2019_2020学年新教材高中数学第一课考点突破素养提升新人教B版必修第一册.doc

第一课
考点突破·素养提升
素养一　数学抽象
角度　集合的基本概念
【典例1】已知集合={a2，a+3b，0}，则2|a|+b=________. 
【解析】因为集合={a2，a+3b，0}，所以b=0，a2=4，解得a=±2，
当a=-2，b=0时，{-2，0，4}={4，-2，0}，成立，
此时2|a|+b=4.
当a=2，b=0时，{2，0，4}={4，2，0}，成立，
此时2|a|+b=4.
答案：4
【典例2】已知A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}，若1∈A，求实数a的值.
【解析】由题设条件可知：1∈A，
若a+2=1，即a=-1时，
(a1)2=0，a2+3a+3=1=a+2，
不满足集合中元素的互异性，舍去；
若(a+1)2=1，即a=0或a=-2，
当a=0时，a+2=2，(a+1)2=1，a2+3a+3=3，
满足条件；
当a=-2时，a+2=0，(a+1)2=1，a2+3a+3=1，
不满足集合中元素的互异性，舍去；
若a2+3a+3=1，即a=-1或a=-2，均不满足条件，
理由同上.综上可知，实数a的值只能是a=0.
【素养·探】
将本例条件改为“集合A={2，4，x2-5x+9}，B={3，x2+ax+a}，2∈B，B⊆A”，求实数a，x的值.
【解析】因为a，x∈R，集合A={2，4，x2-5x+9}，
B={3，x2+ax+a}，2∈B，B⊆A，
所以
解得x=2，a=-或x=3，a=-，
经检验x=2，a=-或x=3，a=-都符合题意，
故所求a，x的值分别为-，2或-，3.
【类题·通】
1.集合元素的互异性在解题中的两个应用
(1)切入：利用集合元素的互异性寻找解题的切入点.
(2)检验：解题完毕，利用互异性验证答案的正确性.
2.描述法表示集合的关键及注意点
(1)关键：清楚集合的类型及元素的特征性质.
(2)注意点：当特征性质的表示形式相同时，要清楚代表元素的不同会导致集合含义的不同，所以研究描述法时要关注集合中代表元素的属性.
【加练·固】
　　　设集合A={x|x2-3x+a=0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________.
【解析】因为4∈A，
所以16-12+a=0，所以a=-4，
所以A={x|x2-3x-4=0}={-1，4}.
答案：{-1，4}
素养二　数学运算
角度　集合的基本运算
【典例3】(2018·北京高考)已知集合A={x||x|<2}，B={-2，0，1，2}，
则A∩B= (　　)
A.{0，1} B.{-1，0，1}
C.{-2，0，1，2} D.{-1，0，1，2}
【解析】选A.集合A={x|-24】设全集I=R，已知集合M={-3}，N={x|x2+x-6=0}.
(1)求(IM)∩N.
(2)记集合A=(IM)∩N，已知集合B=[a-1，a+5]，a∈R，若A∩B=A，求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为M={-3}，
则IM={x|x≠-3}，
又因为N={2，-3}，从而有(IM)∩N={2}.
(2)因为A∩B=A，所以A⊆B，
又因为A={2}，
所以a-1≤2≤a+5，
解得-3≤a≤3，即实数a的取值范围是[-3，3].
【类题·通】
1.集合基本运算的方法
(1)定义法或维恩图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在维恩图中表示出来，借助维恩图观察求解.
(2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解.
2.集合与不等式结合的运算包含的类型及解决办法
(1)不含字母参数：直接将集合中的不等式解出，在数轴上求解.
(2)含有字母参数：若字母的取值影响到不等式的解，要先对字母分类讨论，再求解不等式，然后在数轴上求解.
【加练·固】
1.设集合U={x|x是小于20的质数}，A，B⊆U，(UA)∩B={3，5}，
(UB)∩A={11，13}，(UA)∩(UB)={7，17}，则集合A，B分别为 (　　)
A.A={1，2，11，13，19}，B={1，2，3，5，19}
B.A={2，11，13，19}，B={2，3，5，19}
C.A={3，11，13，19}，B={2，3，5，19}
D.A={2，11，13，17，19}，B={2，3，5，7，19}
【解析】选B.由题意画出Venn图如下，

