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@2017年南京市鼓楼区九年级下期中数学试卷及答案

九年级（下）期中试卷
数 学
注意事项：
本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上）
1．4的算术平方根是
A．±2
B．2
C．±16
D．16
2．计算(－a3)2的结果是
A．－a6
B．－a5
C．a6
D．a5
3．如图是某几何体的三种视图，则这个几何体是
A．圆锥
B．圆柱
C．球
D．四棱锥
主视图
左视图
俯视图
（第4题）
C
B
A
O
E
D
（第6题）

4．若在数轴上画出表示下列各数的点，则与原点距离最近的点是
A．－1
B．－
C．
D．2
5．对于代数式x2－10x＋24，下列说法中错误的是
A．次数为2、项数为3
B．因式分解的结果是(x－4)(x－6)
C．该代数式的值可能等于0
D．该代数式的值可能小于－1
6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝30°，BC＝，把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，则对应点C、D之间的距离为
A．1
B．
C．
D．2
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．－3的相反数是 ▲ ，－3的倒数是 ▲ ．
8．截止于2017年3月1日，南京市鼓楼区团区委官方微博的粉丝数量为25 000，将25 000 用科学记数法表示为 ▲ ．
9．计算·的结果是 ▲ ．
10．不等式＜的解集是 ▲ ．
11．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到10天的数据如下：106，60，74，100，92，67，75，67，87，119．该组数据的中位数是 ▲ ．
12．已知圆锥的底面半径为4 cm，圆锥的母线长为5 cm，则圆锥的侧面积为 ▲ cm2．
13．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A＋∠B＝220°，则∠1＋∠2＋∠3＝ ▲ °．
y
x
O
D
A
B
C
E
F
(第14题)
1
2
3
A
B
C
D
E
(第13题)

14．以菱形ABCD的对角线交点O为原点，对角线AC、BD所在直线为坐标轴，建立如图所示直角坐标系，AD的中点E的坐标为(－1，2)，则BC的中点F的坐标为 ▲ ．
15．在直角坐标系中，把四边形ABCD以原点O为位似中心放缩，得到四边形AˊBˊCˊDˊ．若点A和它的对应点Aˊ的坐标分别为（2，3），（6，9），则＝ ▲ ．
16．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c图像与一次函数y2＝kx的图像交于点M、N，点M、N的横坐标分别为m、n（m＜n）．下列结论：①若a＞0，则当m＜x＜n时，y1＜y2；②若a＜0，则当x＜m或x＞n时，y1＞y2；③b－k＝am＋an；④c＝amn．
其中所以正确结论的序号是 ▲ ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算：2－1×4＋(－2)4÷4＋cos60°．

18．（7分）解方程组

19．（9分）已知代数式＋，回答下列问题．
（1）化简这个代数式；
（2）“当x＝1时，该代数式的值为0”，这个说法正确吗？请说明理由．

20．（7分）某中学九年级男生共450人，现随机抽取了部分九年级男生进行引体向上测试，相关数据的统计图如下．
12
1
4
4
6
9
11
10
5
0
2
4
6
8
10
0
1
2
3
4
5
6
7
测试成绩x/个
人数

（1）设学生引体向上测试成绩为x（单位：个）．学校规定：当0≤x＜2时成绩等级为不及格，当2≤x＜4时成绩等级为及格，当5≤x＜6时成绩等级为良好，当x≥6时成绩等级为优秀．用适当的统计图表示“不及格”、“及格”、“良好”、“优秀”四个等级学生人数所占百分比；
（2）估计全校九年级男生引体向上测试优秀的人数．

C
D
E
B
A
F
（第21题）
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，△AEF∽△ABC．
（1）求证：△AED≌△AFD；
（2）若BC＝2AD，求证：四边形AEDF是正方形．

