分数的初步认识中的多元表征问题探讨.pptx

分数的初步认识分数的初步认识课例分析课例分析兼谈多元表征问题兼谈多元表征问题曹新曹新案例分析：吴正宪老师的一个课例案例分析：吴正宪老师的一个课例吴正宪吴正宪吴正宪吴正宪.分数的初步认识分数的初步认识分数的初步认识分数的初步认识课堂实录课堂实录课堂实录课堂实录.教育的理论与实践教育的理论与实践教育的理论与实践教育的理论与实践,2007,9,B,2007,9,B前言前言分数是小学数学的核心概念，是代数学习分数是小学数学的核心概念，是代数学习的基础。的基础。为了帮助学生更好地理解分数，课程标准为了帮助学生更好地理解分数，课程标准及教科书将分数的学习分别安排在：第一及教科书将分数的学习分别安排在：第一学段学段三年级（分数的初步认识），第三年级（分数的初步认识），第二学段二学段五年级（分数的意义和性质）。五年级（分数的意义和性质）。由于分数难学，多次引起各方面的讨论甚至争论。由于分数难学，多次引起各方面的讨论甚至争论。由于分数难学，多次引起各方面的讨论甚至争论。由于分数难学，多次引起各方面的讨论甚至争论。争论的焦点主要集中在五年级分数的意义，并将争论的焦点主要集中在五年级分数的意义，并将争论的焦点主要集中在五年级分数的意义，并将争论的焦点主要集中在五年级分数的意义，并将其作为一个重要的研究论题。其作为一个重要的研究论题。其作为一个重要的研究论题。其作为一个重要的研究论题。相对而言，由于分数的初步认识，多半从相对而言，由于分数的初步认识，多半从相对而言，由于分数的初步认识，多半从相对而言，由于分数的初步认识，多半从“切大切大切大切大饼饼饼饼”或或或或“分蛋糕分蛋糕分蛋糕分蛋糕”开始的，即借助于直观模型开始的，即借助于直观模型开始的，即借助于直观模型开始的，即借助于直观模型（面积模型、数线模型）初步理解分数刻画的（面积模型、数线模型）初步理解分数刻画的（面积模型、数线模型）初步理解分数刻画的（面积模型、数线模型）初步理解分数刻画的“部分部分部分部分整体整体整体整体”之间的比率关系（作为之间的比率关系（作为之间的比率关系（作为之间的比率关系（作为“率率率率”的分的分的分的分数），教学内容与教学方法没有太大的异议。数），教学内容与教学方法没有太大的异议。数），教学内容与教学方法没有太大的异议。数），教学内容与教学方法没有太大的异议。对对对对分数的初步认识分数的初步认识分数的初步认识分数的初步认识学习的调查却显示：通过学习的调查却显示：通过学习的调查却显示：通过学习的调查却显示：通过近距离的课堂观察，发现近距离的课堂观察，发现近距离的课堂观察，发现近距离的课堂观察，发现在理所当然且习以在理所当然且习以在理所当然且习以在理所当然且习以为常的操作活动中，学生并非按我们的预想在进为常的操作活动中，学生并非按我们的预想在进为常的操作活动中，学生并非按我们的预想在进为常的操作活动中，学生并非按我们的预想在进行数学思考。行数学思考。行数学思考。行数学思考。反思：在问题情境中，学生真正体会到学习分数反思：在问题情境中，学生真正体会到学习分数反思：在问题情境中，学生真正体会到学习分数反思：在问题情境中，学生真正体会到学习分数的必要性了吗？在顺利的操作活动中，学生在进的必要性了吗？在顺利的操作活动中，学生在进的必要性了吗？在顺利的操作活动中，学生在进的必要性了吗？在顺利的操作活动中，学生在进行数学本质的思考吗？如果学生在情境、活动中行数学本质的思考吗？如果学生在情境、活动中行数学本质的思考吗？如果学生在情境、活动中行数学本质的思考吗？如果学生在情境、活动中没有经历真实的数学思维过程，那么理解又何以没有经历真实的数学思维过程，那么理解又何以没有经历真实的数学思维过程，那么理解又何以没有经历真实的数学思维过程，那么理解又何以产生？产生？产生？产生？数学学习心理的研究表明，理解概念的关键在于数学学习心理的研究表明，理解概念的关键在于数学学习心理的研究表明，理解概念的关键在于数学学习心理的研究表明，理解概念的关键在于将数学概念的抽象定义的含意转换成易于学生理将数学概念的抽象定义的含意转换成易于学生理将数学概念的抽象定义的含意转换成易于学生理将数学概念的抽象定义的含意转换成易于学生理解和运用的适当的心理表象。解和运用的适当的心理表象。解和运用的适当的心理表象。解和运用的适当的心理表象。