几何证明举例等腰三角形剖析.pptx

1.如图，在如图，在ABC中，中，（1）如果）如果AB=AC，可得：，可得：（2）如果）如果B=C，可得：，可得：B=CAB=AC 复习引入复习引入2.2.等腰三角形的一边长为等腰三角形的一边长为3cm,3cm,另一边长为另一边长为4cm,4cm,则它的周长是则它的周长是 ；3.3.等腰三角形的一边长为等腰三角形的一边长为3cm,3cm,另一边长为另一边长为8cm,8cm,则它的周长是则它的周长是 。4.等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为110,它的另外两个角为它的另外两个角为_ _。ABC10 cm 或或 11 cm19 cm35，353.这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？出发，对它们进行证明？自主探究自主探究1.我们已经学习过等腰三角形，我们来回忆一下我们已经学习过等腰三角形，我们来回忆一下下列几个问题：下列几个问题：(1)什么叫做等腰三角形？什么叫做等腰三角形？(2)等腰三角形有哪些性质？等腰三角形有哪些性质？两底角相等（两底角相等（简称等边对等角）。简称等边对等角）。顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合。互相重合。2.上述性质你是怎么得到的？上述性质你是怎么得到的？轴对称的性质边边：有两条边相等的三角形有两条边相等的三角形两腰相等两腰相等角：角：三线合一：三线合一：合作与探究合作与探究证明：证明：等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）（等边对等角）已知：如图已知：如图已知：如图已知：如图,在在在在ABCABC中中中中,AB=AC.,AB=AC.求证：求证：求证：求证：B=B=C C分析分析：常见辅助线做法：常见辅助线做法（1）作顶角的平分线）作顶角的平分线（3）作底边上的高；）作底边上的高；（2）作底边上的中线；）作底边上的中线；ABCD1 2证明：证明：等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，ABAC求证：求证：BCABCD怎么想怎么想怎怎么么写写要证要证BC 只需证只需证ABD ACD已有条件：已有条件：ABAC，AD AD 合作与探究合作与探究还需条件：还需条件：BAD CAD证明：过点证明：过点A作作BAC的的角平分线角平分线交交BC于点于点DD根据以上证明，我们还可以得到什么结论？根据以上证明，我们还可以得到什么结论？结论结论1：等腰三角形顶角的平分线平分底等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。边并且垂直于底边。已知：已知：求证：求证：ABC中，中，ABAC 即得到即得到ADBC和和BD=CD AB =AC (已知已知)BAD=CAD (已证已证)AD =AD (公共边公共边)BADCAD(SAS)B=C(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等)BAD=CAD (角平分线定义角平分线定义)在在BAD与与CAD中中已知：已知：ABC中，中，ABAC求证：求证：证明：作证明：作BC边上的边上的中线中线 ADD AB =AC (已知已知)BD =CD （已证）（已证）AD =AD (公共边公共边)BADCAD(SSS)B =C(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等)BD=CD (中线定义中线定义)在在 BAD与与 CAD中中即得到即得到BAD=CAD和和ADBC根据以上证明，我们还可以得到什么结论？根据以上证明，我们还可以得到什么结论？等腰三角形底边上的中线平分顶角并且等腰三角形底边上的中线平分顶角并且 垂直于底边。垂直于底边。CBA等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。几何语言：几何语言：AC=AB（）B=C(）已知已知等边对等角等边对等角通通过过证证明明我我们们发发现现:等等腰腰三三角角形形的的两两个个底底角角相相等等是是真命题。可以作为证明其他命题的依据。真命题。可以作为证明其他命题的依据。图形语言：图形语言：文字语言：文字语言：通过证明我们不仅发现等要三角形的两底角相等成立，而且还得到如下结论也是成立的成立的。等腰三角形的顶角平分线等腰三角形的顶角平分线底边上的中线底边上的中线底边底边上的高互相重合上的高互相重合(简称简称“三线合一三线合一”).交流与发现交流与发现这个结论是真命题，我们把它作为证明其他命题的这个结论是真命题，我们把它作为证明其他命题的依据，并且把它叫做等腰三角形的性质定理！依据，并且把它叫做等腰三角形的性质定理！A AC CB BD DA AC CB BD D AB=AC,图图图图图图图图1 12 2 A AC CB BD D1 12 2性质定理性质定理2：等腰三角形的顶角平分线：等腰三角形的顶角平分线底边上的底边上的中线中线底边上的高互相重合底边上的高互相重合(简称简称“三线合一三线合一”).几何语言几何语言 AB=AC,AD BC,BD=CD.1=2,AD BC BD=CD,1=2.AB=AC,AD BC BD=CD,12.图图图图 1 12 2 写出写出“等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等”的逆命题，的逆命题，如何证明这个逆命题是正确的？