1、课时素养评价 九
全称量词命题和存在量词命题的否定
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.命题“∃x∈R,x2=x”的否定是 ( )
A.∃x∈R,x2≠x
B.∀x∈R,x2=x
C.∃x∉R,x2≠x
D.∀x∈R,x2≠x
【解析】选D.该命题的否定:∀x∈R,x2≠x.
2.已知命题p:∃x,y∈Z,x2+y2=2 015,则p为 ( )
A.∀x,y∈Z,x2+y2≠2 015
B.∃x,y∈Z,x2+y2≠2 015
C.∀x,y∈Z,x2+y2=2 015
D
2、不存在x,y∈Z,x2+y2=2 015
【解析】选A.含有存在量词的命题的否定,只需将存在量词改为全称量词,再将结论否定即可.
所以p为∀x,y∈Z,x2+y2≠2 015.
3.设命题p:∀x∈Q,x2∈Q,则 ( )
A.命题p的否定为真命题
B.命题p的否定为:∀x∈Q,x2∉Q
C.命题p的否定为:∃x∉Q,x2∈Q
D.命题p的否定为:∃x∈Q,x2∉Q
【解析】选D.因为命题p为真命题,所以命题p的否定为假命题,命题p的否定为:∃x∈Q,x2∉Q.
4.(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是( )
A.所有四边形的内角和都是360°
B.∃x∈R,x
3、2+2x+2≤0
C.∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数
D.对所有实数a,都有|a|>0
【解析】选B、D.A.该命题的否定:有的四边形的内角和不是360°,是假命题;
B.该命题的否定:∀x∈R,x2+2x+2>0,真命题,这是由于∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立.
C.该命题的否定:∀x∈{x|x是无理数},x2不是无理数,假命题;
D.该命题的否定:存在实数a,有|a|≤0,真命题.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.命题“∃x>-1,x2+x-2 019>0”的否定是______.
【解析】该命题的否定“∀x>-1,x2+x-2 0
4、19≤0”.
答案:∀x>-1,x2+x-2 019≤0
【加练·固】若命题p:∀x∈R,<0,则p:________.
【解析】p:∃x∈R,使>0或x-2=0.
答案:∃x∈R,使>0或x-2=0
【误区警示】此题最容易出现的错误答案是:∃x∈R,使≥0.
6.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为______,此命题的否定是____,是____命题(填“真”或“假”).
【解析】此命题用符号表示为∃x,y∈R,x+y>1,此命题的否定是∀x,y∈R,x+y≤1,
原命题为真命题,所以它的否定为假命题.
答案:∃x,y∈R,x+y>1 ∀x,y∈R,x+
5、y≤1 假
三、解答题
7.(16分)写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)任何有理数都是实数.
(2)存在一个实数a,能使a2+1=0成立.
【解析】(1)该命题的否定:至少有一个有理数不是实数.因为原命题是真命题,所以其否定是假命题.
(2)该命题的否定:任意一个实数a,不能使a2+1=0成立.因为a2=-1在实数范围内不成立,所以原命题是假命题,所以其否定是真命题.
【加练·固】写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p:∀x∈R,x2-x+≥0.
(2)p:所有的正方形都是菱形.
(3)p:至少有一个实数x,使x3+1=0.
【解析】(1)是全称量词命题,p
6、∃x∈R,x2-x+<0.因为对于任意的x,x2-x+=≥0,所以p为假命题.
(2)是全称量词命题,p:存在一个正方形不是菱形.正方形是特殊的菱形,所以p为假命题.
(3)是存在量词命题,p:∀x∈R,x3+1≠0.因为x=-1时,x3+1=0,所以p为假命题.
(15分钟·30分)
1.(4分)∃m,n∈Z,使得m2=n2+1 998的否定是 ( )
A.∀m,n∈Z,使得m2=n2+1 998
B.∃m,n∈Z,使得m2≠n2+1 998
C.∀m,n∈Z,使得m2≠n2+1 998
D.以上都不对
【解析】选C.这是一个存在量词命题,其否定为全称量词命题,形式是
7、∀m,n∈Z,使得m2≠n2+1 998.
2.(4分)已知命题p:∃x∈{x|13
C.a≤3 D.a≥3
【解析】选D.p是真命题,所以p是假命题;
所以∃x∈{x|10,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是______.
【解析】因为p为假命题,所以命题p的否定:∀x>0,x+a-1≠0是真命题,所以x≠1-a,
所以1-a≤0,所以a≥1.
答案:a≥1
5.(14分)命题p是“对某些实数x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数.
(1)写出命题p的否定.
(2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真?
【解析】(1)命题p的否定:对任意实数x,有x-a≤0且x-b>0.
(2)要使命题p的否定为真,
则需要使的解集不为空集.
a,b应满足的条件是b
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