2022届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(四十九)圆的方程-Word版含解析(.doc

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课时跟踪练(四十九)
A组　基础巩固
1．(2019·合肥模拟)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为(　　)
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100
B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100
C．(x－3)2＋(y－4)2＝25
D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
解析：圆C的圆心的坐标C(6，8)，
则OC的中点坐标为E(3，4)，
则所求圆的半径|OE|＝＝5，
则以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
故选C.
答案：C
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)∪
B.
C．(－2，0)
D.
解析：方程为＋(y＋a)2＝1－a－表示圆，则1－a－>0，解得－2
答案：D
4．(2019·珠海四校联考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
解析：设圆心坐标为(a，－a)，则
＝，即
|a|＝|a－2|，解得a＝1.
故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝.
故圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选B.
答案：B
5．已知M(2，1)，P为圆C：x2＋y2＋2y－3＝0上的动点，则|PM|的取值范围为(　　)

A．[1，3] B．[2－2，2＋2]
C．[2－1，2＋1] D．[2，4]
解析：依题意设P(x，y)，化圆C的一般方程为标准方程得x2＋(y＋1)2＝4，圆心为C(0，－1)，因为|MC|＝＝2＞2，所以点M(2，1)在圆外，所以2－2≤|PM|≤2＋2，故|PM|的取值范围为[2－2，2＋2]．
答案：B
6．圆心在直线x＝2上的圆与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则该圆的标准方程为________________．
解析：由已知，得圆心的纵坐标为＝－3，
所以圆心为(2，－3)，
则半径r＝＝，
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
7．已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．
解析：圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，
则kCM＝＝1，
因为过点M的最短弦与CM垂直，所以最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案：x＋y－1＝0
8．在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
解析：直线mx－y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．
当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.
此时圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
9．[一题多解]求适合下列条件的圆的方程．
(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；
(2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)．
解：(1)法一　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有
解得a＝1，b＝－4，r＝2.
所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二　过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．
所以半径r＝＝2，
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
10．[一题多解](2019·衡水中学调研)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解：(1)法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
B组　素养提升
11．(2019·莆田模拟)已知圆O：x2＋y2＝1.若A、B是圆O上的不同两点，以AB为边作等边△ABC，则|OC|的最大值为 (　　)
A. B.
C．2 D.＋1
解析：如图所示，连OA，OB和OC.

因为OA＝OB，AC＝BC，OC＝OC，
所以OAC≌△OBC，所以∠ACO＝∠BCO＝30°，
在△OAC中，由正弦定理得＝，
所以OC＝2sin ∠OAC≤2，
故|OC|的最大值为2，故选C.
答案：C
12．(2019·安庆模拟)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)
A．8x－6y－21＝0　　　 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
解析：由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．

因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，
即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.
答案：D
13．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________________．
解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．
因为△OPQ为直角三角形，
所以圆心为斜边PQ的中点(2，1)，
半径r＝＝，
因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5
14．已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．
解：(1)设圆心C(a，b)，
由已知得M(－2，－2)，
则解得
则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，
故圆C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，
·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)
＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.
令x＝cos θ，y＝sin θ，
所以·＝x＋y－2
＝(sin θ＋cos θ)－2
＝2sin－2，
所以·的最小值为－4.