2019_2020学年新教材高中数学第三课考点突破素养提升新人教A版必修2.doc

第三课
考点突破·素养提升
素养一　直观想象
角度　空间中点、线、面的位置关系
【典例1】(1)(2019·武邑高一检测)下列命题：
①存在与两条异面直线都平行的平面；
②过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行；
③过平面外一点可作无数条直线与该平面平行；
④过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.
其中正确的命题的个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.①将一个平面内的两条相交直线平移到平面外，且平移后不相交，则这两条直线异面且与该平面平行，故正确；②当过该点的平面过其中一条直线时，这个平面与两条异面直线都平行是错误的，故不正确；③显然正确；④显然正确.
(2)已知m，n是两条不同直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的
是 (　　)
A.若m∥α，n∥α，则m∥n
B.若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C.若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D.若m⊥α，m⊥β，则α∥β
【解析】选D.A中存在m，n相交或异面；B中存在n，α平行或n在α内或斜交；C中存在n在平面α内；D正确.
【类题·通】
空间中点、线、面的位置关系判断
(1)借助正方体等几何体进行判断，即将要判断的线面对应到这些几何体的棱、面上，通过几何体中线面的关系进行判断.
(2)借助生活中的实物进行判断，比如借助教室中的墙面、桌面、笔等对应要判断的线面，通过这些实物的位置关系进行判断.
【加练·固】
1.已知平面α∩平面β=c，直线a⊂α，a∥c，直线b⊂β，且b与c相交，则a和b的位置关系是 (　　)
A.平行　　　　　 B.相交
C.异面 D.上述三种都有可能
【解析】选C.若a与b平行，因为a∥c，所以b∥c，与b与c相交矛盾，所以A错；
若a和b相交，因为直线a⊂α，直线b⊂β，平面α∩平面β=c，则a和b都和c相交且在同一点处，这与a∥c矛盾，所以B错；因为两条直线的位置关系有平行，相交，异面这三种情况，故a和b只能异面.
2.(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)

A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α，β平行于同一条直线
D.α，β垂直于同一平面
【解析】选B.当α内有无数条直线与β平行，也可能两平面相交，故A错.同样当α，β平行于同一条直线或α，β垂直于同一平面时，两平面也可能相交，故C，D错.由面面平行的判定定理可得B正确.
素养二　数学运算
角度1　空间几何体的体积、表面积
【典例2】看一个定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以重心旋转所得周长的积”如图，半圆O的直径AB=6 cm，点D是该半圆弧的中点，那么运用上述定理可以求得，半圆弧与直径所围成的半圆面(阴影部分不含边界)的重心G位于对称轴OD上，且满足OG= (　　)

A.2 cm B.cm C.cm D.cm
【解析】选B.以AB为轴，旋转题设半圆所得的球的体积为V球=π·33=36π.运用提供的定理求得36π=·(2π·OG)，解得OG=.
【类题·通】
关于空间几何体的体积、表面积
首先要准确确定几何体的基本量，如球的半径，几何体的高、棱长等，其次是准确代入相关的公式计算.
【加练·固】
点A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积最大值为3，则这个球的表面积为 (　　)
A.2π　　　B.4π　　　C.8π　　　D.16π
【解析】选D.由体积最大得高为3，(3-R)2+()2=R2，得R=2，故表面积为16π.
角度2　空间中角的计算
【典例3】如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为 (　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选C.连接AC，BD交于点O，连接OE，PO，

因为正四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，所以O是AC中点，因为E是PC中点，所以OE∥PA，所以PA与BE所成的角为∠BEO，因为正四棱锥P-ABCD的底面积为3，体积为，所以AB=BC=，PO=，AC=，PA=，OB=，所以OE=，所以在Rt△OEB中，tan∠OEB==，所以∠OEB=60°.
【延伸探究】本例中，试求BE与面ABCD所成的角的正切值.
【解析】取OC的中点F，连接EF，BF，

