1、习题课（一） 指数函数的性质与图像一、选择题1已知f(x)ax(a0且a1)，且f(2)f(3)，则a的取值范围是()A(0，) B(1，)C(，1)D(0,1)解析：选D23，f(2)f(3)，又f(x)axx，23，1，0a1.2函数f(x)在(，)上()A单调递减无最小值 B单调递减有最小值C单调递增无最大值D单调递增有最大值解析：选Au2x1为R上的增函数且u0，y在(0，)上为减函数，即f(x)在(，)上为减函数，无最小值3已知函数f(x)3xx，则f(x)()A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数解析：选A因
2、为f(x)3xx，且定义域为R，所以f(x)3xxx3xf(x)，即函数f(x)是奇函数又y3x在R上是增函数，yx在R上是减函数，所以f(x)3xx在R上是增函数4若函数f(x)(12a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是()A.B.C. D.解析：选B由已知，得012a1，解得0a，即实数a的取值范围是.5函数yax在0,1上的最大值与最小值的和为3，则函数y2ax1在0,1上的最大值是()A6 B1C3 D.解析：选C函数yax在0,1上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0a13，解得a2，因此函数y2ax14x1在0,1上是单调递增函数，当x1时，ymax3.6已
3、知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图像经过点(2,1)，则f(x)的值域为()A9,81 B3,9C1,9D1，)解析：选C由f(x)过定点(2,1)可知b2，因为f(x)3x2在2,4上是增函数，f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9，所以f(x)的值域为1,9二、填空题7若不等式3ax22ax对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是_解析：不等式即为3ax22ax31，则有ax22ax1，即ax22ax10对一切实数x恒成立当a0时，满足题意；当a0时，要满足题意，则需a0且(2a)24a0，即a2a0，解得0a1.综上，实数a的取值范围是0,1)答案：0,1)8若函数f(
4、x)在区间(，1内有意义，则实数a的取值范围是_解析：依题意得1a3x0在区间(，1上恒成立，即a在区间(，1上恒成立，由在区间(，1上的最大值为，得a.答案：9函数f(x)2，若有f(a)f(a2)4，则a的取值范围是_解析：设F(x)f(x)2，则F(x)，易知F(x)是奇函数，F(x)1在R上是增函数，由f(a)f(a2)4得F(a)F(a2)0，于是可得F(a)F(2a)，即a2a，解得a1.答案：(1，)三、解答题10已知函数y22x132x5.(1)如果y13，求x的取值范围；(2)如果0x2，求y的取值范围解：由题意知y(2x)232x5.(1)由y13，得(2x)262x160
5、，所以(2x8)(2x2)0，因为2x20，所以2x80，解得x3，所以x的取值范围为(，3)(2)因为0x2，所以12x4，而y(2x3)2，于是当2x3时，y取得最小值，且最小值为；当2x1时，y取得最大值，且最大值为.所以y的取值范围为.11设函数f(x)10ax，a是不为零的常数(1)若f(3)，求使f(x)4的x的取值范围；(2)当x1,2时，f(x)的最大值是16，求a的值解：(1)由f(3)得a3，不等式f(x)4可化为23x1022，x4，故x的取值范围是4，)(2)当a0时，f(x)2ax10是增函数， 则22a1016，所以a7；当a0时，f(x)2ax10是减函数，则2a
6、1016，所以a14.综上，a14或a7.12对于函数f(x)a(xR)(1)判断并证明函数的单调性；(2)是否存在实数a，使函数f(x)为奇函数？证明你的结论解：(1)函数f(x)为R上的增函数证明如下：函数f(x)的定义域为R.任取x1，x2R，且x1x2，有f(x1)f(x2).因为y2x是R上的增函数，x1x2，所以2x12x20，又2x110,2x210，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)为R上的增函数(2)因为xR，f(x)是奇函数，所以f(0)0，即a1.所以存在实数a1，使函数f(x)为奇函数证明如下：当a1时，f(x)1.对任意xR，f(x)f(x)，又f(x)的定义域为R，故f(x)为奇函数- 4 -
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