1、专练专练五五 立体立体几何多选题几何多选题 1.已知，是两个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是()A.若 mn，m，则 n B.若 m，n，则 mn C.若 m，m，则 D.若 m，mn，n，则 解析 由 mn，m，可得 n，A 正确；若 m，n，则 m 与 n 的位置关系不确定，B 不正确；由 m，m，得，C 正确；由 m，mn，n，得，D 不正确.故选 AC.答案 AC 2.(2020青岛模拟)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则下列四个命题正确的是()A.直线 BC 与平面 ABC1D1所成的角等于4 B.点 C 到平面 ABC1D1的距离为2
2、2 C.异面直线 D1C 和 BC1所成的角为4 D.三棱柱 AA1D1BB1C1的外接球的半径为32 解析 对于 A，直线 BC 与平面 ABC1D1所成的角为CBC14，A 正确.对于 B，连接 B1C.因为 B1C平面 ABC1D1，所以点 C 到平面 ABC1D1的距离为 B1C 的一半，即为22，B 正确.对于 C，因为 BC1AD1，所以异面直线 D1C 和 B1C 所成的角为AD1C.连接 AC，则AD1C 为等边三角形，则异面直线 D1C 和 BC1所成的角为3，C 错误.对于 D，因为 A1A，A1B1，A1D1两两垂直，所以三棱柱 AA1D1BB1C1的外接球也是正方体 A
3、BCDA1B1C1D1的外接球，所以外接球的半径 r121212232，D 正确.故选 ABD.答案 ABD 3.(2020东营调研)如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥.若一正四棱锥的体积为 18，则当该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是()A.棱锥的高与底面边长的比为22 B.侧棱与底面所成的角为4 C.棱锥的高与底面边长的比为 2 D.侧棱与底面所成的角为3 解析 如图，O 为正四棱锥 SABCD 的底面中心，连接 SO，则 SO 是正四棱锥SABCD 的高.设点 E 为 BC 的中点，连接 OE，SE.设该正四棱锥的高为 h，底面
4、边长为 a，则 VSABCD13a2h18，即 h54a2，所以该正四棱锥的侧面积为 4SSBC412BCSE412ah2a242a542a4a24a41082a2.令 f(a)a41082a2(a0)，则 f(a)4a321082a3.令 f(a)0，得 a3 2.当 a(0，3 2)时，f(a)0，f(a)单调递增，所以当 a3 2时，f(a)取得最小值，即该正四棱锥的侧面积最小，此时 h3.所以棱锥的高与底面边长的比为22，A 正确，C 错误.连接 AO，则侧棱与底面所成的角为SAO，由 a3 2，得 AO3，而 h3，所以SAO4，B 正确，D 错误.故选 AB.答案 AB 4.如图(
5、1)，点 M，N 分别为菱形 ABCD 的边 BC，CD 的中点，将此菱形沿对角线AC 折起，使点 D 不在平面 ABC 内，如图(2)，则在翻折过程中，下列结论正确的有()A.MNBD B.MN平面 ABD C.异面直线 AC 与 MN 所成的角为定值 D.在二面角 DACB 逐渐变小的过程中，三棱锥 DABC 的外接球的半径先变小后变大 解析 因为点 M，N 分别为菱形 ABCD 的边 BC，CD 的中点，所以 MN 为BCD的中位线，所以 MNBD，A 正确.又因为 MN平面 ABD，BD平面 ABD，所以MN平面 ABD，B 正确.对于 C，如图，取 AC 的中点 O，连接 DO，BO
6、则ACDO，ACBO.因为BODOO，BO，DO平面BOD，所以AC平面BOD，所以 ACBD.因为 MNBD，所以 ACMN，即异面直线 AC 与 MN 所成的角为定值2，C 正确.对于 D，借助极限状态，当平面 DAC 与平面 ABC 重合时，三棱锥 DABC 的外接球的球心是ABC 的外接圆的圆心，球的半径是ABC 的外接圆的半径，当二面角 DACB 逐渐变大时，球心离开平面 ABC，但是球心在平面 ABC 的投影仍然是ABC 的外接圆的圆心，所以二面角 DACB 不为0 时，外接球的半径一定大于ABC 的外接圆的半径，故二面角 DACB 逐渐变小的过程中，三棱锥 DABC 的外接球的半径不可能先变小后变大，D 错误.答案 ABC
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