转换：是将抽象概念与学生已有知识经验建立有转换：是将抽象概念与学生已有知识经验建立有转换：是将抽象概念与学生已有知识经验建立有转换：是将抽象概念与学生已有知识经验建立有层次的联系：引导学生在概念的抽象定义、半抽层次的联系：引导学生在概念的抽象定义、半抽层次的联系：引导学生在概念的抽象定义、半抽层次的联系：引导学生在概念的抽象定义、半抽象模型（或操作）、具体原型（或活动）之间进象模型（或操作）、具体原型（或活动）之间进象模型（或操作）、具体原型（或活动）之间进象模型（或操作）、具体原型（或活动）之间进行寻找意义与数学化的过程。行寻找意义与数学化的过程。行寻找意义与数学化的过程。行寻找意义与数学化的过程。数学化与寻找意义数学化与寻找意义-数学教学的基本活动数学教学的基本活动 自左至右：数学化自左至右：数学化自左至右：数学化自左至右：数学化 自右至左：寻找意义自右至左：寻找意义自右至左：寻找意义自右至左：寻找意义实物操作实物操作实物操作实物操作表象操作表象操作表象操作表象操作抽象操作抽象操作抽象操作抽象操作分豆子分豆子分豆子分豆子（具体）（具体）（具体）（具体）脑中分豆子脑中分豆子脑中分豆子脑中分豆子（半具体、半抽象）（半具体、半抽象）（半具体、半抽象）（半具体、半抽象）算式运算算式运算算式运算算式运算（抽象）（抽象）（抽象）（抽象）（数学化）（数学化）（数学化）（数学化）（寻找意义寻找意义）（寻找意义）（寻找意义）换句话说，学习者需要通过内化概念的多换句话说，学习者需要通过内化概念的多种表达形式并与已有的内在表象发生相互种表达形式并与已有的内在表象发生相互作用，以此促进或影响学习者的数学理解。作用，以此促进或影响学习者的数学理解。理解概念涉及：概念的丰富表达形式理解概念涉及：概念的丰富表达形式外在表征，概念的心理表达（表象）外在表征，概念的心理表达（表象）内在表征，以及内外表征之间的转换。内在表征，以及内外表征之间的转换。内容框架内容框架1 分数学习的难点与前概念分数学习的难点与前概念2 分数初步认识分数初步认识的教学流程的教学流程3分数的初步认识分数的初步认识课例分析课例分析1 分数学习的难点与前概念分数学习的难点与前概念义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（20112011版）对版）对版）对版）对分数的初分数的初分数的初分数的初步认识步认识步认识步认识的要求是：能结合具体情境初步理解分的要求是：能结合具体情境初步理解分的要求是：能结合具体情境初步理解分的要求是：能结合具体情境初步理解分数的意义，能读、写分数，能比较两个同分母分数的意义，能读、写分数，能比较两个同分母分数的意义，能读、写分数，能比较两个同分母分数的意义，能读、写分数，能比较两个同分母分数的大小；能运用分数表示日常生活中的一些事数的大小；能运用分数表示日常生活中的一些事数的大小；能运用分数表示日常生活中的一些事数的大小；能运用分数表示日常生活中的一些事物，并进行交流。物，并进行交流。物，并进行交流。物，并进行交流。教材的目标定位：主要利用直观的方式，使学生教材的目标定位：主要利用直观的方式，使学生教材的目标定位：主要利用直观的方式，使学生教材的目标定位：主要利用直观的方式，使学生通过折一折、涂一涂等动手操作的方式，初步理通过折一折、涂一涂等动手操作的方式，初步理通过折一折、涂一涂等动手操作的方式，初步理通过折一折、涂一涂等动手操作的方式，初步理解分数的意义，掌握分数的大小。解分数的意义，掌握分数的大小。解分数的意义，掌握分数的大小。解分数的意义，掌握分数的大小。实现上述目标，一要分析教学内容，以充分了解实现上述目标，一要分析教学内容，以充分了解实现上述目标，一要分析教学内容，以充分了解实现上述目标，一要分析教学内容，以充分了解分数学习的困难之处；二要分析学情，以找准教分数学习的困难之处；二要分析学情，以找准教分数学习的困难之处；二要分析学情，以找准教分数学习的困难之处；二要分析学情，以找准教学的出发点：学生已有的知识经验。学的出发点：学生已有的知识经验。学的出发点：学生已有的知识经验。学的出发点：学生已有的知识经验。分数学习的难点分数学习的难点 一直以来，在学生的心目中并不承认分数一直以来，在学生的心目中并不承认分数是个是个“数数”，是个，是个“结果结果”。其一，分数并非其一，分数并非其一，分数并非其一，分数并非“十进制十进制十进制十进制”，这是与整数及其运算的最大，这是与整数及其运算的最大，这是与整数及其运算的最大，这是与整数及其运算的最大差别。差别。差别。