2、稳定性由闭环系统 矩阵A-BK的特征值决定，即闭环系统(3.3)渐近稳定的充分必要条件是矩阵 A-BK的所有特征值都具有负实部。而由经典控制理论知道，矩阵A - 8k的特征 值也将影响诸如衰减速度、振荡、超调等过渡过程特性。因此，假设能找到一个适 当的矩阵K，使得矩阵A-BK的特征值位于复平面上预先给定的特定位置，那么 以矩阵K为增益矩阵的状态反应控制器(3.2)就能保证闭环系统(3.3)是渐近 稳定的，且具有所期望的动态响应特性。这种通过寻找适当的状态反应增益矩阵K, 使得闭环系统极点(即矩阵A-BK的特征值)位于预先给定位置的状态反应控 制器设计问题称为是状态反应极点配置问题，简称为极点配
3、置问题。
对给定的线性定常系统(3.1)和一组给定的期望闭环极点｛尢,后,…，入｝, 按以下步骤可以设计出使得闭环系统(3.3)具有给定极点C = ｛力,九,…的状态 反应控制器(3.2)。
第1步：检验系统的能控性。如果系统是能控的，那么继续第2步。
第2步：利用系统矩阵A的特征多项式det(XI — A) = An + an-iAn-1 4F a\X + ao
确定ao, ai, , dn-i的值。
第3步：确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵To假设给定的状 态方程已是能控标准形，那么T=L非奇异线性变换矩阵T可由卜.式确定：
第4步：利用给定的期望闭环极点，可得期望
4、的闭环特征多项式为
(A - 21)(2 — Az) •,,(/! — An) = Q + hn-i2n-1 + …+ biA + bo 并确定尻，加，…，的值。
第5步：确定极点配置状态反应增益矩阵K ：
k = [bo — do bl — OCX … bn-2 — a.n-2 bn-1 — Cln-1]T也可以通过待定系数的方法来确定极点配置状态反应增益矩阵K o根据 detail -(A- BK)) = (A- Ai)(A -A2)-(A- An)
利用两个多项式相等的充分必要条件是等号两边4同次累的系数相等，导出关于 K的分量底的一个线性方程组，求解该线性方程组可得要求的增益矩
5、阵 K o
MATLAB软件提供了两个函数acker和place来确定极点配置状态反应控 制器的增益矩阵K o函数acker是基于求解极点配置问题的爱克曼公式，它只 能应用到单输入系统，要配置的闭环极点中可以包括多重极点。 函数acker和place的一般形式是： K=acker(A,B,J)K=placc(A,B,J)
其中的J是一个向量，/=[人12…An],九双2,〃是n个期望的闭环极 点。得到了所要求的反应增益矩阵后，可以用命令cig(A-B*K)来检验闭环极点。
三、实验步骤
1 .极点配置状态反应控制器的设计，采用MATLAB的m-文件编程;
2 .在MATLAB界面下调
6、试程序，并检查是否运行正确。
四、实验内容
x = Ax + Bw
0
A= 0
c= [0 1 0]
0 0 1
考虑由以下状态方程描述的系统：
其中:
试设计一个状态反应控制器，使得闭环系统的极点是汨=-2+/4,
A2 = -2 -;4,心=一10。进而，对给定的初始状态%(0) = [1 00/ ,画出闭环系统的状态响应曲线。
程序截图:
A=[0 1 0:0 0 1;-1 -5 -6]：
B-[0;0:U;
J=[-2+j*4 -2-j*4 -10];
K=place(A,B,J);
sys=ss(A-B*K,[0;0;0], eye(3), 0);
7、
t=0:0.01:4;
x=initial(sys, [l;0：0],t)：
xl-[l 0 0]*x,：
x2=[0 1 0] *x* :
x3=[0 0 l]*x,：
subplot (3, 1, 1) ;plot (t, xl), gridtitleResponse to Initial Condition 18200116 YDQ') ylabel (' xl" )
subplot(3, 1, 2):plot(t,x2),grid
ylabel (' x2')
subplot(3,1, 3)：plot(t,x3),grid
xlabel (' t (sec), )
ylabel (? x3' )
运行结果截图:
五、实验心得
指导教师签字：
2()18年6月1日
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