0)的符号不确定
答案 B
解析 如图所示，画出
4、函数y＝2x与y＝logx的图象，可知当x0>a时，2x0>logx0，故f(x0)>0.
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点分别是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
答案 －，－
解析 由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，
∴即a＝5，b＝－6，∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的两根为－，－，即为函数g(x)的零点．
7．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)∪
解析 由零点存在定理，得f(1)·f(－1)<0
5、即(3a＋1－2a)(－3a＋1－2a)<0，整理得(a＋1)(－5a＋1)<0，解得a<－1或a>.
8．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
答案 (0,2)
解析 由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝B．在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，则当06、x2，且x1<07、值范围为(2,4)．
B级：“四能”提升训练
1．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.
令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0，
解得2x＝1或2x＝－(舍去)．
所以x＝0.所以函数f(x)的零点为0.
(2)若f(x)有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解．
于是2a＝＝x＋x＝2－.
因为x>0，所以2a>－＝0，即a>0.
故实数a的取值范围为(0，＋∞)．
2．已知函数f(x)＝(log2x)2＋4
8、log2x＋m，x∈，m为常数．
(1)设函数f(x)存在大于1的零点，求实数m的取值范围；
(2)设函数f(x)有两个互异的零点α，β，求实数m的取值范围，并求αβ的值．
解 令log2x＝t，由x∈，
则f(x)＝g(t)＝t2＋4t＋m(t∈[－3,2])，
(1)由于函数f(x)存在大于1的零点，所以方程t2＋4t＋m＝0在t∈(0,2]内存在实数根，
由t2＋4t＋m＝0，得m＝－t2－4t，t∈(0,2]，所以实数m的取值范围是[－12,0)．
(2)函数f(x)有两个互异的零点α，β，则函数g(t)在[－3，2]内有两个互异的零点t1，t2，其中t1＝log2α，t2＝log2β，
又因为g(t)表示的二次函数开口向上，对称轴t＝－2∈[－3,2]，
所以解得3≤m<4，
所以实数m的取值范围是[3,4)．
根据根与系数的关系，可知t1＋t2＝－4，即log2α＋log2β＝－4，
所以log2(αβ)＝－4，αβ＝2－4＝.
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