差别。其二，其二，其二，其二，引入分数是为了表示引入分数是为了表示引入分数是为了表示引入分数是为了表示“量量量量”，但，但，但，但“几分之一几分之一几分之一几分之一”表示表示表示表示的却是部分与整体之间的的却是部分与整体之间的的却是部分与整体之间的的却是部分与整体之间的“比率比率比率比率”。其三，分数所能表示的其三，分数所能表示的其三，分数所能表示的其三，分数所能表示的“量量量量”有更易于学生接受的替代物有更易于学生接受的替代物有更易于学生接受的替代物有更易于学生接受的替代物小数，分数所能表示的小数，分数所能表示的小数，分数所能表示的小数，分数所能表示的“比率比率比率比率”也有更易于学生接受的也有更易于学生接受的也有更易于学生接受的也有更易于学生接受的替代物替代物替代物替代物百分数与比（这些后续学习的内容在生活中却先百分数与比（这些后续学习的内容在生活中却先百分数与比（这些后续学习的内容在生活中却先百分数与比（这些后续学习的内容在生活中却先接触）。接触）。接触）。接触）。其四，分数反映了数学概念的二重性：其四，分数反映了数学概念的二重性既表现为一种过程操作既表现为一种过程操作先分，把一个先分，把一个对象平均分，分之后就确定了分母，就创对象平均分，分之后就确定了分母，就创造了一个分数单位。然后再取一份或几份，造了一个分数单位。然后再取一份或几份，即是数有多少个单位，也就是确定分子；即是数有多少个单位，也就是确定分子；又表现为对象、结构又表现为对象、结构a/b。这种兼具算法与结果的特点这种兼具算法与结果的特点,给学生带来很给学生带来很大的认知负荷，影响着他们的认知加工。大的认知负荷，影响着他们的认知加工。学生已有的知识经验学生已有的知识经验 一是具备一是具备“平均分平均分”的认识。缺乏的是进的认识。缺乏的是进一步的认识一步的认识逆向思维，以及由此引出逆向思维，以及由此引出新数新数分数的意识。分数的意识。具有诸多与具有诸多与“分数学习分数学习”有关的操作体验，有关的操作体验，学生缺乏的是探究操作活动中蕴含的数学学生缺乏的是探究操作活动中蕴含的数学知识知识所取的份数与整体的所取的份数与整体的“比率比率”关关系。系。2 分数初步认识分数初步认识的教学流程的教学流程两种设计思路都没有探讨以下问题：两种设计思路都没有探讨以下问题：课文呈现的分数外在表征之间有没有层次性？若课文呈现的分数外在表征之间有没有层次性？若课文呈现的分数外在表征之间有没有层次性？若课文呈现的分数外在表征之间有没有层次性？若有，怎样在教学中加以体现？有，怎样在教学中加以体现？有，怎样在教学中加以体现？有，怎样在教学中加以体现？分数的外在表征有哪些类型？类型之内、类型之分数的外在表征有哪些类型？类型之内、类型之分数的外在表征有哪些类型？类型之内、类型之分数的外在表征有哪些类型？类型之内、类型之间有怎样的关系？这些关系对教学设计有怎样的间有怎样的关系？这些关系对教学设计有怎样的间有怎样的关系？这些关系对教学设计有怎样的间有怎样的关系？这些关系对教学设计有怎样的要求？要求？要求？要求？分数的外在表征与内在表征有怎样的关系？这种分数的外在表征与内在表征有怎样的关系？这种分数的外在表征与内在表征有怎样的关系？这种分数的外在表征与内在表征有怎样的关系？这种关系对于分数的学习设计有怎样的启发？关系对于分数的学习设计有怎样的启发？关系对于分数的学习设计有怎样的启发？关系对于分数的学习设计有怎样的启发？3分数的初步认识分数的初步认识课例分析课例分析这堂课的教学设计有什么特点？这堂课的教学设计有什么特点？这堂课的师生对话有什么特点？这堂课的师生对话有什么特点？对这堂课你想提哪些改进建议？对这堂课你想提哪些改进建议？一、教学设计：为学生的发展而教一、教学设计：为学生的发展而教巧选素材，让学生走进数学巧选素材，让学生走进数学 西游记故事西游记故事西游记故事西游记故事“如何表示一半如何表示一半如何表示一半如何表示一半”？