2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价三十一平面向量线性运算的应用新人教B版必修2.doc

课时素养评价 三十一
　平面向量线性运算的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选B.=(2,-2),=(-4,-8),
=(-6,-6),
所以||==2,
||==4,
||==6,
所以||2+||2=||2,
所以△ABC为直角三角形.
2.(2019·临沂高一检测)在△ABC中,D为BC边的中点,已知=a,=b,则下列向量中与同方向的是 (　　)

【解析】选A.因为D为BC边的中点,则有+=2,所以a+b与共线,又因为 与a+b共线,所以选项A正确.
3.(多选题)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是 (　　)
A.|b|=1 B.|a|=1
C.a∥b D.(4a+b)⊥
【解析】选B、D.如图,

由题意,=-=(2a+b)-2a=b,则|b|=2,故A错误;|2a|=2|a|=2,所以|a|=1,故B正确;因为=2a,=b,故a,b不平行,故C错误;设B,C中点为D,则+=2,且⊥,而22a+(2a+b)=4a+b,所以(4a+b)⊥,故D正确.
4.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为 (　　)
A.40 N B.10 N
C.20 N D. N
【解析】选B.对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°,合力的大小为20 N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10 N;当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10 N.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知△ABC的三个顶点A(0,-4),B(4,0),C(-6,2),点D,E,F分别为边BC,CA,AB的中点.则直线DE的方程为________,直线EF的方程为________. 
【解析】由已知得点D(-1,1),E(-3,-1),
设M(x,y)是直线DE上任意一点,则∥.
又=(x+1,y-1),=(-2,-2),
所以(-2)×(x+1)-(-2)×(y-1)=0,
即x-y+2=0为直线DE的方程.
同理可求,直线EF的方程为x+5y+8=0.
答案:x-y+2=0　x+5y+8=0
6.设O是△ABC内部一点,且+=-2,则△AOB与△AOC的面积之比为________. 
【解析】设D为AC的中点,
如图所示,连接OD,
则+=2.又+=-2,
所以=-,即O为BD的中点,
从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.

答案:1∶2
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知A,B,C三点的坐标为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=,=,求证:∥.
【证明】设E,F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
依题意有=(2,2),=(-2,3),
=(4,-1).
因为=,所以(x1+1,y1)=(2,2).
所以点E的坐标为.
同理得点F的坐标为,=.
又×(-1)-4×=0,所以∥.
8.(14分)如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且==.

求证:点E,O,F在同一直线上.
【证明】设=m,=n,
由==知E,F分别是CD,AB的三等分点,
所以=+=+
=-m+(m+n)=m+n,
=+=+
=(m+n)-m=m+n.所以=.
又O为和的公共点,故点E,O,F在同一直线上.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
【解析】选C.由题意得-=λ(+),即=λ(+),根据平行四边形法则,知+是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.
2.(4分)已知点A(2,0),B(-4,4),C(1,-1),D是线段AB的中点,延长CD到点E使||=2||,则点E的坐标为 (　　)

A. B.
C. D.
【解析】选A.由已知得D(-1,2),因为||=2||,所以=2,设E(x,y),则有(-2,3)=2(x+1,y-2),
所以所以
3.(4分)在△ABC所在平面上有一点P,满足++=,则△PAB与△ABC的面积的比值是________.  
【解析】由题意可得=2,
所以P是线段AC的三等分点(靠近点A),
易知S△PAB=S△ABC,即S△PAB∶S△ABC=1∶3.
答案:1∶3
4.(4分)已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的________. 

【解析】由条件,得-=λ,即=λ,而和分别表示平行于,的单位向量,故+平分∠BAC,即平分∠BAC,所以点P的轨迹必过△ABC的内心.
答案:内心
5.(14分)若平面向量α,β满足|α|≤1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为,求α与β的夹角θ的取值范围.

【解析】因为以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为,所以|α||β|sin θ
=.因为α,β满足|α|≤1,|β|≤1,所以≤sin θ,因为θ∈(0,π),所以θ∈,所以α,β夹角θ的取值范围是.

1.已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为________. 

【解析】方法一:由O,P,B三点共线,
可设=λ=(4λ,4λ),
则=-=(4λ-4,4λ).
又=-=(-2,6),
由与共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,
解得λ=,所以==(3,3),
所以点P的坐标为(3,3).
方法二:设点P(x,y),则=(x,y),
因为=(4,4),且与共线,所以=,
即x=y.
又=(x-4,y),=(-2,6),且与共线,所以(x-4)×6-y×(-2)=0,
解得x=y=3,
所以点P的坐标为(3,3).
答案:(3,3)
2.在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,M是AC边上靠近A点的一个三等分点,试问:在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PC⊥BM?

【解析】以B为原点,BC边所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.由于AB=AC=5,BC=6,所以B(0,0),A(3, 4),C(6,0).则=(3,-4),
由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点.
所以==,于是M,所以=,假设在BM上存在点P使得PC⊥BM,
则设=λ,且0<λ<1,即=λ=,所以=+=(-6,0)+=.
由于PC⊥BM,所以λ×+(4λ-6)×4=0,
λ=∉(0,1),所以线段BM上不存在点P使得PC⊥BM.

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