1、5.5.2 简单的三角恒等变换
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．若－2π<α<－，则 的值是( )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
答案 D
解析 ＝＝＝，
∵－2π<α<－，∴－π<<－.
∴cos<0，∴＝－cos.
2．函数y＝2cos2－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
答案 A
解析 y＝2cos2－1＝cos
＝cos＝cos＝sin2x，
而y＝sin2x为奇函数，其最小正周期T＝＝π，故选A.
3．化简2＋2s
2、in2得( )
A．2＋sinα B．2＋sin
C．2 D．2＋sin
答案 C
解析 原式＝1＋2sincos＋1－cos＝2＋sinα－cos＝2＋sinα－sinα＝2.
4．已知sinα＋cosα＝，则2cos2－1＝( )
A. B. C．－ D．－
答案 C
解析 ∵sinα＋cosα＝，平方可得1＋sin2α＝，可得sin2α＝－.
2cos2－1＝cos＝sin2α＝－.
5．已知sin＝，cos2α＝，则tan＝( )
A．3 B．－3 C．±3 D．±4
答案 A
解析 由sin＝⇒sinα－cosα＝ ①，cos2α＝
3、⇒cos2α－sin2α＝，所以(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝ ②，由①②可得cosα＋sinα＝－ ③，由①③得sinα＝，cosα＝－，所以角α为第二象限角，所以为第一、三象限角，tan＝＝＝3，故选A.
二、填空题
6．若α－β＝，则sinαsinβ的最大值为________．
答案
解析 α＝β＋，则sinαsinβ＝sinsinβ
＝－
＝－cos＋
∴最大值为.
7．设α为第四象限角，且＝，则tan2α＝________.
答案 －
解析 ＝
＝＝2cos2α＋1＝，所以cos2α＝.又α是第四象限角，所以sin2α＝－，tan2α＝－.
4、8.＋2的化简结果是________．
答案 －2sin4
解析 原式＝＋2
＝2|cos4|＋2
＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|.
因为<4<，所以sin45、＋cos4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
解 (1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x
＝cos2xsin2x＋cos4x
＝(sin4x＋cos4x)＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝，
当4x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z时，f(x)取最大值为.
(2)因为f(α)＝，所以sin＝1，
因为α∈，所以4α＋∈，
所以4α＋＝，故α＝.
B级：“四能”提升训练
1．已知cos2θ＝，＜θ＜π.
(1)求tanθ的值；
(2)求的值．
解 (1)因为cos2θ＝，
所以＝
6、
所以＝，
解得tanθ＝±，
因为＜θ＜π，所以tanθ＝－.
(2)＝，
因为＜θ＜π，tanθ＝－，
所以sinθ＝，cosθ＝－，
所以＝＝＝－4.
2．如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在S上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．
解 如图，连接AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于M，则AM＝90cosθ，MP＝90sinθ.
所以PQ＝MB＝100－90cosθ，
PR＝MR－MP＝100－90sinθ.
所以S矩形PQCR＝PQ·PR＝(100－90cosθ)(100－90sinθ)＝10000－9000(sinθ＋cosθ)
＋8100sinθcosθ.
令t＝sinθ＋cosθ(1≤t≤)，
则sinθcosθ＝.
所以S矩形PQCR＝10000－9000t＋8100·＝2＋950.
故当t＝时，S矩形PQCR有最小值950 m2；
当t＝时，S矩形PQCR有最大值(14050－9000) m2.
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