全等三角形克拉玛依教研网精.pptx

11.1 11.1 全等三角形全等三角形 11.2 11.2 三角形全等的条件三角形全等的条件11.3 11.3 角的平分线的性质角的平分线的性质 11.2.1 11.2.1 三角形全等的条件三角形全等的条件SSSSSS11.2.2 11.2.2 三角形全等的条件三角形全等的条件SASSAS11.2.3 11.2.3 三角形全等的条件三角形全等的条件ASAASA11.2.4 11.2.4 三角形全等的条件三角形全等的条件HLHL同一张底片洗出的同大小照片是同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的能够完全重合的;回忆：举出现实生活中能够完全重合的回忆：举出现实生活中能够完全重合的图形的例子图形的例子?能够完全重合的两个图形叫做能够完全重合的两个图形叫做全等图形全等图形.下列各组图形的形状与大小有什么特点？能够重合的图形叫做能够重合的图形叫做全等图形全等图形（1）（2）（3）（4）能够重合两个三角形叫做能够重合两个三角形叫做全等三角形全等三角形小试身手小试身手下列说法是否正确下列说法是否正确,并简要说明理由并简要说明理由:(1)边长相等的正方形都是全等图形边长相等的正方形都是全等图形;(2)同一面中华人民共和国国旗上同一面中华人民共和国国旗上,4个小个小五角星都是全等图形五角星都是全等图形.(3)面积相等的两个三角形是全等三角形面积相等的两个三角形是全等三角形(4)两个全等三角形的面积相等两个全等三角形的面积相等(）（）（）（）(5)半径相等的两个圆是全等图形半径相等的两个圆是全等图形（）图形的翻折、旋转、平移称是图形的图形的翻折、旋转、平移称是图形的三种基本的运动，三种基本的运动，我们把图形的翻折、旋转、平移称作图我们把图形的翻折、旋转、平移称作图形的三种基本的运动，图形经过这样的运形的三种基本的运动，图形经过这样的运动，位置虽然发生了变化，动，位置虽然发生了变化，但形状、大小但形状、大小却没有改变，前后两个图形是全等的。反却没有改变，前后两个图形是全等的。反过来，两个全等的图形经过这样的运动一过来，两个全等的图形经过这样的运动一定能够重合。定能够重合。三角形是特殊的多边形三角形是特殊的多边形,因此因此:1、能够完全重合的两个三角形叫、能够完全重合的两个三角形叫全等三角形全等三角形 2、全等三角形的对应边、对应角分别相等！、全等三角形的对应边、对应角分别相等！3、同样，对应边、对应角分别相等的三角形、同样，对应边、对应角分别相等的三角形全等！全等！“全等全等”用符号用符号“”表表示示比如ABCDFE 记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点对应顶点的字母写在对对应应的位置上。如图，下面两个三角形是全等图形吗？你是怎么知道的？结论：这两个三角形重合如图，下面两个三角形是全等图形吗？你是怎么知道的？ABCDEF已知ABCDEFABCDEF，指出它们的对应边和对应角试一试：试一试：解：对应边是：解：对应边是：对应角是：对应角是：AC与与DF，AB与与DE，BC与与EFAA与与FDBFDB，ABCABC与与E E，C C与与F FABCDE填一填：填一填：对应边是对应边是对应角是对应角是ABCDECAC与与DC，AB与与DE，BC与与EC。A与与D、B与与E、ACB与与DCEABCDAABBDC如图如图ABDABCAD的对应边是；的对应边是；AB的对应边是的对应边是DAB的对应角是的对应角是ACABCABAC如图如图AOCBOD1.相等的边是：相等的边是：2.AOC=A=C=C=OA=OBOC=OD，AC=BDBODB DODB理由：理由：全等三角形的对应边、对全等三角形的对应边、对应角分别相等！应角分别相等！ABCDO如图，已知如图，已知OCAOBD，请说出它们的相等的边和相等的角。请说出它们的相等的边和相等的角。答：答：对应边是：对应边是：OA=ODOC=OB、AC=DB对应角是：对应角是：A=D、C=B、AOC=DOB一、选择题ABC BAD，A和和B、C和和D是对应点，如果是对应点，如果AB=5cm，BD=4cm，AD=6cm，那么，那么BC的长是的长是（）（A）6cm （B）5cm （C）4cm （D）无法确定在上题中，CAB的对应角是（）(A)DAB(B)DBA(C)DBC (D)CADAOCDBAB变式练习变式练习,扩展新知扩展新知二二.如图如图,BD是长方形是长方形ABCD的一条对角线。的一条对角线。(1)ABD与与CDB全等吗？你是怎样知道的？全等吗？你是怎样知道的？(2)如果你认为如果你认为ABD与与CDB全等，请用符全等，请用符号表示，并说出它们的对应边和对应角。号表示，并说出它们的对应边和对应角。