22．（8分）甲、乙两人用两颗骰子玩游戏．这两颗骰子的一些面标记字母A而其余的面则标记字母B．两个人轮流掷骰子，游戏规则如下：两颗骰子的顶面字母相同时，甲赢；两颗骰子的顶面字母不同时，乙赢．已知第一颗骰子各面的标记为4A2B，回答下列问题：
（1）若第二颗骰子各面的标记为2A4B，求甲、乙两人获胜的概率各是多少？
（2）若要使两人获胜概率相等，则第二颗骰子要有 ▲ 个面标记字母A．

23．（8分）按要求完成下列尺规作图（不写作图，保留作图痕迹）．
（1）如图①，点A、B、C是平行四边形ABCD的三个顶点，求作平行四边形ABCD；
（2）如图②，点O、P、Q分别是平行四边形EFGH三边EH、EF、FG的中点，求作平行四边形EFGH．
A
B
C
图①
O
P
Q
图②
（第23题）

24．（8分）甲、乙两人骑车分别从A、B两地同时出发，沿同一路线匀速骑行，两人先相向而行，甲到达B地后停留20 min再以原速返回A地，当两人到达A地后停止骑行．设甲出发x min后距离A地的路程为y km．图中的折线表示甲在整个骑行过程中y与x的函数关系．
（1）A、B两地之间的路程是 ▲ km；
（2）求甲从B地返回A地时，y与x的函数表达式；
（3）在整个骑行过程中，两人只相遇了1次，乙的骑行速度可能是（ ▲ ）．
A．0.1
B．0.15
C．0.2
D．0.25
O
50
x/min
y/km
25
（第24题）

25．（8分）某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底面为圆形的古塔高度，以下是他们研究报告的部分记录内容：
课题：测量古塔的高度

35°
E
C
A
F
B
D
H
17°
45°
小明的研究报告
小红的研究报告
图示

测量方案与测量数据
　 用距离地面高度为1.6 m的测角器测出古塔顶端的仰角为35°，再用皮尺测得测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离为30 m．
在点A用距离地面高度为1.6 m的测角器测出古塔顶端的仰角为17°，然后沿AD方向走58.8 m到达点B，测出古塔顶端的仰角为45°．
参考数据
sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70
sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30，≈1.41
计算古塔高度
（结果精确到0.1 m）
30×tan35°＋1.6≈22.6（m）

（1）写出小红研究报告中“计算古塔高度”的解答过程；

（2）数学老师说小红的结果较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．针对小明的测量方案分析测量发生偏差的原因；

（3）利用小明与小红的测量数据，估算该古塔底面圆直径的长度为 ▲ m．

26．（8分）某水果店出售一种水果，每只定价20元时，每周可卖出300只．试销发现以下两种情况：
情况1：如果每只水果每降价1元，那么每周可多卖出25只；
情况2：如果每只水果每涨价1元，那么每周将少卖出10只．
（1）根据情况1，如何定价，才能使一周销售收入最多？
（2）如果物价局规定该种水果每只价格只能在22元～24元之间（包括22元与24元）那么根据以上两种情况，你认为应当如何定价才能使一周销售收入最多？并说明理由．

27．（10分）在正方形ABCD中，有一直径为CD的半圆，圆心为点O，CD＝2，现有两点E、F，分别从点A、点C同时出发，点E沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，点F沿线段CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点F运动到点B时，点E也随之停止运动．设点E离开点A的时间为t(s)，回答下列问题：
（1）如图①，根据下列条件，分别求出t的值．
①EF与半圆相切；
②△EOF是等腰三角形．
（2）如图②，点P是EF的中点，Q是半圆上一点，请直接写出PQ＋OQ的最小值与最大值．

图①
图②
备用图
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
F
O
Q
P
A
B
C
D
E
F
O
（第27题）

九年级（下）期中考试
数学试题参考答案及评分标准

说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
C
A
C
D
D

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．3，－ 8．2.5×104 9．6a 10．x＜3 11．81
12．20π 13．220° 14．(1，－2) 15． 16．①②④．
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（7分）解：2－1×6－(－2)4÷4＋cos60°
＝×6－16÷4＋ ………………………………………………………………………3分
＝3－4＋…………………………………………………………………………………5分
＝－．……………………………………………………………………………………7分

