Mathematica-与常微分方程-----方向场和积分曲线.docx

Mathematica-与常微分方程-----方向场和积分曲线

Mathematica 与常微分方程—方向场和积分曲线

摘 要：长期以来，从小学到大学十几年，数学一直是我们学习的一门主课，老师所讲的、
学生所练、所考的主要是定义叙述、定理证明、公式推算、计算方法、……，数学
给我们的印象是，沿定义→公理→定理→推论→证明这么一条演绎道路进行的、一
个十分严格的数学推理王国和一个充满美感的抽象世界。然而，我们却不知道，也
许也没有想过，这些如此严密、完整、美妙的结论是怎么来的？数学家是通过什么
样的方式发现它们的？我们从这些可爱结论本身看不到数学家发现它们的艰辛，也
体会不到数学家在发现它们之后的一种喜悦。
关键词：Mathematica　　常微分方程　　方向场　　积分曲线
简介

Mathematica 是美国Wolfram Research公司研制的一种数学软件，集文本编辑、符号计算、数值计算、逻辑分析、图形、动画、声音于一体，与Matlab、Maple 一起被称为目前国际上最流行的三大数学软件。它以符号计算见长，同时具有强大的图形功能和高精度的数值计算功能。在Mathematica中可以进行各种符号和数值运算，包括微积分、线性代数、概率论和数理统计等数学各个分支中公式的推演、数值求解非线性方程、最优化问题等，可以绘制各种复杂的二维和三维图形，并能产生动画和声音。
Mathematic系统与常见的高级程序设计语言相似，都是通过大量的函数和命令来实现其功能的 。要灵活使用Mathematica，就必须尽可能熟悉各种内部函数 （包括内置函数和软件包函数 ）。由于篇幅限制，本附录仅分类介绍Mathematica的基本功能，及与微积分有关的函数（命令）的使用，其他功能请读者自行查阅帮助或有关参考文献。
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。
在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。
　　微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
常微分方程的内容：
　　如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程，也可以简单地叫做微分方程。
　　一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的解数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。
　　如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。
常微分方程的特点：
常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。
一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。
　　大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。
现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
方向场和积分曲线
通过画图语句PlotVectorField 和 Plot 分别作出常微分方程的方向场和积分曲线，加深了解积分曲线的概念，学会从方向场分析常微分方程的解；了解常微分方程初值问题的数值解以及初值对解的影响。
如何利用图形来分析常微分方程的解
首先引入方向场的概念。
通常，我们可以将一阶微分方程写成
y'(x) = f (x ， y ) (1)
的形式，则函数y( x )在任意一点 ( x， y ) 处 的导数值为 f (x ， y)。 在 f (x ， y )的定义区域D内任一点处画一小段斜率为 f (x ， y )的小箭头，我们把带有小箭头的区域 D 称为由方程（1）确定的方向场。
观察以下微分方程的向量场和其解的关系图形
微分方程 y'(x) =2x的向量场和其解的关系
画向量场：y'(x) =2x
Clear[field，x，y]；
field[x_，y_] = {1，2x}；
fieldplot=PlotVectorField[field[x，y]，{x，-4，4}，{y，-4，4}，PlotPoints®30，Frame>True]；

Clear[x， y， equation]；
equation=y′[x]==2x
solution = DSolve[equation， y[x]， x]
y[x_] = y[x] /。 solution[[1]] /。 C[1] -> C；
setOfCurve
Table[Plot[y[x]， {x，-4， 4}， PlotRange -> {-4， 4}， PlotStyle -> {Thickness[0。01]， Red}， Axes -> False， DisplayFunction -> Identity]， {C， -5， 5， 1})，
Show[setOfCurve， DisplayFunction ->$DisplayFunction， Axes -> True， AspectRatio -> Automatic]；

解方程：y'(x) =2x，并画出其积分曲线族。

fc=AppendTo[setOfCurve，fieldplot]；
Show[fc，DisplayFunction->$DisplayFunction，Frame->True]；
Show[fc，DisplayFunction->$DisplayFunction，Frame->True]；

将方程y'(x) =2x的向量场和积分曲线族画在一起：

我们发现，如果将方向场中的小箭头首尾相连，就得到了微分方程的解函数族，即积分曲线族。
实际上，由微分方程（1）知，积分曲线上点 ( x ， y ) 的切线的斜率等于 f (x ， y )。 按照方程(1)确定的方向场，在xOy 平面上的每一点 ( x ， y ) 处确定了一个ú方向ø，其指向与x 轴正向夹角的正切等于f (x ， y )（由此，方向场也称斜率场)。所以方程（1）的积分曲线上每一点的切线方向都与方向场在该点的方向一致。 y'x=0.8 yx1 -yx30
方程y'x=2x-y[x]的向量场和其解的关系
画向量场： y'x=2x-y[x]
Clear[field，x，y]；
field[x_，y_] = {1，2x-y}；
fieldplot=PlotVectorField[field[x，y]，{x，-4，4}，{y，-4，4}，PlotPoints®30，Frame->True]；

Clear[x， y， a， b]；
equation=y′[x]==2x - y[x]；
solution =DSolve[equation， y[x]， x]
y[x_] = y[x] /。 solution[[1]] /。 C[1] -> C
setOfCurve = Table[Plot[y[x]， {x， -4， 4}， PlotRange -> {-4， 4}， PlotStyle -> {Thickness[0。01]， Red}， Axes -> False， DisplayFunction -> Identity]， {C， -5， 5， 1}]；
Show[setOfCurve， DisplayFunction -> $DisplayFunction， Axes -> True，AspectRatio -> Automatic]\)， "\[IndentingNewLine]
Null
解方程：y'x=2x-y[x]，并画出其积分曲线族。

fc=AppendTo[setOfCurve，fieldplot]；
Show[fc，DisplayFunction->$DisplayFunction，Frame->True]

将方程y'x=2x-y[x]的向量场和积分曲线族画在一起：

我们发现，如果将方向场中的小箭头首尾相连，就得到了微分方程的解函数族，即积分曲线族。进一步，当 x→+ ®∞¥时，方程的解将与直线 y = 2x - 2 重合。
参考文献

[1] 马新生 陈涛 陈钰菊等《高等数学实验》 科学出版社，2006年