怎样分月饼怎样分月饼怎样分月饼怎样分月饼引入分数概念引入分数概念引入分数概念引入分数概念 读图识分数读图识分数读图识分数读图识分数加深对分数概念的理解加深对分数概念的理解加深对分数概念的理解加深对分数概念的理解创设机会，让学生创造数学创设机会，让学生创造数学 折纸折纸折纸折纸表示分数、讨论分数表示分数、讨论分数表示分数、讨论分数表示分数、讨论分数 辩论辩论辩论辩论揭示分数概念的核心揭示分数概念的核心揭示分数概念的核心揭示分数概念的核心 用分数说一句话用分数说一句话用分数说一句话用分数说一句话揭示分数与生活的联系揭示分数与生活的联系揭示分数与生活的联系揭示分数与生活的联系注重学法，让学生学会学习注重学法，让学生学会学习 学会将新知与生活经验、已有知识经验相联系学会将新知与生活经验、已有知识经验相联系学会将新知与生活经验、已有知识经验相联系学会将新知与生活经验、已有知识经验相联系 学会在在操作、实践活动中认识、理解知识学会在在操作、实践活动中认识、理解知识学会在在操作、实践活动中认识、理解知识学会在在操作、实践活动中认识、理解知识 学会倾听、独立思考、善于合作交流学会倾听、独立思考、善于合作交流学会倾听、独立思考、善于合作交流学会倾听、独立思考、善于合作交流 学会用所学知识解释生活中的现象学会用所学知识解释生活中的现象学会用所学知识解释生活中的现象学会用所学知识解释生活中的现象二、师生对话特点二、师生对话特点以低层次（回忆、理解）提问为多、为辅，以低层次（回忆、理解）提问为多、为辅，以高层次（应用、分析、评价、综合）提以高层次（应用、分析、评价、综合）提问为少、为主；问为少、为主；教学中的主问题教学中的主问题6个设置为高层次问题；个设置为高层次问题；对主问题的探讨注意了两种层次的问题的对主问题的探讨注意了两种层次的问题的结合；结合；辅助性问题设置不多，学生在较高的认知辅助性问题设置不多，学生在较高的认知水平上开展学习。水平上开展学习。三、对课例的几点看法三、对课例的几点看法1.教学目标叙写的存在的问题教学目标叙写的存在的问题2.情境的创设存在问题情境的创设存在问题3.分数是分数是“量量”还是还是“数数”？4.对分数有无限多个的探讨对分数有无限多个的探讨5.为什么为什么“1/2”比其他的表示更科学、简便比其他的表示更科学、简便？6.“如何表示一半如何表示一半”？为什么将学生过早、为什么将学生过早、过多地限制于符号表征一种方式？过多地限制于符号表征一种方式？1.教学目标叙写的存在的问题教学目标叙写的存在的问题没有体现三维目标没有体现三维目标教学目标的主体混乱教学目标的主体混乱怎样写才能好一些？怎样写才能好一些？知识与技能目标：知识与技能目标：知识与技能目标：知识与技能目标：会读、写分数，说出分数各部分的名称，会读、写分数，说出分数各部分的名称，会读、写分数，说出分数各部分的名称，会读、写分数，说出分数各部分的名称，理解几分之一的具体含义。理解几分之一的具体含义。理解几分之一的具体含义。理解几分之一的具体含义。过程与方法目标：过程与方法目标：过程与方法目标：过程与方法目标：经历经历经历经历“一半一半一半一半”、“平均分平均分平均分平均分”表示的探究、表示的探究、表示的探究、表示的探究、交流、合作的过程，体会分数的意义与不同的表示方法，交流、合作的过程，体会分数的意义与不同的表示方法，交流、合作的过程，体会分数的意义与不同的表示方法，交流、合作的过程，体会分数的意义与不同的表示方法，增进数学的图形语言、文字语言、符号语言相互转换的能增进数学的图形语言、文字语言、符号语言相互转换的能增进数学的图形语言、文字语言、符号语言相互转换的能增进数学的图形语言、文字语言、符号语言相互转换的能力，提升对分数的不同表征的水平，养成有条理地思考与力，提升对分数的不同表征的水平，养成有条理地思考与力，提升对分数的不同表征的水平，养成有条理地思考与力，提升对分数的不同表征的水平，养成有条理地思考与表述问题的习惯。表述问题的习惯。表述问题的习惯。表述问题的习惯。情感态度与价值观目标：情感态度与价值观目标：情感态度与价值观目标：情感态度与价值观目标：经历经历经历经历“一半一半一半一半”、“平均分平均分平均分平均分”表示，表示，表示，表示，以及用分数说一句话的数学化历程，感受数学理性思维的以及用分数说一句话的数学化历程，感受数学理性思维的以及用分数说一句话的数学化历程，感受数学理性思维的以及用分数说一句话的数学化历程，感受数学理性思维的魅力，加深对数学与生活联系的理解，进而提高学习数学魅力，加深对数学与生活联系的理解，进而提高学习数学魅力，加深对数学与生活联系的理解，进而提高学习数学魅力，加深对数学与生活联系的理解，进而提高学习数学的兴趣，并增强学好数学的自信心。的兴趣，并增强学好数学的自信心。的兴趣，并增强学好数学的自信心。的兴趣，并增强学好数学的自信心。2.情境的创设存在问题情境的创设存在问题从一个虚假的情境中引出了一个简从一个虚假的情境中引出了一个简单问题单问题 如何改进？