ABDC回顾小结：回顾小结：1、本节主要学了哪几种图形、本节主要学了哪几种图形：2、图形图形的三种基本的运动的三种基本的运动 翻折、旋转、平移翻折、旋转、平移明确这三种运动方式，可以让我们容易明确这三种运动方式，可以让我们容易地找出对应边、对应角地找出对应边、对应角3、全等多边形、全等三角形的对应边，、全等多边形、全等三角形的对应边，对应角有什么特征？对应角有什么特征？相等注意：书写时，对应字母应写在对应位置！注意：书写时，对应字母应写在对应位置！全等图形，全等多边形，全等三角形全等图形，全等多边形，全等三角形AB=DEBC=EFCA=FDA=DB=EC=FABCDEF1、什么叫全等三角形？什么叫全等三角形？能够重合能够重合的两个三角形叫的两个三角形叫全等三角形全等三角形。2、全等三角形有什么性质？全等三角形有什么性质？情境问题:小明家的衣橱上镶有两块小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物全等的三角形玻璃装饰物,其其中一块被打碎了中一块被打碎了,妈妈让小明妈妈让小明到玻璃店配一块回来到玻璃店配一块回来,请你说请你说说小明该怎么办说小明该怎么办?1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）。只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）。只给一条边：只给一条边：只给一个角：只给一个角：606060探究：探究：2.给出两个条件：给出两个条件：一边一内角：一边一内角：两内角：两内角：两边：两边：303030303050502cm2cm4cm4cm可以发现按这可以发现按这些条件画的三些条件画的三角形都不能保角形都不能保证一定全等。证一定全等。三边对应相等的两个三角形全等（可以三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为简写为“边边边边边边”或或“SSS”）。）。已知三角形三条边分别是已知三角形三条边分别是 4cm4cm，5cm5cm，7cm7cm，画画出这个三角形，把所画的三角形出这个三角形，把所画的三角形分别分别剪剪下来，并与同伴下来，并与同伴比一比比一比，发现什么，发现什么？思考：思考：你能用你能用“边边边边边边”解释三角形具解释三角形具有稳定性吗？有稳定性吗？判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。全等。AB=DEBC=EFCA=FDABCDEF用用数学语言表述：数学语言表述：在在ABC和和DEF中中ABCDEF（SSS）例例1.如下图，如下图，ABC是一个刚架，是一个刚架，AB=AC，AD是连接是连接A与与BC中点中点D的支架。的支架。求证：求证：ABD ACD分析：分析：要证明要证明ABD ACD，首先看这两个三角形的三条边是首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。否对应相等。结论结论：从这题的证明中可以看出，证明是由：从这题的证明中可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。后推出结论正确的过程。准备条件：证全等时要用的间接准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；条件要先证好；三角形全等书写三步骤：三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论写出全等结论证明的书写步骤：证明的书写步骤：已知已知AC=FE，BC=DE，点，点A，D，B，F在在一条直线上，一条直线上，AD=FB（如图），要用（如图），要用“边边边边边边”证明证明ABCFDE，除了已知中的，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？怎样才能得到这个条件？解：要证明解：要证明ABCFDE，还应该有，还应该有AB=DF这个条件这个条件DB是是AB与与DF的公共部分，的公共部分，且且AD=BFAD+DB=BF+DB即即AB=DF如图，如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：求证：AEB ADC。证明：证明：BD=CEBD-ED=CE-ED，即即BE=CD。在在AEB和和ADC中，中，AB=ACAE=ADBE=CDAEB ADCCABDE小结小结2.三边对应相等的两个三角形全等（边边边三边对应相等的两个三角形全等（边边边或或SSS）；）；3.书写格式：书写格式：准备条件；准备条件；三角形三角形全等书写的三步骤。全等书写的三步骤。1.知道三角形三条边的长度怎样画三角形。知道三角形三条边的长度怎样画三角形。创设情景创设情景 因铺设电线的需要，要在因铺设电线的需要，要在池塘两侧池塘两侧A A、B B处各埋设一根处各埋设一根电线杆（如图），因无法直电线杆（如图），因无法直接量出接量出A A、B B两点的距离，现两点的距离，现有一足够的米尺。怎样测出有一足够的米尺。怎样测出A A、B B两杆之间的距离呢？两杆之间的距离呢？。AB知识回顾三边对应相等的两个三角形全等（可以简写三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为为“边边边边边边”或或“SSS”）。）。ABCDEF用用数学语言表述数学语言表述：在在ABC和和DEF中中ABCDEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD探究1对于三个角对应相等的两个三角形全等吗？对于三个角对应相等的两个三角形全等吗？ABCDE如图，如图，ABC和和ADE中，中，如果如果DEAB，则，则A=A，B=ADE，C=AED，但，但ABC和和ADE不重合，所以不不重合，所以不全等。全等。三个角对应相等的两个三角形不一定全等三个角对应相等的两个三角形不一定全等做一做：画做一做：画ABC,使使AB=3cm，AC=4cm。画法：画法：2.在射线在射线AM上截取上截取AB=3cm3.在射线在射线AN上截取上截取AC=4cm 这样画出来的三角形与同桌所画的三角形这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进行比较，它们互相重合吗？进行比较，它们互相重合吗？若再加一个条件，使若再加一个条件，使A=45，画出，画出ABC1.画画MAN=454.连接连接BCABC就是所求的三角形就是所求的三角形把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？形进行比较，它们能互相重合吗？探究2问：如图问：如图ABC和和DEF中，中，AB=DE=3，B=E=300，BC=EF=5则它们完全重合？即则它们完全重合？即ABCDEF？35300ABC35300DEF问：如图问：如图ABC和和DEF中，中，AB=DE=3，B=E=300，BC=EF=5则它们完全重合？即则它们完全重合？即ABCDEF？35300ABC35300DEF 三角形全等判定方法三角形全等判定方法用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在ABC与与DEF中中AB=DE B=EBC=EFABCDEF（SAS）ABCDEF 两边和它们的夹角对应相等的两个三角两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。形全等。简写成简写成“边角边边角边”或或“SAS”分别找出各题中的全等三角形分别找出各题中的全等三角形ABC40 40 DEF(1)DCAB(2)ABCEFD ABCEFD 根据根据“SASSAS”ADCCBA ADCCBA 根据根据“SASSAS”已知：如图，已知：如图，AB=CB AB=CB，ABD=CBD ABD=CBD ABD ABD 和和 CBD CBD 全等吗？全等吗？例例1 1分析分析:ABD CBD ABD CBD边边:角角:边边:AB=CB(已知已知)ABD=CBD(ABD=CBD(已知已知)？ABCD(SAS)现在例现在例1的已知条件不改变的已知条件不改变而问题改而问题改变成变成:问问AD=CD，BD平分平分ADC吗？吗？已知：如图，已知：如图，AB=CB AB=CB，ABD=CBD ABD=CBD。问问AD=CDAD=CD，BD平分平分ADC吗？吗？例题例题推广推广ABCDABCD练习练习 (2)(2)已知已知:AD=CD:AD=CD，BD BD 平分平分 ADC ADC。问问A=C A=C 吗？吗？ABCDO补充题：补充题：例例1 如图如图AC与与BD相交于点相交于点O，已知已知OA=OC，OB=OD，说明，说明AOBCOD的理由。的理由。例例2 如图，如图，AC=BD，CAB=DBA，你能判断，你能判断BC=AD吗？说明理由。吗？说明理由。ABCD归纳：归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到过从它们所在的两个三角形全等而得到。探究新知探究新知 因铺设电线的需要，要在因铺设电线的需要，要在池塘两侧池塘两侧A A、B B处各埋设一根处各埋设一根电线杆（如图），因无法直电线杆（如图），因无法直接量出接量出A A、B B两点的距离，现两点的距离，现有一足够的米尺。