几种常见的二次曲面.pptx

五、二次曲面五、二次曲面第四节第四节一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念四、旋转曲面四、旋转曲面 二、柱面二、柱面几种常见的二次曲面几种常见的二次曲面三、锥面三、锥面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二次曲面方程的定义：二次曲面方程的定义：三元二次方程三元二次方程表示的图形称为表示的图形称为二次曲面二次曲面.以下给出几例常用的二次曲面以下给出几例常用的二次曲面.故所求方程为故所求方程为例例1.求动点到定点求动点到定点方程方程.特别特别,当当M0在原点时在原点时,球面方程为球面方程为解解:设轨迹上动点为设轨迹上动点为即即依题意依题意距离为距离为 R 的轨迹的轨迹表示上表示上(下下)球面球面.例例2.研究方程研究方程解解:配方得配方得此方程表示此方程表示:说明说明:如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形都可通过配方研究它的图形.其图形可能是其图形可能是的曲面的曲面.表示表示怎样怎样半径为半径为的球面的球面.球心为球心为 一个一个球面球面,或或点点,或或虚轨迹虚轨迹.定义定义.平行定方向的动直线平行定方向的动直线 l沿定曲线沿定曲线C 移动的移动的产生的曲面叫做产生的曲面叫做柱面柱面,C 叫做叫做准线准线,l 叫做叫做母线母线.二、柱面二、柱面一般地一般地,在三维空间在三维空间平行于平行于 z 轴轴;柱面柱面,准线准线 xoy 面上的曲线面上的曲线 l1.母线母线的坐标也满足方程的坐标也满足方程在在 xoy 面上面上，表示曲线表示曲线C,沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面轴的一切直线所形成的曲面,所以为所以为故在空间故在空间过此点作过此点作柱面柱面.对任意对任意 z,平行平行 z 轴的直线轴的直线 l,表示表示柱面柱面在在C上任取一点上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程其上所有点的坐标都满足此方程,柱面柱面,柱面柱面,平行于平行于 x 轴轴;平行于平行于 y 轴轴;准线准线 xoz 面上的曲线面上的曲线 l3.母线母线准线准线 yoz 面上的曲线面上的曲线 l2.母线母线圆柱面圆柱面 表示表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于母线平行于 z 轴轴;准线为准线为xoy 面上的抛物线面上的抛物线.z 轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面.z 轴的轴的平面平面.表示母线平行于表示母线平行于(且且 z 轴在平面上轴在平面上)表示母线平行于表示母线平行于三、锥面三、锥面 一条动直线通过一定点且沿空间一条固定曲线移动一条动直线通过一定点且沿空间一条固定曲线移动所产生的曲面称为所产生的曲面称为锥面锥面。动直线称为。动直线称为母线母线，定点称，定点称为为顶点顶点，固定曲线称为，固定曲线称为准线准线。例例3 3解解定义定义.一条平面曲线一条平面曲线四、旋转曲面四、旋转曲面 绕其平面上一条绕其平面上一条定直线定直线旋转旋转一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为该定直线称为旋转旋转轴轴 .例如例如:建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:故旋转曲面方程为故旋转曲面方程为当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时,若点若点给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 C:则有则有则有则有该点转到该点转到思考：思考：当曲线当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如何轴旋转时，方程如何？例例4.试建立顶点在原点试建立顶点在原点,旋转轴为旋转轴为z 轴轴,半顶角为半顶角为的圆锥面方程的圆锥面方程.解解:在在yoz面上直线面上直线L 的方程为的方程为绕绕z z 轴旋转时轴旋转时,圆锥面的方程为圆锥面的方程为两边平方两边平方例例5.求坐标面求坐标面 xoz 上的双曲线上的双曲线分别绕分别绕 x轴和轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕绕 x 轴旋转轴旋转绕绕 z 轴旋转轴旋转这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为五、二次曲面五、二次曲面三元二次方程三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法.其基本类型有其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为的图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为二次项系数不全为 0)平面被称为平面被称为一次曲面一次曲面即：用坐标面和平行于坐标面的一族平面与曲面即：用坐标面和平行于坐标面的一族平面与曲面相截，由截出的一族交线（即截痕）的形状，加相截，由截出的一族交线（即截痕）的形状，加以综合，从而了解曲面的全貌以综合，从而了解曲面的全貌我们仅研究标准二次曲面及其图形我们仅研究标准二次曲面及其图形.