如何改进？“指导探索指导探索”中的设问依然值得商榷。中的设问依然值得商榷。对一些情境的思考对一些情境的思考我们创设了怎样的情境？我们创设了怎样的情境？金阳广场是一个边长为金阳广场是一个边长为400米的正方形休闲米的正方形休闲广场，广场的广场，广场的4个角上建有个角上建有A、B、C、D 4个生活小区。小区欲安装煤气管道，但煤个生活小区。小区欲安装煤气管道，但煤气公司只将煤气主管道接到气公司只将煤气主管道接到A区，另外区，另外3个个小区的煤气管道将由他们自行铺设并与小区的煤气管道将由他们自行铺设并与A区区连通。请设计与连通。请设计与A区相连的最短煤气管道铺区相连的最短煤气管道铺设方案设方案。比的意义比的意义比的意义比的意义（六年级（六年级（六年级（六年级 上）上）上）上）师：再过几天就是祖国师：再过几天就是祖国师：再过几天就是祖国师：再过几天就是祖国5353岁生日了，我们一起看岁生日了，我们一起看岁生日了，我们一起看岁生日了，我们一起看一段短片（录像：义勇军进行曲）。一段短片（录像：义勇军进行曲）。一段短片（录像：义勇军进行曲）。一段短片（录像：义勇军进行曲）。5353年前的年前的年前的年前的1010月月月月1 1日，中国的五星红旗第一次迎着灿烂的朝日，中国的五星红旗第一次迎着灿烂的朝日，中国的五星红旗第一次迎着灿烂的朝日，中国的五星红旗第一次迎着灿烂的朝阳在天安门广场上冉冉升起，毛主席在天安门城阳在天安门广场上冉冉升起，毛主席在天安门城阳在天安门广场上冉冉升起，毛主席在天安门城阳在天安门广场上冉冉升起，毛主席在天安门城楼上庄严宣布：中华人民共和国成立了！中国人楼上庄严宣布：中华人民共和国成立了！中国人楼上庄严宣布：中华人民共和国成立了！中国人楼上庄严宣布：中华人民共和国成立了！中国人民从此站起来了！瞧，五星红旗红旗如此灿烂、民从此站起来了！瞧，五星红旗红旗如此灿烂、民从此站起来了！瞧，五星红旗红旗如此灿烂、民从此站起来了！瞧，五星红旗红旗如此灿烂、美丽，让无数中国人为之骄傲与自豪，其实在我美丽，让无数中国人为之骄傲与自豪，其实在我美丽，让无数中国人为之骄傲与自豪，其实在我美丽，让无数中国人为之骄傲与自豪，其实在我们的国旗里还隐藏这很多有趣的数学问题呢！你们的国旗里还隐藏这很多有趣的数学问题呢！你们的国旗里还隐藏这很多有趣的数学问题呢！你们的国旗里还隐藏这很多有趣的数学问题呢！你想了解它吗？老师告诉你们：它的长为想了解它吗？老师告诉你们：它的长为想了解它吗？老师告诉你们：它的长为想了解它吗？老师告诉你们：它的长为3 3米，宽米，宽米，宽米，宽为为为为2 2米。你能求什么呢？米。你能求什么呢？米。你能求什么呢？米。你能求什么呢？分数的意义分数的意义 师：其实，在我们学过师：其实，在我们学过的成语中就隐含了分数，想一想，你能的成语中就隐含了分数，想一想，你能举出这样的例子吗？生：十拿九稳、九举出这样的例子吗？生：十拿九稳、九死一生、百里挑一、十全十美、百发百死一生、百里挑一、十全十美、百发百中中 弧度制弧度制 教师在黑板上画了一个角，教师在黑板上画了一个角，然后拿出一段绳子，问：同学们，如何然后拿出一段绳子，问：同学们，如何度量这个角？度量这个角？等腰三角形的性质等腰三角形的性质 教师创设了走进埃及看金字塔这样一个生教师创设了走进埃及看金字塔这样一个生活情境，让学生从神秘的金字塔模型中开活情境，让学生从神秘的金字塔模型中开始探索等腰三角形的特征。课后教师还布始探索等腰三角形的特征。课后教师还布置一个实验任务，使数学课堂得到进一步置一个实验任务，使数学课堂得到进一步延伸：依照比例复制一个小型的金字塔模延伸：依照比例复制一个小型的金字塔模型，再将食物放置入内，看几周后食物是型，再将食物放置入内，看几周后食物是否完全脱水，有没有腐败现象？否完全脱水，有没有腐败现象？3.分数是分数是“量量”还是还是“数数”？“指导探索指导探索”待同学们明确了待同学们明确了待同学们明确了待同学们明确了“平均分平均分平均分平均分”后，老师带领同学们边比划后，老师带领同学们边比划后，老师带领同学们边比划后，老师带领同学们边比划边说：边说：边说：边说：把一个月饼平均分成两份，每份就是这个月饼的二把一个月饼平均分成两份，每份就是这个月饼的二把一个月饼平均分成两份，每份就是这个月饼的二把一个月饼平均分成两份，每份就是这个月饼的二分之一。之后，让小伙伴之间互相讲述自己对分之一。之后，让小伙伴之间互相讲述自己对分之一。