专题解析几何中面积问题的研究与拓展样本.doc

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专题7.22: 解析几何中面积问题的研究与拓展
【探究拓展】
探究1: 如图, 设,分别为椭圆的右顶点和上顶点, 过原点作直线交线段于点( 异于点, ) , 交椭圆于, 两点( 点在第一象限内) , 和的面积分别为与．
( 1) 若是线段的中点, 直线的方程为, 求椭圆的离心率;
O
M
D
A
C

B

( 2) 当点在线段上运动时, 求的最大值．
解: ( 1) ;
( 2) 设,( )

令
1: 三角换元: ),
当且仅当时( 此时时等号成立) , 可取得最大值
2: 基本不等式的应用: ,同理可得结果
椭圆的外切矩形的对角线和椭圆的交点处的切线必和另一条对角线平行;
且在该交点处, 此时,都是最大的.

探究2: 如图, 椭圆的离心率为, x轴被曲线 截得的线段长等于C1的长半轴长
( 1) 求C1, C2的方程;
( 2) 设C2与y轴的焦点为M, 过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB
分别与C1相交与D,E．

( I) 证明: MD⊥ME;
( II) 记△MAB,△MDE的面积分别是．问: 是否存在直线l,使得? 请说明理由.

解: ( 1) 由题意知
故C1, C2的方程分别为
( 2) ( i) 由题意知, 直线l的斜率存在, 设为k, 则直线l的方程为.
由得.
设是上述方程的两个实根, 于是

又点M的坐标为( 0, —1) , 因此

故MA⊥MB, 即MD⊥ME.
( ii) 设直线MA的斜率为k1, 则直线MA的方程为解得
, 则点A的坐标为.又直线MB的斜率为,
同理可得点B的坐标为
于是
由得
解得, 则点D的坐标为
又直线ME的斜率为, 同理可得点E的坐标为
于是.因此
由题意知,
又由点A、 B的坐标可知,
故满足条件的直线l存在, 且有两条, 其方程分别为
探究3: 如图, 已知椭圆的左焦点为, 过点的直线交椭圆于两点, 线段的中点为, 的中垂线与轴和轴分别交于两点．
( 1) 若点的横坐标为, 求直线的斜率;
( 2) 记△的面积为, △( 为原点) 的面
积为．试问: 是否存在直线, 使得? 说明理由．
解: ( 1)
( 2) 不存在, 计算可得

探究4: 如图, 在平面直角坐标系中, 已知椭圆: 的离心率
, 分别是椭圆的左、 右两个顶点, 圆的半径为, 过点作圆的切
线, 切点为, 在轴的上方交椭圆于点．
( 1) 求直线的方程; ( 2) 求的值;

解: ( 1) 连结, 则, 且, 又, 因此.
因此, 因此直线的方程为.
⑵由⑴知, 直线的方程为, 的方程为, 解得.
因为, 即, 因此, , 故椭圆的方程为.
由解得, 因此．
⑶不妨设的方程为,
联立方程组解得, 因此;
用代替上面的, 得．同理可得, , ．
因此．因为
,
当且仅当时等号成立, 因此的最大值为

探究5: 在平面直角坐标系中, 已知椭圆C: 过点A, 离心率为．
( 1) 求椭圆C的方程;
( 2) 设点B是点A关于原点O的对称点, P是椭圆C
上的动点( 不同于A, B) , 直线AP, BP分别与直线交于点M, N, 问: 是否存在点P使得和
的面积相等? 若存在, 求出点P的坐标, 若不存在, 说
明理由．
解: ( 1) 由题意得 ………………… 2分
解得． ………………… 4分
∴椭圆C的方程为． ………………… 5分
( 2) 如图, B点坐标为, 假设存在这样的点P ,
则直线AP的方程为,

探究6: 已知点M是圆C: 上的动点, 定点D( 1, 0) , 点P在直线DM上, 点N在直线CM上, 且满足, =0, 动点N的轨迹为曲线E。
( 1) 求曲线E的方程;
( 2) 若AB是曲线E的长为2的动弦, O为坐标原点, 求△AOB面积S的最大值。

探究7. 在平面直角坐标系xOy中, 过定点T( t, 0) ( t为已知常数) 作一条直线与椭圆相交于A, B两个不同点, 求△AOB面积S的最大值．

探究8. 已知椭圆G: 过点A( 0, 5) ,
B( -8, -3) , C, D在椭圆G上, 直线CD过坐标原点O, 且在线段AB的右下侧．求:
( 1) 椭圆G的方程;
( 2) 四边形ABCD的面积的最大值．

探究9: 如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分
别为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大
到小依次为,,,.记,和的面积分别为和.
( 1) 当直线与轴重合时,若,求的值;
( 2) 当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?并说明理由.

解:(I),
解得:(舍去小于1的根)
(II)设椭圆,,直线:

同理可得,
又和的的高相等

如果存在非零实数使得,则有,
即:,解得
当时,,存在这样的直线;当时,,不存在这样的直线.
探究10: 平面直角坐标系中,过椭圆的右焦点作直
交于两点,为的中点,且的斜率为.
( 1) 求的方程;
( 2) 为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.

探究11: ( 湖南) 如图, 为坐标原点, 椭圆的左、 右焦点分别为, 离心率为; 双曲线的左、 右焦点分别为, 离心率为．已知且
( 1) 求的方程;

( 2) 过作的不垂直于轴的弦, M为AB的中点．当直线与交于两点时, 求四边形面积的最小值．

【解析】( 1) 因为, 因此, 即, 因此, 从而, , 于时, 因此, ．故的方程分别为,
( 2) 因不垂直于轴, 且过点, 故可设直线的方程为
由得,
易知此方程的判别式大于0, 设,
则是上述方程的两个实根, 因此
,
因此, 于是的中点为, 故直线的斜率为, 的方程为, 即．
由得, , 因此, 且, 从而．
设点到直线的距离为, 则点到直线的距离也为, 因此

因为点在直线的异侧, 因此, 于是

从而
又因为, 因此

故四边形的面积

而, 故当时, 取得最小值2．
综上所述, 四边形在面积的最小值为2．

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