所以A∩B={2，19}，
所以A={2，11，13，19}.B={2，3，5，19}.
2.若集合A={x|-3≤x≤4}和B={x|2m-1≤x≤m+1}.
(1)当m=-3时，求集合(RA)∩B.
(2)当A∩B=B时，求实数m的取值范围.
【解析】(1)当m=-3时，集合RA={x|x<-3或x>4}，B={x7≤x≤-2}.
所以(RA)∩B={x|-7≤x<-3}.
(2)因为A∩B=B，所以B⊆A，
当2m-1>m+1，即m>2时，B=，满足B⊆A，
当2m-1≤m+1，即m≤2时，B≠，
若B⊆A，则
解得-1≤m≤3，又m≤2，所以-1≤m≤2，
综上所述，m的取值范围是m≥-1.
素养三　逻辑推理
角度1　判断集合间的关系
【典例5】集合M={x|x=3k-2，k∈Z}，P={y|y=3n+1，n∈Z}，S={z|z=6m+1，m∈Z}之间的关系是 (　　)
A.SPM B.S=PM
C.SP=M D.P=MS
【解析】选C.运用整数的性质求解.集合M，P表示的是被3整除余1的整数集，集合S表示的是被6整除余1的整数集.
【类题·通】
1.集合间关系的判断方法
(1)定义法：根据定义直接判断元素与集合间的关系，得出集合间的关系.
(2)图示法：利用数轴或Venn图表示出相应的集合，根据图示直观地判断.
2.求解集合间关系问题的两个注意事项
(1)解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论，分类时遵循“不重不漏”的原则，且对每类情况都要给出问题的解答.
(2)对于两集合A，B，当A⊆B时，不要忽略A=.
【加练·固】
　　已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0}，B={x∈N|0B的集合C的个数为 (　　)
A.1　　　　 B.2　　　　 C.3　　　　 D.4
【解析】选D.A={x∈R|x2-3x+2=0}={1，2}，
B={x∈N|03}，
(1)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的充分条件？
(2)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的必要条件？
【解析】(1)欲使x∈A是x∈B成立的充分条件，
则只要{x|x<-1或x>3}，
则只要-≤-1，即m≥2，故存在实数m≥2时，使x∈A是x∈B成立的充分条件.
(2)欲使x∈A是x∈B成立的必要条件，
则只要{x|x<-1或x>3}，则这是不可能的，
故不存在实数m，使x∈A是x∈B成立的必要条件.
【类题·通】
充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法

(2)集合法：写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断.用集合法判断时，要尽可能用图示、数轴等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度.
【加练·固】
　 　判断m≥2是否是关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件.
【解析】(1)因为m≥2，所以Δ=m2-4≥0，方程x2+mx+1=0有实根.
设x2+mx+1=0的两个实根为x1，x2，
由根与系数的关系知x1x2>0.所以x1，x2同号.
又因为x1+x2=-m≤-2，所以x1，x2同为负根.
所以m≥2⇒关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根.
(2)因为x2+mx+1=0的两个实根x1，x2均为负，且x1x2=1，所以m-2=-(x1+x2)-2
=--2=-=-≥0，所以m≥2.
所以关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根⇒m≥2.
从而m≥2⇔关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根.
所以m≥2是关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件.
角度3　全称量词命题和存在量词命题及其否定
【典例7】写出下列全称量词命题或存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p：空集是任何一个非空集合的真子集.
(2)q：∀x∈R，4x2>2x-1+3x2.
(3)r：∃x∈{-2，-1，0，1，2}，|x-2|<2.
(4)s：所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径.
【解析】(1)p：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集.
由p是真命题可知p是假命题.
(2)q：∃x∈R，4x2≤2x-1+3x2，
因为4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1≥0，
所以当x=1时，4x2=2x-1+3x2.
由q是假命题可知q是真命题.
(3)r：∀x∈{-2，-1，0，1，2}，︱x-2︱≥2.
因为当x=1时，︱x-2︱=1<2.
所以r是假命题.
(4)s：有的圆的圆心到其切线的距离不等于半径.由s是真命题可知s是假命题.
【类题·通】
1.全称量词命题和存在量词命题的判断
主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断.
2.全称量词命题和存在量词命题真假的判断
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
(2)判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性.若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题.
【加练·固】
　 　写出下列全称量词命题或存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p：∀x∈{3，5，7}，3x+1是偶数.
(2)q：对任意x∈R，都有|x-2|+|x-4|>3.
(3)r：二次函数的图象是抛物线.
(4)s：在实数范围内，有些一元二次方程无解.
【解析】(1)p：∃x∈{3，5，7}，3x+1不是偶数.
因为对集合{3，5，7}中的每一个值，都有3x+1是偶数.
p是真命题，所以p是假命题.
(2)q：∃x∈R，|x-2|+|x-4|≤3.
因为当x=3时，|x-2|+|x-4|=2<3.
所以q是真命题.
(3)r：有的二次函数的图象不是抛物线.
由r是真命题可知r是假命题.
(4)s：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解.由s是真命题可知s是假命题.

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