之后，让小伙伴之间互相讲述自己对分之一。之后，让小伙伴之间互相讲述自己对“1/21/2”的的的的理解。理解。理解。理解。你还能在这块月饼中找到另一个二分之一吗？你还能在这块月饼中找到另一个二分之一吗？你还能在这块月饼中找到另一个二分之一吗？你还能在这块月饼中找到另一个二分之一吗？一个同学一个同学一个同学一个同学很快地跑到前面，在月饼的另一半写上了很快地跑到前面，在月饼的另一半写上了很快地跑到前面，在月饼的另一半写上了很快地跑到前面，在月饼的另一半写上了“1/21/2”。同学们用不同的折法表现同学们用不同的折法表现同学们用不同的折法表现同学们用不同的折法表现“1/21/2”。4.对分数有无限多个的探讨对分数有无限多个的探讨P37：师师师师：同学们请看，像：同学们请看，像：同学们请看，像：同学们请看，像“1/21/2、1/31/3、1/41/4、1/51/5、1/8”1/8”这样的数都叫分数。你还能举出分数的例子来吗这样的数都叫分数。你还能举出分数的例子来吗这样的数都叫分数。你还能举出分数的例子来吗这样的数都叫分数。你还能举出分数的例子来吗？（同学们跃跃欲试，不由自主地站起来，举着他们的（同学们跃跃欲试，不由自主地站起来，举着他们的（同学们跃跃欲试，不由自主地站起来举着他们的（同学们跃跃欲试，不由自主地站起来，举着他们的“研研研研究成果究成果究成果究成果”给大家看）给大家看）给大家看）给大家看）师师师师：这样说下去，说到今天晚上能说得完吗？：这样说下去，说到今天晚上能说得完吗？：这样说下去，说到今天晚上能说得完吗？：这样说下去，说到今天晚上能说得完吗？生生生生：（迫不及待）（迫不及待）（迫不及待）（迫不及待）我知道了，分数有无限个。我知道了，分数有无限个。我知道了，分数有无限个。我知道了，分数有无限个。师师师师：对，分数的个数是无限的。：对，分数的个数是无限的。：对，分数的个数是无限的。：对，分数的个数是无限的。问题问题问题问题：上述对话能表明分数有无限多吗？上述对话能表明分数有无限多吗？上述对话能表明分数有无限多吗？上述对话能表明分数有无限多吗？5.为什么为什么“1/2”比其他的表示更科比其他的表示更科学、简便？学、简便？教师让学生用自己喜欢的方式表示教师让学生用自己喜欢的方式表示“半个半个”，并让他们解释每种表示方法的含义。并让他们解释每种表示方法的含义。向学生介绍一种向学生介绍一种“更科学、更简洁更科学、更简洁”的表的表示方法示方法“1/2”。问题问题：老师能向学生说明：老师能向学生说明“1/2更简洁、更更简洁、更科学科学”吗？吗？生活数学生活数学学校数学？学校数学？生活数学对生活数学对生活数学对生活数学对“一半一半一半一半”的表示的表示的表示的表示生活数学与学校数学之间的鸿沟生活数学与学校数学之间的鸿沟生活数学与学校数学之间的鸿沟生活数学与学校数学之间的鸿沟关注差异，重视沟通关注差异，重视沟通关注差异，重视沟通关注差异，重视沟通数学化数学化数学化数学化6.过早、过快地将学生的分数表征限过早、过快地将学生的分数表征限制于符号这一方式有什么问题？制于符号这一方式有什么问题？课本中的多元外在表征课本中的多元外在表征实物操作实物操作实物操作实物操作切西瓜、苹果、月饼；切西瓜、苹果、月饼；切西瓜、苹果、月饼；切西瓜、苹果、月饼；模型操作模型操作模型操作模型操作搭积木、折纸；搭积木、折纸；搭积木、折纸；搭积木、折纸；喂养鸽子的盒子兼具实物与模型的特点；喂养鸽子的盒子兼具实物与模型的特点；喂养鸽子的盒子兼具实物与模型的特点；喂养鸽子的盒子兼具实物与模型的特点；积木、地毯还隐含着线段图、面积图；积木、地毯还隐含着线段图、面积图；积木、地毯还隐含着线段图、面积图；积木、地毯还隐含着线段图、面积图；周边的树木可以作为外在表征的实物。周边的树木可以作为外在表征的实物。周边的树木可以作为外在表征的实物。周边的树木可以作为外在表征的实物。师（师（指着黑板上学生写的文字、画的线段和图指着黑板上学生写的文字、画的线段和图画画）老师想和你们商量一下，这些图、线段和）老师想和你们商量一下，这些图、线段和文字都表示把一个物体平均分成两份，表示其文字都表示把一个物体平均分成两份，表示其中的一份。如果你认为中的一份。如果你认为“1/2”这个分数，能这个分数，能表示你的意思，就可以擦掉你所写的；如果你表示你的意思，就可以擦掉你所写的；如果你认为你的表现方法更好，也可以保留意见。认为你的表现方法更好，也可以保留意见。