万能公式推导.doc

万能公式推导
　　sin2α=２siｎαcｏsα＝2siｎαcosα/(cos^2（α)+sin^2(α))、、、、、、＊,
　（因为cos^2（α)+sｉn^２（α)=1）
再把*分式上下同除cos^2（α)，可得sｉn2α=2tａnα/(1+ｔan^2(α)）
然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦得万能公式.正切得万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式推导
　　tａn3α=ｓiｎ3α/cos3α
　=(sｉｎ２αcｏsα+cos2αｓinα）／(ｃos2αcｏsα－ｓin2αsinα）
　　=(2sinαｃoｓ＾２（α)+coｓ＾２（α)sinα－sin^3(α))/（cos^３（α)-coｓαsin^2(α）－２sin^2(α)ｃｏsα)
　 上下同除以cos^3(α）,得:
　 tan3α=(３tanα－tan＾３(α））／(１-3tａn＾２（α））
　　ｓin3α=sin（2α＋α）＝sin2αｃosα＋cｏs2αsinα
　　＝2sinαｃos^2（α）+（1—2sin^2（α)）sinα
=2ｓｉｎα—2sin＾3(α)+sinα－2sｉn＾3(α）
　　=3sｉｎα—4siｎ^３（α）
　ｃoｓ3α=ｃｏｓ（２α+α)=coｓ2αｃosα—sin２αsiｎα
　　=［2ｃｏs＾２(α)—１］ｃosα－2cosαsin^2（α）
=2ｃｏｓ^3（α）－cosα+[2cｏsα－2ｃｏs＾3（α）］
　 ＝4ｃｏs＾３(α)-3ｃoｓα
　即
siｎ３α=３sinα－4sin＾3（α)
coｓ3α=4cos^3（α)-3coｓα
　　与差化积公式推导
　 首先，我们知道ｓin（ａ+b）=sｉna*ｃoｓb+ｃosa＊sinb,sｉｎ（a—b）=sina*ｃｏｓｂ—cｏｓa＊ｓinｂ
　我们把两式相加就得到ｓiｎ（a+b)+sin（a－ｂ）＝2sina＊cosb
　 所以，siｎａ*coｓｂ=［sin（a+b）＋sin（ａ－b）］／2
同理，若把两式相减，就得到ｃｏsa*siｎb=[siｎ(a+b)－ｓin（ａ—b）］/2
　　同样得，我们还知道cos（a＋ｂ）=cosa＊ｃｏｓｂ－sina＊sｉnb,cos(a-b)=ｃosa＊coｓｂ+ｓiｎａ*sinb
　 所以,把两式相加，我们就可以得到ｃos（a+b)＋ｃｏs（a—b)=2ｃoｓa*cosb
　所以我们就得到，cosa＊cosb＝［cos(a+b）+cos（a—b)］／2
　 同理，两式相减我们就得到siｎａ＊sｉnb=-[cos（a+b）－cos(a－ｂ）]／2
　　这样,我们就得到了积化与差得四个公式：
　　sina＊ｃｏsb=［sin（a+ｂ）+ｓin(a—ｂ)］/2
　cｏｓa＊ｓiｎｂ=［sｉn（a＋b)—sin（ａ－b)]/2
　 ｃｏsａ＊cosb=[cos(a+ｂ）+cｏs(a—ｂ)］/2
　 sina＊sｉｎb=-［cｏs（a＋b）-coｓ（a-b)]/2
　好,有了积化与差得四个公式以后,我们只需一个变形，就可以得到与差化积得四个公式
　 我们把上述四个公式中得a＋b设为ｘ,a—b设为y，那么ａ=(ｘ+ｙ）/2,b=（x—ｙ）/2
　　把a，b分别用x,y表示就可以得到与差化积得四个公式:
　　siｎx+sｉｎy=２sin[（ｘ＋y)／2］*ｃｏs［(x－y)/2］
　sinｘ－siny=２cos［(ｘ+ｙ)/2］＊sｉn［（x—y）/2］
　　cｏsx+cosｙ=2cｏｓ[（ｘ＋ｙ）／2］＊ｃoｓ[（x—y）/2］
　cosx—ｃosy＝－2ｓiｎ[(ｘ+y）/2］＊sin[（x－y)/2]
同角三角函数得基本关系式
　　倒数关系
　 tanα ·ｃotα＝1
　 siｎα ·cscα=1
　 cｏsα ·sｅcα=1
　　商得关系
　　ｓiｎα／cosα=tanα=secα/cｓcα
　ｃosα/sｉnα＝cotα=csｃα/secα
　　平方关系
　siｎ^2(α）＋cos^２(α)=1
　1+tａn^２（α）＝sec^2(α）
　1＋ｃoｔ^2(α）=csc^2α)
同角三角函数关系六角形记忆法
　 构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1“得正六边形为模型。
倒数关系
　　对角线上两个函数互为倒数；
　 商数关系
　　六边形任意一顶点上得函数值等于与它相邻得两个顶点上函数值得乘积.(主要就是两条虚线两端得三角函数值得乘积，下面4个也存在这种关系.）。由此,可得商数关系式。
　 平方关系
　在带有阴影线得三角形中，上面两个顶点上得三角函数值得平方与等于下面顶点上得三角函数值得平方。
两角与差公式
　 sｉn（α+β）=sinαcｏsβ+cosαsiｎβ
　　sin（α－β）＝siｎαcoｓβ—ｃoｓαsinβ
cｏs（α＋β)=ｃｏsαcosβ－ｓiｎαsinβ
coｓ(α－β)=cｏsαｃｏsβ+sinαｓinβ
　 ｔan（α+β)=（ｔaｎα+tanβ ）/（１—taｎα ·tａｎβ）
tan(α－β）=（tａｎα—tanβ）／（1+tanα ·tanβ)
二倍角得正弦、余弦与正切公式
ｓｉn2α=２siｎαcosα
　　ｃos2α=cｏs^２(α)—siｎ^2（α）=2ｃｏs^２（α）－1=1－2sin^2(α）
　　taｎ2α=2tanα/(１－tan^2(α））
　　ｔａｎ（１/2＊α）=（sin　α)/(１+cｏs α)=(１－cos α)/ｓｉn α
　半角得正弦、余弦与正切公式
　　sin^2（α/2）＝(1－ｃosα)／２
　ｃos＾2(α/2)=（1+coｓα）／2
　　taｎ^2（α/2）=(1—cosα）/（1+cosα）
　　tan（α/2）=（1—cosα)/siｎα=siｎα/1+cｏｓα
　 万能公式
　　sinα=２tan(α/2）／(１+tan＾2（α／2）)
　　ｃosα＝(1—ｔaｎ^2（α/2)）/(1+tan^2（α/2））
tａnα=（２tａn（α/2））/（１－tａn^2（α／２)）
三倍角得正弦、余弦与正切公式
sin3α=3ｓｉnα－4sｉn^3（α)
　　cos3α＝4cｏｓ^3(α）-3ｃosα
　　tan3α＝(3tanα－tａn＾3（α)）／（1-3tan^２(α）)
　三角函数得与差化积公式
　　sinα+sinβ=2ｓin(（α+β）／２） ·ｃoｓ((α—β）/2）
　 sｉｎα-sinβ=２ｃos（（α＋β）/2） ·sin（（α－β）／2）
cosα＋cosβ＝2ｃｏs（（α＋β）/２）·cos((α－β）/2）
ｃosα－coｓβ=－２sin（(α+β）／2）·siｎ（(α－β）/2)
　　三角函数得积化与差公式
　 sｉnα·cosβ=0、５[sｉn（α+β）+sin(α-β）］
　 coｓα·sinβ=０、5［ｓin（α+β）-sin（α－β）]
　ｃoｓα·ｃosβ=0、５［cｏs(α＋β）+ｃｏs（α-β)］
　　sｉnα·ｓiｎβ=－　0、5[cos（α＋β）-coｓ(α-β)]