2019_2020学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.1直线与直线垂直8.6.2直线与平面垂直第2课时直线与平面所成的角直线与平面垂直的性质定理应用案巩固提升新人教A版必修第二册.doc

第2课时 直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理A基础达标1下列说法中正确的是()过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直；过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直ABC D解析：选A.由线面垂直的性质及线面平行的性质知正确；错，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直2在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是()AAD1DP BAPB1CCAC1DP DA1PB1C解析：选B.在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为B1CBC1，B1CAB，BC1ABB，所以B1C平面ABC1D1，因为点P是线段BC1上任意一点，所以APB1C.故选B.3下列命题正确的是()b；ab；b；b.A BC D解析：选A.对于命题，a，则a垂直于平面内的任意两条相交直线，又因为ab，所以b也垂直于平面内的任意两条相交直线，所以b，正确；由线面垂直的性质定理可知ab，所以正确；因为a，当ab时，则b可能在平面内，也可能与平面平行，所以错误；当a，ab时，b与平面的三种位置都有可能出现，所以错误4.如图，设平面平面PQ，EG平面，FH平面，垂足分别为G，H.为使PQGH，则需增加的一个条件是()AEF平面BEF平面CPQGEDPQFH解析：选B.因为EG平面，PQ平面，所以EGPQ.若EF平面，则由PQ平面，得EFPQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ平面EFHG，所以PQGH，故选B.5已知点P是ABC所在平面外一点，且PAPBPC，则点P在平面ABC上的射影一定是ABC的()A内心 B外心C垂心 D重心解析：选B.如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连接OA，OB，OC.所以PO平面ABC.因为PAPBPC，且POAPOBPOC90，所以PAOPBOPCO，所以AOBOCO.即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为ABC的外心6等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面内，若AC与所成的角为30，则斜边上的中线CM与所成的角为_解析：如图，设C在平面内的射影为点O，连接AO，MO，则CAO30，CMO就是CM与所成的角设ACBC1，则AB，所以CM，CO，所以sinCMO，所以CMO45.答案：457如图所示，PO平面ABC，BOAC，在图中与AC垂直的直线有_条解析：因为PO平面ABC，AC平面ABC，所以POAC.又ACBO，POBOO，所以AC平面PBD，所以PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，所以图中共有4条直线与AC垂直答案：48在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则点P到BC的距离是_解析：如图所示，作PDBC于点D，连接AD.因为PA平面ABC，所以PABC.又PDPAP，所以CB平面PAD，所以ADBC.在ACD中，AC5，CD3，所以AD4.在RtPAD中，PA8，AD4，所以PD4.答案：49如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA1.(1)求证：AB1平面A1BC1；(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，所以AB1BA1.由AA1平面A1B1C1得AA1A1C1.又因为A1C1A1B1，AA1A1B1A1，所以A1C1平面AA1B1B，又因为AB1平面AA1B1B，所以A1C1AB1，又因为BA1A1C1A1，所以AB1平面A1BC1.(2)连接A1D.设ABACAA11，因为AA1平面A1B1C1，所以A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的中点，所以A1DB1C1.在RtA1DA中，AD.所以sinA1DA，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.10.如图，已知四棱锥SABCD中ABCD为矩形，SA平面AC，AESB于点E，EFSC于点F.(1)求证：AFSC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AGSD.证明：(1)因为SA平面AC，BC平面AC，所以SABC.因为四边形ABCD为矩形，所以ABBC.又因为SA ABA，所以BC平面SAB.所以BCAE.又SBAE，BCSBB，所以AE平面SBC.又因为SC平面SBC，所以AESC.又EFSC，EF AEE，所以SC平面AEF.因为AF平面AEF，所以AFSC.(2)因为SA平面AC，所以SADC.又ADDC，ADSAA，所以DC平面SAD.又AG平面SAD，所以DCAG.又由(1)有SC平面AEF，AG平面AEF，所以SCAG.又SCDCC，所以AG平面SDC.因为SD平面SDC，所以AGSD.B能力提升11如图所示，PA平面ABC，ABC中BCAC，PBA1，PBC2，ABC3.则下列关系一定成立的是()Acos 1cos 2cos 3Bcos 1cos 3cos 2Csin 1sin 2sin 3 Dsin 1sin 3sin 2解析：选B.BC平面PACBCPC，所以cos 1，cos 2，cos 3.则有cos 1cos 3cos 2.12.如图，RtABC所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明：(1)因为SASC，D为AC的中点，所以SDAC.在RtABC中，有ADDCBD.又SASB，所以ADSBDS.所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面ABC.(2)因为BABC，D为AC的中点，所以BDAC.又由(1)知SD平面ABC，所以BD平面ABC，所以SDBD.因为ACSDD.所以BD平面SAC.C拓展探究13如图(1)，矩形ABCD中，AB12，AD6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE3，BF4，将BCE沿BE折起至PBE的位置(如图(2)所示)，连接AP，PF，其中PF2.(1)求证：PF平面ABED；(2)在线段PA上是否存在点Q使得FQ平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由(3)求点A到平面PBE的距离解：(1)证明：连接EF，由题意知，PBBC6，PECE9，在PBF中，PF2BF2201636PB2，所以PFBF.易得EF，在PEF中，EF2PF2612081PE2，所以PFEF.又BFEFF，BF平面ABED，EF平面ABED，所以PF平面ABED.(2)存在，当Q为PA的三等分点(靠近P)时，FQ平面PBE.理由如下：因为AQAP，AFAB，所以FQBP，又FQ平面PBE，PB平面PBE，所以FQ平面PBE.(3)由(1)知PF平面ABED，连接AE，则PF为三棱锥PABE的高设点A到平面PBE的距离为h，由等体积法得VAPBEVPABE，即SPBEhSABEPF.又SPBE6927，SABE12636，所以h，即点A到平面PBE的距离为.- 6 -