（很多同学纷纷跑上去擦掉自己写的文字、画很多同学纷纷跑上去擦掉自己写的文字、画的图与线段，只有一位同学坚持认为自己画的的图与线段，只有一位同学坚持认为自己画的图更好，老师尊重了他的意见，并把这幅桃子图更好，老师尊重了他的意见，并把这幅桃子图框起来保留在黑板上图框起来保留在黑板上）教师对学生的要求教师对学生的要求 生生生生5 5：我爸爸买了：我爸爸买了：我爸爸买了：我爸爸买了100100个鸡蛋，打碎了个鸡蛋，打碎了个鸡蛋，打碎了个鸡蛋，打碎了1 1个，打碎了的正好个，打碎了的正好个，打碎了的正好个，打碎了的正好占这些鸡蛋的占这些鸡蛋的占这些鸡蛋的占这些鸡蛋的1/1001/100。（师顺手把师顺手把师顺手把师顺手把1/1001/100写到了黑板上。并特意把坚持写到了黑板上。并特意把坚持写到了黑板上。并特意把坚持写到了黑板上。并特意把坚持用画图的方用画图的方用画图的方用画图的方法表示分数的哪位同学请上来）法表示分数的哪位同学请上来）法表示分数的哪位同学请上来）法表示分数的哪位同学请上来）师：师：师：师：1/1001/100该怎样用你喜欢的画图方法表示呢？请你试试看。该怎样用你喜欢的画图方法表示呢？请你试试看。该怎样用你喜欢的画图方法表示呢？请你试试看。该怎样用你喜欢的画图方法表示呢？请你试试看。（只见这位同学认真地画着，画着画着他停了，扬起小脸只见这位同学认真地画着，画着画着他停了，扬起小脸只见这位同学认真地画着，画着画着他停了，扬起小脸只见这位同学认真地画着，画着画着他停了，扬起小脸对老师说，这种方法太麻烦了，还是用分数表示好。边说对老师说，这种方法太麻烦了，还是用分数表示好。边说对老师说，这种方法太麻烦了，还是用分数表示好。边说对老师说，这种方法太麻烦了，还是用分数表示好。边说边把自己画在黑板上的桃子图擦掉边把自己画在黑板上的桃子图擦掉。边把自己画在黑板上的桃子图擦掉。边把自己画在黑板上的桃子图擦掉。）教师在课堂一直采用多元外在表征教师在课堂一直采用多元外在表征表示表示“半个桃子半个桃子”“分月饼分月饼”用图形表示分数用图形表示分数折分数折分数用分数说一句话用分数说一句话用线段图表示分数用线段图表示分数认知结构中的元素认知结构中的元素 1 1）数学知识的外部表征）数学知识的外部表征 2 2）数学思维的媒介）数学思维的媒介内在表征（心理表内在表征（心理表象）象）3 3）心理表象与定义的关系）心理表象与定义的关系Janvier认为多元表征是指同一数学对象的认为多元表征是指同一数学对象的不同表示形式不同表示形式：可以是心理的、主观的东西，这叫内在表征（可以是心理的、主观的东西，这叫内在表征（可以是心理的、主观的东西，这叫内在表征（可以是心理的、主观的东西，这叫内在表征（Internal Internal RepresentationRepresentation）或心智表征（）或心智表征（）或心智表征（）或心智表征（Mental RepresentationMental Representation）,譬如个体在头脑中建构数学对象的心像（譬如个体在头脑中建构数学对象的心像（譬如个体在头脑中建构数学对象的心像（譬如个体在头脑中建构数学对象的心像（Mental Mental ImagesImages）等；）等；）等；）等；表征也可以是外在于人脑的、客观世界的东西，这叫外表征也可以是外在于人脑的、客观世界的东西，这叫外表征也可以是外在于人脑的、客观世界的东西，这叫外表征也可以是外在于人脑的、客观世界的东西，这叫外在表征（在表征（在表征（在表征（External RepresentationExternal Representation），譬如言语、文字、），譬如言语、文字、），譬如言语、文字、），譬如言语、文字、符号、图片、具体物、活动或实际情境等符号、图片、具体物、活动或实际情境等符号、图片、具体物、活动或实际情境等符号、图片、具体物、活动或实际情境等HiebertHiebert和和和和CarpenterCarpenter：外在表征是指以语言、文字、符号、图片、具体外在表征是指以语言、文字、符号、图片、具体外在表征是指以语言、文字、符号、图片、具体外在表征是指以语言、文字、符号、图片、具体物、活动或实际情境等形式存在的表征。物、活动或实际情境等形式存在的表征。物、活动或实际情境等形式存在的表征。物、活动或实际情境等形式存在的表征。