请你设计有一足够的米尺。请你设计一种方案，粗略测出一种方案，粗略测出A A、B B两两杆之间的距离。杆之间的距离。AB 小明的设计方案：先在池塘旁取一小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达个能直接到达A A和和B B处的点处的点C C，连结，连结ACAC并并延长至延长至D D点，使点，使AC=DCAC=DC，连结，连结BCBC并延长并延长至至E E点，使点，使BC=ECBC=EC，连结，连结CDCD，用米尺测，用米尺测出出DEDE的长，这个长度就等于的长，这个长度就等于A A，B B两点的两点的距离。请你说明理由。距离。请你说明理由。AC=DCACB=DCEBC=ECACBDCEAB=DE小明做了一个如图所示的风筝，其中小明做了一个如图所示的风筝，其中EDH=FDH,EDH=FDH,ED=FD ED=FD，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道知道EH=FHEH=FH吗？与同桌进行交流。吗？与同桌进行交流。EFDHEDHFDH 根据“SAS”，所以EH=FH 以以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为三角形的两边，长度为为2.5cm的边所对的角为的边所对的角为40 40，情况又怎，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？样？动手画一画，你发现了什么？ABCDEF2.5cm3.5cm40403.5cm2.5cm结论：结论：两边及其一边所对的角相等，两两边及其一边所对的角相等，两个三角形个三角形不一定不一定全等全等探究2猜一猜：猜一猜：是不是二条边和一个角对应相等，这样的两是不是二条边和一个角对应相等，这样的两个三角形一定全等吗？你能举例说明吗？个三角形一定全等吗？你能举例说明吗？如图如图ABCABC与与ABDABD中，中，AB=ABAB=AB，AC=BDAC=BD，B=BB=B他们全等吗？他们全等吗？BACD注注：这个角一定要是这两边所夹的角这个角一定要是这两边所夹的角课堂小结课堂小结:2.用尺规作图：已知两边及其夹角的三角形画三角用尺规作图：已知两边及其夹角的三角形画三角形形1.三角形全等的条件三角形全等的条件,两边和它们的夹角对应相等的两两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等个三角形全等 (边角边边角边或或SAS)3、会判定三角形全等、会判定三角形全等1.什么是全等三角形？什么是全等三角形？2.判定两个三角形全等要具备什么判定两个三角形全等要具备什么条件条件?复习复习 三边对应相等的两个三角形全等。边边边：边角边：有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。一张教学用的三角形硬纸板不小心一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？的原貌吗？怎么办？可以帮帮我吗？创设情景,实例引入CBEAD 先任意画出一个ABC，再画一个A/B/C/，使A/B/=AB，A/=A，B/=B。把画好的A/B/C/剪下，放到ABC上，它们全等吗？探究1已知：任意已知：任意ABC，画一个，画一个A/B/C/，使使A/B/AB，A/=A，B/=B：画法画法：2、在、在A/B/的同旁画的同旁画DA/B/=A，EB/A/=B，A/D，B/E交于点交于点C/。1、画、画A/B/AB；A/B/C/就是所要画的三角形。就是所要画的三角形。问：通过实验可以发现什么事实？问：通过实验可以发现什么事实？有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）。探究反映的规律是：A=A（已知已知）AB=AC（已知已知）B=C（已知已知）证明：在证明：在ABE和和ACD中中 ABEACD（ASA）用数学符号表示例题讲解：例题讲解：已知：点已知：点D在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE和和CD相相交于点交于点O，AB=AC，B=C。求证求证：ABEACD例例1.例例2.如图，如图，1=2，3=4求证：求证：AC=AD1234在在ABC和和DEF中，中，A=D，B=E，BC=EF，ABC与与DEF全等全等吗？能利用角边角条件证明你吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？的结论吗？探究2ABCDEF有两角和它们中的一边对应相等的两个三有两角和它们中的一边对应相等的两个三角形全等角形全等(简写成简写成“角角边角角边”或或“AAS”）。）。A=A（已知已知）B=C（已知已知）AE=AD（已知已知）证明：在证明：在ABE和和ACD中中 ABEACD（AAS）1.如图，应填什么就有如图，应填什么就有ADC BODA=B（已知）（已知）（已知）（已知）C=D（已知）（已知）ADCBOD（）2.已知，如图，已知，如图，1=2，C=D求证：求证：AC=AD证明：证明：122.已知，如图，已知，如图，1=2，C=D求证：求证：AC=AD在在ABD和和ABC中中1=2（已知）（已知）D=C（已知）（已知）AB=AB（公共边）（公共边）ABDABC（AAS）AC=AD（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）证明：证明：12（1）学习了角边角、角角边（2）注意角角边、角边角中两角与边的区别。（3）会根据已知两角画三角形（4）进一步学会用推理证明。回顾与思考1 1、判定两个三角形全等方法，、判定两个三角形全等方法，。SSSASAAASSAS3 3、如图，、如图，AB BEAB BE于于B B，DE BEDE BE于于E E，2 2、如图，、如图，Rt ABCRt ABC中，直角边中，直角边 、，斜边，斜边 。ABCBCACAB（1 1）若）若 A=DA=D，AB=DEAB=DE，则则 ABCABC与与 DEFDEF （填（填“全等全等”或或“不全不全等等”）根据根据 （用简写法）用简写法）ABCDEF全等全等ASAABCDEF（2 2）若）若 A=DA=D，BC=EFBC=EF，则则 ABCABC与与 DEFDEF （填（填“全等全等”或或“不全等不全等”）根据）根据 （用简写法用简写法）AAS全等全等（3 3）若）若AB=DEAB=DE，BC=EFBC=EF，则则 ABCABC与与 DEFDEF （填（填“全等全等”或或“不全等不全等”）根据）根据 （用简写法）用简写法）全等全等SAS（4 4）若）若AB=DEAB=DE，BC=EFBC=EF，AC=DFAC=DF则则 ABCABC与与 DEFDEF （填（填“全等全等”或或“不全等不全等”）根据）根据 （用简写法）用简写法）全等全等SSS如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.（1 1）你能帮他想个办法吗？）你能帮他想个办法吗？方法一：方法一：测量斜边和一个对应的锐角测量斜边和一个对应的锐角.(AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.(ASA)或或(AAS)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两两个直角三角形是全等的个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？你相信他的结论吗？下面让我们一起来验证这个结论。下面让我们一起来验证这个结论。已知线段已知线段a、c(a c)和一个直角和一个直角，利用尺规作利用尺规作一个一个RtABC,使使C=，CB=a，AB=c.ac想一想，怎样画呢？想一想，怎样画呢？按照下面的步骤做一做：按照下面的步骤做一做：作作MCN=90;CMN 在射线在射线CM上截取线段上截取线段CB=a;CMNB 以以B为圆心为圆心,C为半径画弧，为半径画弧，交射线交射线CN于点于点A;CMNBA 连接连接AB.CMNBA ABC就是所求作的三角形吗？就是所求作的三角形吗？剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？们能重合吗？直角三角形全等的条件直角三角形全等的条件斜边斜边和和一条直角边一条直角边对应相等的两个直角三角对应相等的两个直角三角形全等形全等.简写成简写成“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HL”.想一想 你能够用几种方法说明两个直角你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？三角形全等？直角三角形是特殊的三角形，所以不直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊，还有直角三角形特殊的判定方法的判定方法“HL”.如图，如图，AC=ADAC=AD，C C，D D是直角，将上述是直角，将上述条件标注在图中，你能说明条件标注在图中，你能说明BCBC与与BDBD相等吗？相等吗？CDAB解：在解：在Rt ACB和和Rt ADB中中,则则 AB=AB,AC=AD.Rt ACB Rt ADB(HL).BC=BD(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等).2.2.