如何证明这个逆命题是正确的？要求：（要求：（1）写出它的逆命题：。）写出它的逆命题：。（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。交流与发现交流与发现如果一个三角形的两个角相等如果一个三角形的两个角相等,那么这两个那么这两个角所对的边也相等角所对的边也相等.(简称简称“等角对等边等角对等边”).ABC求证：求证：求证：求证：AB=AC.AB=AC.已知：如图已知：如图已知：如图已知：如图,在在在在ABCABC中中中中,B=B=C.C.D证明：作证明：作证明：作证明：作ADAD BC,BC,垂足为垂足为垂足为垂足为D,D,ADB=ADB=ADC=90ADC=90(已证已证已证已证)，在在在在 ABDABD和和和和 ACDACD中，中，中，中，ABDABDACD (ACD (AASAAS)B=B=C (C (已知已知已知已知)，AD=AD (AD=AD (公共边公共边公共边公共边)，AB=ACAB=AC(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)如果一个三角形的两个角相等，那么这两如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称等角对等边个角所对的边也相等。（简称等角对等边）则则则则 ADB=ADB=ADC=90ADC=90(辅助线作法辅助线作法辅助线作法辅助线作法)等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理:如果一个三角形的两个角相等，那么这两如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称等角对等边个角所对的边也相等。（简称等角对等边）CBA图形语言：图形语言：B=C（）AC=AB(等角对等等角对等边边）已知已知几何语言：几何语言：例题解析例题解析 例例1.1.已知：如图：已知：如图：EACEAC是是ABCABC的外角，的外角，ADAD平分平分EACEAC，且且 ADADBCBC.求证：求证：AB AB=AC.AC.ABCDE证明：证明：（已知已知 ）（角平分线定义）（角平分线定义）（已知已知 ）（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）（等量代换等量代换）（等角对等边等角对等边）例例2.求证：等边三角形的每个内角都等于求证：等边三角形的每个内角都等于60.ABC证明：证明：（已知已知 ）（等要三角形的两个底角相等（等要三角形的两个底角相等）（等式的性质等式的性质 ）（三角形的内角和定理）（三角形的内角和定理）（等量代换等量代换 ）（等式的性质等式的性质 ）如果一个三角形的每个内角都等于如果一个三角形的每个内角都等于60600 0 ，那么这个三，那么这个三角形是等边三角形。角形是等边三角形。等边三角形判定定理：如果一个三角形的两等边三角形判定定理：如果一个三角形的两个内角都等于个内角都等于60600 0 ，那么这个三角形是等边三，那么这个三角形是等边三角形。角形。逆命题是真命题：逆命题是真命题：逆命题减少一个等于逆命题减少一个等于600角后角后,仍然是真命题仍然是真命题.交流与探索交流与探索 思考：思考：等边三角形的每个内角都等于等边三角形的每个内角都等于600的逆命题是什的逆命题是什么？这个逆命题是真命题吗？么？这个逆命题是真命题吗？你能把这个逆命题的条件适当减少你能把这个逆命题的条件适当减少,使它仍然是真命题吗？使它仍然是真命题吗？练练 习习CBAD 名名 称称 图图 形形 概概 念念 性质与边角关系性质与边角关系 判判 定定 等等 腰腰 三三 角角 形形A AB BC C有两边有两边相等的相等的三角形三角形是等腰是等腰三角形。三角形。2.2.等边对等角等边对等角,3.3.三线合一。三线合一。4.4.是轴对称图形是轴对称图形.2.2.等角对等边等角对等边,1.1.两边相等。两边相等。1.1.两腰相等两腰相等.小小 结结小小 结结v 在等腰三角形中，在等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高顶角平分线、底边上的中线、底边上的高是常是常用的辅助线用的辅助线，通过添画辅助线，把一个等腰三角形分成一，通过添画辅助线，把一个等腰三角形分成一对全等三角形。对全等三角形。v等腰三角形的等腰三角形的性质定理性质定理是一个三角形中是一个三角形中由两边相等证明两角由两边相等证明两角相等相等的依据；等腰三角形的的依据；等腰三角形的判定定理判定定理，是一个，是一个由两角相等证明由两角相等证明两边相等两边相等的依据。的依据。v证明中常用的一种思考方法：从需要证明的结论出发，逆推证明中常用的一种思考方法：从需要证明的结论出发，逆推出要使结论成立所需要的条件，再把这样的出要使结论成立所需要的条件，再把这样的“条件条件”看作看作“结结论论”，一步一步逆推，直至归结为已知条件。，一步一步逆推，直至归结为已知条件。等边三角形等边三角形的性质定理：等边三角形的每个内角都等于的性质定理：等边三角形的每个内角都等于60600 0.等腰三角形的判定方法有下列几种：等腰三角形的判定方法有下列几种：。等腰三角形的判定定理与性质定理的区别等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是是 。运用等腰三角形的判定定理时，应注意运用等腰三角形的判定定理时，应注意 。定义，定义，判定定理判定定理 条件和结论刚好相反。条件和结论刚好相反。在同一个三角形中在同一个三角形中