内在表征是指存在于学习者头脑里而无法直接观内在表征是指存在于学习者头脑里而无法直接观内在表征是指存在于学习者头脑里而无法直接观内在表征是指存在于学习者头脑里而无法直接观察的心智表征或学习者拥有的心智结构。察的心智表征或学习者拥有的心智结构。察的心智表征或学习者拥有的心智结构。察的心智表征或学习者拥有的心智结构。学习者通过外在表征可以表达出自己的想法学习者通过外在表征可以表达出自己的想法学习者通过外在表征可以表达出自己的想法学习者通过外在表征可以表达出自己的想法而达到沟通和交流的目的，通过内在表征可以进而达到沟通和交流的目的，通过内在表征可以进而达到沟通和交流的目的，通过内在表征可以进而达到沟通和交流的目的，通过内在表征可以进行想象、推理等思维活动。行想象、推理等思维活动。行想象、推理等思维活动。行想象、推理等思维活动。HiebertHiebert和和和和CarpenterCarpenter：外在表征是指以语言、文字、符号、图片、具体外在表征是指以语言、文字、符号、图片、具体外在表征是指以语言、文字、符号、图片、具体外在表征是指以语言、文字、符号、图片、具体物、活动或实际情境等形式存在的表征。物、活动或实际情境等形式存在的表征。物、活动或实际情境等形式存在的表征。物、活动或实际情境等形式存在的表征。内在表征是指存在于学习者头脑里而无法直接观内在表征是指存在于学习者头脑里而无法直接观内在表征是指存在于学习者头脑里而无法直接观内在表征是指存在于学习者头脑里而无法直接观察的心智表征或学习者拥有的心智结构。察的心智表征或学习者拥有的心智结构。察的心智表征或学习者拥有的心智结构。察的心智表征或学习者拥有的心智结构。学习者通过外在表征可以表达出自己的想法学习者通过外在表征可以表达出自己的想法学习者通过外在表征可以表达出自己的想法学习者通过外在表征可以表达出自己的想法而达到沟通和交流的目的，通过内在表征可以进而达到沟通和交流的目的，通过内在表征可以进而达到沟通和交流的目的，通过内在表征可以进而达到沟通和交流的目的，通过内在表征可以进行想象、推理等思维活动。行想象、推理等思维活动。行想象、推理等思维活动。行想象、推理等思维活动。Goldin：外在表征是从传统的数学符号系统（如数轴、笛外在表征是从传统的数学符号系统（如数轴、笛外在表征是从传统的数学符号系统（如数轴、笛外在表征是从传统的数学符号系统（如数轴、笛卡儿坐标系）到结构性的学习情境（如包含具体卡儿坐标系）到结构性的学习情境（如包含具体卡儿坐标系）到结构性的学习情境（如包含具体卡儿坐标系）到结构性的学习情境（如包含具体操作活动的数学学习情境、基于电脑的微观学习操作活动的数学学习情境、基于电脑的微观学习操作活动的数学学习情境、基于电脑的微观学习操作活动的数学学习情境、基于电脑的微观学习环境）。环境）。环境）。环境）。内在表征则指学习者对于数学对象的意义赋予与内在表征则指学习者对于数学对象的意义赋予与内在表征则指学习者对于数学对象的意义赋予与内在表征则指学习者对于数学对象的意义赋予与建构，包括学习者的言语语义、心像、视空间表建构，包括学习者的言语语义、心像、视空间表建构，包括学习者的言语语义、心像、视空间表建构，包括学习者的言语语义、心像、视空间表征、计划监控策略及启发法、数学的情感表征系征、计划监控策略及启发法、数学的情感表征系征、计划监控策略及启发法、数学的情感表征系征、计划监控策略及启发法、数学的情感表征系统等。统等。统等。统等。1）数学知识的外部表征）数学知识的外部表征刻画数学对象的每种表征具有各自的特点与功能：刻画数学对象的每种表征具有各自的特点与功能：口语、书写文本、数学公式和逻辑表示等表征可以任意口语、书写文本、数学公式和逻辑表示等表征可以任意表达，但与约定内容紧密相关，而且包含反映关系的各种表达，但与约定内容紧密相关，而且包含反映关系的各种符号。能描述和表达抽象的、逻辑的意义，这些表征既是符号。能描述和表达抽象的、逻辑的意义，这些表征既是人脑左半球的功能特点，也是左半球发展的外在促进。人脑左半球的功能特点，也是左半球发展的外在促进。实物模型、图形、图表、图像等不含有反映关系的各种实物模型、图形、图表、图像等不含有反映关系的各种符号，但却描绘了具体的、形象的、直觉的意义，便于人符号，但却描绘了具体的、形象的、直觉的意义，便于人们较为快捷地们较为快捷地“可视化可视化”数学的整体结构和意义，这些表数学的整体结构和意义，这些表征既是人脑右半球的功能特点，也是右半球发展的外在促征既是人脑右半球的功能特点，也是右半球发展的外在促进。进。