如图，两根长度为如图，两根长度为1212米的绳子，一端系在旗杆米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。解：BD=CD 因为因为ADB=ADC=90 AB=AC AD=AD所以所以RtABDRtACD(RtABDRtACD(HLHL)所以所以BD=CD议一议议一议如图，有两个长度相同的滑梯，如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度左边滑梯的高度AC与右边滑梯与右边滑梯水平方向的长度水平方向的长度DF相等，两个相等，两个滑梯的倾斜角滑梯的倾斜角ABC和和DFE的大小有什么关系？的大小有什么关系？ABC+DFE=90.解解：在：在Rt ABC和和Rt DEF中中,则则 BC=EF,AC=DF.Rt ABC Rt DEF(HL).ABC=DEF(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等).DEF+DFE=90,ABC+DFE90.小结：这节课你有什么收获呢这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流？与你的同伴进行交流尺尺规作角的平分作角的平分线观观察察察察领领悟作法，探索思考悟作法，探索思考悟作法，探索思考悟作法，探索思考证证明方法：明方法：明方法：明方法：A A画法：画法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 1/2 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作射线射线即为所求射线即为所求A A为什么为什么OCOC是角平分线呢？是角平分线呢？O O想一想：想一想：已知：已知：OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC。求证：求证：OCOC平分平分AOBAOB。证明证明：在：在OMCOMC和和ONCONC中，中，OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC，OC=OCOC=OC，OMC ONCOMC ONC（SSSSSS）MOC=NOCMOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOB练习：练习：平分平角平分平角AOB反向延长得直线反向延长得直线，则直线与直线是什么关系？，则直线与直线是什么关系？则我们得到作一条直线垂线的方法则我们得到作一条直线垂线的方法已知：已知：OC平分平分AOB，点，点P在在OC上，上，PD OA于于D，PE OB于于E求证求证:PD=PEAOBEDP PC例例1 1：角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两边的距离相等边的距离相等 到角的两边的距离相等的点在角到角的两边的距离相等的点在角平分线上。平分线上。结论：结论：思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路例例 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交相交于点于点P.求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.证明：证明：过点过点P作作PD、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足为，垂足为D、E、FBM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等DEFABCPMN练习：练习：如图，如图，的的的外角的平的外角的平分线与分线与的外角的平分线相交于的外角的平分线相交于点求证：点到三边，点求证：点到三边，所在直线的距离相等所在直线的距离相等F FGH1 1：画一个已知角的角平分线；：画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；及画一条已知直线的垂线；2 2：角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等3 3：角平分线的判定结论：角平分线的判定结论：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。到角的两边的距离相等的点在角平分线上。