1、11 1、区域、区域（1）邻域）邻域连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域（2）区域）区域2（3）聚点）聚点（4）n维空间维空间32 2、多元函数概念、多元函数概念定义定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数43 3、多元函数的极限、多元函数的极限5说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似4 4、极限的运算、极限的运算65 5、多元函数的连续性、多元函数的连续性7 在有界闭区域在有界闭区域D上
2、的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介上取得介于这两值之间的任何值至少一次于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理6 6、多元连续函数的性质、多元连续函数的性质87 7、偏导数概念、偏导数概念91011、高阶偏导数、高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为
3、高阶偏导数导数.12、全微分概念、全微分概念13多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导数数存存在在141010、复合函数求导法则、复合函数求导法则以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.15161111、全微分形式不变性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.17隐函数的求导公式隐函数的求导公式1212、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则1819202
4、1221313、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为(1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面23()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为241414、方向导数、方向导数记为记为25三元函数方向导数的定义三元函数方向导数的定义定理如果函数定理如果函数在点在点那末函数在该点沿任意方向那末函数在该点沿任意方向L L的方向导数都存在，且有的方向导数都存在，且有是可微分的，是可微分的，26梯度的概念梯度的概念27梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系281515、多元函数的极值、多元函数的极值定义定
5、义29多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件 定义定义一阶偏导数同时为零的点，称为多元函一阶偏导数同时为零的点，称为多元函数的数的驻点驻点.303132条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值33典型例题典型例题1、求极限法一法一 原式法二法二 令则,原式法三法三 令则实际上若令则 原式 所以所以极限不存在极限不存在！前面三法均不正确,时，下列算法是否正确是否正确?原式343536解解3738397 7、证明、证明:提示提示:利用利用 在在 (0,0)(0,0)连续连续知知在点在点(0,0)(0,0)处处连续连续且且偏导数存在偏导数存在 ,但但不可微不可微 .
6、由偏导数定义：由偏导数定义：407、证明证明：在点(0,0)处连续连续且偏导数存在偏导数存在,但不可微不可微.而当时,f 在点(0,0)不可微不可微 !418 8、解解4243解解44451010、设设其中其中 f 与与F 分别分别解法解法1.1.方程两边对方程两边对 x 求导求导,得得具有一阶具有一阶连续连续导数或偏导数导数或偏导数,求求46解法解法2.2.,求求方程两边求微分方程两边求微分,得得化简化简消去消去 即可得即可得4711.设具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,且且求解:48解解1212、.,0),(,sin,0),(),(2d xd uzfxyzexzyxfuy求且，具有一阶连续偏导数设=jjj49于是可得于是可得,50解解1313、51525354是极大值点不是极值点551515、解解分析分析:56得得5761解解6263
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