2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价八平面向量数乘运算的坐标表示新人教A版必修2.doc

课时素养评价八　
平面向量数乘运算的坐标表示

　　　　　(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知向量a=(1，2)，2a+b=(3，2)，则b= (　　)
A.(1，-2) B.(1，2)
C.(5，6) D.(2，0)
【解析】选A.b=(3，2)-2a=(3，2)-(2，4)=(1，-2).
2.(2019·重庆高一检测)已知A(2，-1)，B(3，1)，则与平行且方向相反的向量a是 (　　)
A.(2，1) B.(-6，-3)
C.(-1，2) D.(-4，-8)
【解析】选D.=(1，2)，向量(2，1)、(-6，3)、(-1，2)与(1，2)不平行；(-4，-8)与(1，2)平行且方向相反.
3.已知向量a=(1-sin θ，1)，b=，且a∥b，则锐角θ等于
(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
【解析】选B.由a∥b，可得(1-sin θ)(1+sin θ)-=0，即cos θ=±，而θ是锐角，故θ=45°.
【加练·固】
　　 设a=，b=，且a∥b，则锐角α为 (　　)
A.30°　　　B.60°　　　C.45°　　　D.75°
【解析】选A.因为a∥b，
所以×-tan α·cos α=0，即sin α=，又α为锐角，故α=30°.
4.已知平面向量a=(x，1)，b=(-x，x2)，则向量a+b(　　)
A.平行于x轴
B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
【解析】选C.a+b=(x，1)+(-x，x2)=(0，x2+1)，因为x2+1≥1，所以点(0，x2+1)在y轴正半轴上.所以a+b平行于y轴.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知=(k，12)，=(4，5)，=(10，k)，若A，B，C三点共线，则实数k=________. 
【解析】由题意，得=(k-4，7)，=(6，k-5).因为A，B，C三点共线，所以(k-4)(k-5)-6×7=0.
解得k=-2或k=11.
答案：-2或11
6.平面上三点分别为A(2，-5)，B(3，4)，C(-1，-3)，D为线段BC中点，则向量的坐标为________. 
【解析】依题意知=(+)=(2，1)=，则=-=(2，-5)
-=.
答案：
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设=a，=b，=c.
(1)求3a+b-3c；
(2)求满足a=mb+nc的实数m，n.
【解析】由已知，得a=(5，-5)，
b=(-6，-3)，c=(1，8).
(1)3a+b-3c=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)
=(15-6-3，15-3-24)=(6，-42).
(2)因为mb+nc=(-6m+n，-3m+8n)，
所以解得
8.(14分)已知向量=(4，3)，=(-3，-1)，点A(-1，-2).
(1)求线段BD的中点M的坐标.
(2)若点P(2，y)满足点P，B，D三点共线，求y的值.
【解析】(1)设B(x1，y1)，
因为=(4，3)，A(-1，-2)，
所以(x1+1，y1+2)=(4，3)，
所以所以所以B(3，1).
同理可得D(-4，-3)，设BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2==-，y2==-1，
所以M.
(2)=(3，1)-(2，y)=(1，1-y)，
4，-3)-(3，1)=(-7，-4).
因为P，B，D三点共线，所以∥，
所以-4+7(1-y)=0，所以y=.

　　　　　(15分钟·30分)
1.(4分)(2019·衡阳高一检测)若a=(1，1)，b=(1，-1)，c=(-1，2)，则c等于 (　　)
A.-a+b B.a-b
C.a-b D.-a+b
【解析】选B.设c=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，
则(-1，2)=λ1(1，1)+λ2(1，-1)
=(λ1+λ2，λ1-λ2)，
则所以
所以c=a-b.
2.(4分)已知向量a=(1，0)，b=(0，1)，c=ka+b(k∈R)，da-b，如果c∥d，那么 (　　)

A.k=1且c与d同向
B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向
D.k=-1且c与d反向
【解析】选D.因为a=(1，0)，b=(0，1)，若k=1，则c=a+b=(1，1)，d=a-b=(1，-1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k=-1，则c=-a+b=(-1，1)，d=a-b=-(-1，1)，即c∥d且c与d反向.
3.(4分)已知A，B，C，D四点的坐标分别为A(0，-1)，B(3，2)，C(1，3)，D(-1，1)，则四边形ABCD的形状是________.  
【解析】因为=(3，3)，=(2，2)，
所以∥，≠||.
所以四边形ABCD的形状是梯形.
答案：梯形
4.(4分)已知向量a=(x，3)，b=(-3，x)，则
①存在实数x，使a∥b；
②存在实数x，使(a+b)∥a；
③存在实数x，m，使(ma+b)∥a；
④存在实数x，m，使(ma+b)∥b.
其中，叙述正确的序号为_______.  
【解析】由a∥b⇔x2=-9无实数解，故①不对；
又a+b=(x-3，3+x)，由(a+b)∥a得3(x-3)-x(3+x)=0，即x2=-9无实数解，故②不对；
因为ma+b=(mx-3，3m+x)，
由(ma+b)∥a得(3m+x)x-3(mx-3)=0.
即x2=-9无实数解，故③不对；
由(ma+b)∥b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0，
即m(x2+9)=0，所以m=0，x∈R，故④正确.
答案：④
5.(14分)已知A，B，C三点的坐标为(-1，0)，(3，-1)，(1，2)，并且=，=，
求证：∥.
【证明】设E，F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
依题意有=(2，2)，=(-2，3)，
=(4，-1)，
因为=，所以(x1+1，y1)=(2，2).
所以点E的坐标为.
同理点F的坐标为，=.
又×(-1)-4×=0，所以∥.

1.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为________.  

【解析】设P(x，y)，则=(x-1，y)，
=(5，4)，=(-3，6)，=(4，0).
由B，P，D三点共线可得==(5λ，4λ).
又因为=-=(5λ-4，4λ)，
由与共线得，(5λ-4)×6+12λ=0.
解得λ=，所以==，
所以P的坐标为.
答案：
2.已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC=2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积.
【解析】以A为坐标原点，为x轴，为y轴建立直角坐标系，如图所示，
所以A(0，0)，B(6，0)，C(6，6)，D(0，6)，F(6，4)，E(3，0)，
设P(x，y)，=(x，y)，
=(6，4)，=(x-3，y)，=(3，6).
由点A，P，F和点C，P，E分别共线，
得所以
所以S四边形APCD=S正方形ABCD-S△AEP-S△CEB
=36-×3×3-×3×6=.

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