所以EFPO，
所以EF⊥面ABCD，所以∠EBF即为BE与平面ABCD所成的角且EF=，又BF=，
在Rt△BEF中，tan∠EBF==.
所以BE与平面ABCD所成的角的正切值为.
【类题·通】
关于线线角、线面角的计算
(1)线线角：通过三角形的中位线、平行四边形的对边等平行关系，平移直线作出异面直线所成的角，再求出对应三角形的边，利用勾股定理、余弦定理求角.
(2)线面角：关键是确定或作出斜线的射影，而作射影的关键是过斜线上的一点，作平面的垂线确定垂足，因此要挖掘题目中的垂直关系，借助已有的线面垂直、面面垂直进行作图.
【加练·固】
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则CC1与平面AB1C1所成的角为 (　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.
【解析】选A.取B1C1中点为D，连接AD，A1D，
因为侧棱垂直于底面，底边是边长为2的正三角形，

所以三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以CC1∥AA1，所以AA1与平面AB1C1所成角即是CC1与平面AB1C1所成角，因为B1C1⊥AD，B1C1⊥AA1，所以B1C1⊥平面AA1D，所以平面AA1D⊥平面AB1C1，所以AA1与平面AB1C1所成角为∠A1AD，因为AA1=3，A1D=，
所以tan∠A1AD==，所以∠A1AD=，
所以CC1与平面AB1C1所成角为.
素养三　逻辑推理
角度　空间中平行、垂直关系
【典例4】(2019·天津高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3，
(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD.
(2)求证：PA⊥平面PCD.
(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.

【解题指南】(1)连接BD，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到GH∥PD，利用线面平行的判定定理证得结果.
(2)取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DN⊥PC，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到DN⊥PA，利用线面垂直的判定定理证得结果.
(3)利用线面角的定义得到∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角，放在直角三角形中求得结果.
【解析】(1)连接BD，易知AC∩BD=H，BH=DH，

又由BG=PG，故GH∥PD，又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD.
(2)取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DN⊥PC，
又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD=PC，所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA，又因为PA⊥CD，CD∩DN=D，
所以PA⊥平面PCD.
(3)连接AN，由(2)中DN⊥平面PAC，
可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角.
因为△PCD为等边三角形，CD=2且N为PC的中点，
所以DN=，又DN⊥AN，
在Rt△AND中，sin∠DAN==，
所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.
【类题·通】
1.判断线面平行的两种常用方法
面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：
(1)利用线面平行的判定定理.
(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.
2.判断面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).
(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).
3.判定线面垂直的方法
(1)线面垂直定义(一般不易验证任意性).
(2)线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c=M⇒a⊥α).
(3)平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α).
(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β=l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α).
(5)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β).
(6)面面垂直的性质(α∩β=l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ).
【加练·固】
1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=BB1，∠BAC=∠BCA=∠ABC，点E是A1B与AB1的交点，D为AC中点.

(1)求证：B1C∥平面A1BD.
(2)求证：AB1⊥平面A1BC.
【证明】(1)连接ED，

因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，E为A1B与AB1的交点，所以E为AB1中点，因为D为AC中点，所以ED∥B1C，又因为ED⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD.

(2)由∠BAC=∠BCA=∠ABC知AB=BC，AB⊥BC，
因为BB1=BC，所以四边形ABB1A1是菱形，
所以AB1⊥A1B.因为BB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥BB1，
因为AB∩BB1=B，AB，BB1⊂平面ABB1A1，
所以BC⊥平面ABB1A1，
因为AB1⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB1，
因为BC∩A1B=B，BC，A1B⊂平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC.
2.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4.
(1)求证：平面PCD⊥平面PAD.
(2)求三棱锥P-ABC的体积.
(3)在棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD？若存在，请确定点E的位置并证明；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)因为AB∥CD，AB⊥AD，
所以CD⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，所以CD⊥平面PAD.
因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.
(2)取AD的中点O，连接PO.因为△PAD为正三角形，所以PO⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
所以PO为三棱锥P-ABC的高.
因为△PAD为正三角形，CD=2AB=2AD=4，
所以PO=.
所以V三棱锥P-ABC=S△ABC·PO
=××2×2×=.

(3)在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时，
BE∥平面PAD.
理由：分别取CP，CD的中点E，F，
连接BE，BF，EF，所以EF∥PD.
因为AB∥CD，CD=2AB，
所以AB∥FD，AB=FD，
所以四边形ABFD为平行四边形，所以BF∥AD.
因为BF∩EF=F，AD∩PD=D，
所以平面BEF∥平面PAD.
因为BE⊂平面BEF，所以BE∥平面PAD.

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