研究方法研究方法_平面截割法（截痕法）平面截割法（截痕法）：(p,q 同号同号)1 1.椭球面椭球面(1)范围：范围：(2)与坐标面的交线：椭圆与坐标面的交线：椭圆abcyx zo与与的交线为椭圆：的交线为椭圆：同样同样的截痕的截痕及及也为椭圆也为椭圆.(3)截痕截痕:为正数为正数)截痕法截痕法用用z=z1截曲面截曲面用用y=y1截曲面截曲面用用x=x1截曲面截曲面abcyx zo椭球面椭球面椭球面椭球面(4)当当 ab 时为时为旋转椭球面旋转椭球面;当当abc 时为时为球面球面.2.抛物面抛物面(1)椭圆抛物面椭圆抛物面(p,q 同号同号)用截痕法讨论：用截痕法讨论：1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点设设原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.图形位于图形位于xOy平面平面的上方，的上方，并关于并关于yOz及及zOx坐标面坐标面对称对称.xyzO当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.xyzO 2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得抛物线截得抛物线它的轴平行于它的轴平行于 轴轴顶点顶点与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.（3）用坐标面）用坐标面 ，与曲面相截与曲面相截均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.(1)椭圆抛物面椭圆抛物面(p,q 同号同号)zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：特别特别,当当 p=q 时为绕时为绕 z 轴的旋转抛物面轴的旋转抛物面.(2)双曲抛物面（鞍形曲面）双曲抛物面（鞍形曲面）(p,q 同号同号)与三个坐标面的交线与三个坐标面的交线抛物线抛物线，其顶点均为原点，其顶点均为原点，对称轴对称轴同同叫做双抛物面的叫做双抛物面的主抛物线主抛物线.开口指开口指z轴轴正正向向开口指开口指z轴轴负负向向一对直线一对直线设设与与平行于平行于坐标面平面的交线坐标面平面的交线与平面与平面 z=h(h 0)的交线为的交线为双曲线双曲线.双曲线顶点分别在两主抛物线上双曲线顶点分别在两主抛物线上!为双曲线为双曲线,其顶点为其顶点为 为双曲线为双曲线,其顶点为其顶点为 虚轴与虚轴与x轴平行轴平行虚轴与虚轴与y轴平行轴平行yzox(2)双曲抛物面（鞍形曲面）双曲抛物面（鞍形曲面）(p,q 0)0)用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设图形如下：图形如下：xyzo(2)双曲抛物面（鞍形曲面）双曲抛物面（鞍形曲面）(p,q 0)0)与平面与平面 的交线为的交线为抛物线抛物线.抛物线抛物线yxoz3.双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面椭圆椭圆.时时,截痕为截痕为(实轴平行于实轴平行于x 轴；轴；虚轴平行于虚轴平行于z 轴）轴）平面平面 上的截痕情况上的截痕情况:双曲线双曲线:xyoz虚轴平行于虚轴平行于x 轴）轴）时时,截痕为截痕为时时,截痕为截痕为(实轴平行于实轴平行于z 轴轴;相交直线相交直线:双曲线双曲线:xyoz xyoz(2)双叶双曲面双叶双曲面双曲线双曲线椭圆椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线双曲线单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面图形图形内容小结内容小结1.空间曲面空间曲面三元方程三元方程 球面球面 旋转曲面旋转曲面如如,曲线曲线绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面:柱面柱面如如,曲面曲面表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.又如又如,椭圆柱面椭圆柱面,双曲柱面双曲柱面,抛物柱面等抛物柱面等.椭圆锥面椭圆锥面:2.二次曲面二次曲面三元二次方程三元二次方程 椭球面椭球面 抛物面抛物面:椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面 双曲面双曲面:单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面椭圆锥面:斜率为斜率为1的直线的直线平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中方方 程程平行于平行于 y 轴的直线轴的直线 平行于平行于 yoz 面的平面面的平面 圆心在圆心在(0,0)半径为半径为 3 的圆的圆以以 z 轴为中心轴的轴为中心轴的圆柱面圆柱面平行于平行于 z 轴的平面轴的平面思考与练习思考与练习1.指出下列方程的图形指出下列方程的图形: