1、第1课时 基本不等式
[A 基础达标]
1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2
C.＋>
D.＋≥2
解析：选D.对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2，即＋≥2成立．
2.(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B.
C．3 D.
解析：选B.因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，
a＋6≥0，
所以≤＝.
即(－6≤a≤3)的最大值为.
2、
3．已知实数x，y满足x>0，y>0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选D.因为x>0，y>0，且＋＝1，
所以x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝时等号成立．故选D.
4．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3 B．3－2
C．3－2 D．－1
解析：选C.y＝3－3x－＝3－≤3－2 ＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号．
5．设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为( )
A．0 B.
C．1 D.
解析：选A.因为x＞0，所以x＋＞0，
3、
所以y＝x＋－
＝＋－2
≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立，所以函数的最小值为0.
6．已知x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．
解析：因为x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)
≤·
＝·＝.
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.
答案：
7．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
解析：因为点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，
所以2m＋n＝1，
所以＋＝＋＝4＋≥8.
答案：8
8．给出下列不等式：
①x＋
4、≥2；②≥2；③≥2；
④>xy；⑤≥.
其中正确的是________(写出序号即可)．
解析：当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2，①不正确；
因为x与同号，
所以＝|x|＋≥2，②正确；
当x，y异号时，③不正确；
当x＝y时，＝xy，④不正确；
当x＝1，y＝－1时，⑤不正确．
答案：②
9．已知y＝x＋.
(1)已知x＞0，求y的最小值；
(2)已知x＜0，求y的最大值．
解：(1)因为x＞0，所以x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．所以y的最小值为2.
(2)因为x＜0，所以－x＞0.所以f(x)＝－≤－2＝－2，当且仅当－x＝，即x＝
5、－1时等号成立．所以y的最大值为－2.
10．(1)若x＜3，求y＝2x＋1＋的最大值；
(2)已知x＞0，求y＝的最大值．
解：(1)因为x＜3，所以3－x＞0.又因为y＝2(x－3)＋＋7＝－＋7，由基本不等式可得2(3－x)＋≥2＝2，当且仅当2(3－x)＝，即x＝3－时，等号成立，于是－≤－2，－＋7≤7－2，故y的最大值是7－2.
(2)y＝＝.因为x＞0，所以x＋≥2＝2，所以0＜y≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．故y的最大值为1.
[B 能力提升]
11．若0＜x＜，则函数y＝x的最大值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选C.因为0
6、＜x＜，所以1－4x2＞0，所以x＝×2x≤×＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，故选C.
12．已知x≥，则y＝有( )
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
解析：选D.y＝＝
＝，
因为x≥，所以x－2＞0，
所以≥·2＝1，
当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．
故y的最小值为1.
13．已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab.
(1)求ab的最小值；
(2)求a＋2b的最小值．
解：因为2a＋b＝ab，
所以＋＝1；
(1)因为a>0，b>0，
所以1＝＋≥2，当且仅当＝＝，即a＝2，b＝4时取等号，所以ab≥8，即ab的最小值
7、为8；
(2)a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号，
所以a＋2b的最小值为9.
14．已知a，b为正实数，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
解：(1)因为a，b为正实数，且＋＝2，所以＋＝2≥2，即ab≥(当且仅当a＝b时等号成立)．
因为a2＋b2≥2ab≥2×＝1(当且仅当a＝b时等号成立)，
所以a2＋b2的最小值为1.
(2)因为＋＝2，所以a＋b＝2ab.因为(a－b)2≥4(ab)3，所以(a＋b)2－4ab≥4(ab)3，即(2ab)2－4ab≥4(ab)3，即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0.因为a，b为正实数，所以ab＝1.
[C 拓展探究]
15．是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＋＝1(x>0，y>0)且x＋y的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．
解：因为＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
又x＋y的最小值为18，
所以(＋)2＝18.
由得或
故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件．
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