18．（7分）解方程组
解：由①＋②×3，得x＝2，……………………………………………………………3分
把x＝2代入①，得y＝1， ……………………………………………………………5分
∴方程组的解为．…………………………………………………7分

19．（9分）解：（1）＋
＝＋ ……………………………………………………………2分
＝ ……………………………………………………………………………4分
＝． …………………………………………………………………………………6分
（2）不正确． …………………………………………………………………………7分
因为当x＝1时，代数式＋中的分母x－1，x2－1都等于0，该代数式在实数范围内无意义，所以这个说法不正确．………………………………………………………9分
20．（7分）不及格
10%
及格
20%
良好
40%
优秀
30%
某中学抽样九年级男生引体向上
等级人数分布扇形统计图
（1）解：如图所示： ……………………………………………………………5分

（2）450×30%＝135（人）
答：估计全校九年级男生引体向上测试优秀的人数为135人．
…………………………………………………………………………………………………2分

21．（8分）（1）证明：∵△AEF∽△ABC，
∴＝，∵AB＝AC，∴AE＝AF，………………………………………1分
∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，……………………………………………………2分
在Rt△AED和Rt△AFD中，∠AED＝∠AFD＝90°，

∴Rt△AED≌Rt△AFD．………………………………………………………4分

（2）证明：∵Rt△AED≌Rt△AFD，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，BC＝2BD，………………………………………………………5分
∵BC＝2AD，
∴BD＝AD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝45°，…………………………………………………………6分
∴∠BAC＝2∠BAD＝90°，
∵∠AED＝∠AFD＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，………………………………………………………7分
∵AE＝AF，
∴矩形AEDF是正方形．………………………………………………………8分

22．（8分）
第2颗骰子
（1）解：用表格列出所有可能出现的结果：
第1颗骰子
结果

A
A
B
B
B
B
A
（A、A）
（A、A）
（A、B）
（A、B）
（A、B）
（A、B）
A
（A、A）
（A、A）
（A、B）
（A、B）
（A、B）
（A、B）
A
（A、A）
（A、A）
（A、B）
（A、B）
（A、B）
（A、B）
A
（A、A）
（A、A）
（A、B）
（A、B）
（A、B）
（A、B）
B
（B、A）
（B、A）
（B、B）
（B、B）
（B、B）
（B、B）
B
（B、A）
（B、A）
（B、B）
（B、B）
（B、B）
（B、B）
由表格可知，共有36种可能出现的结果，并且它们是等可能的．“两颗骰子的顶面字母相同”记为事件M，它的发生有16种可能，P(M)＝，“两颗骰子的顶面字母不同”记为事件N，它的发生有20种可能，P(N)＝，∴甲、乙两人获胜的概率各是、．
…………………………………………………………………………………………………6分
（2）3．………………………………………………………………………………………8分

23．（8分）解：（1）如图①，四边形ABCD即为所求．…………………………………4分
图②
P
Q
O
E
H
F
G

图①
A
B
C
D

（2）如图②，四边形EFGH即为所求．……………………………………………………8分

24．（8分）解：（1）25 km．…………………………………………………………………2分
（2）∵甲从A地到B地的速度为25÷50＝0.5 km/min，
∴甲从B地返回A地的速度也为0.5 km/min，
∵甲到达B地后停留20 min再以原速返回A地，
∴甲从B地返回A地时以出发70分钟，且距离A地25 km，
∴y＝25－0.5(x－70)＝60－0.5x．………………………………………………6分
（3）D．…………………………………………………………………………………8分

E
C
A
F
B
D
H
17°
45°
25．（8分）解：（1）设CH＝x，
在Rt△CHF中，∵∠CFH＝∠FCH＝45°，∴CH＝FH＝x，
在Rt△CHE中，∴tan∠CEH＝，
∴＝tan17°＝0.30，
∴x＝25.2，即CH＝25.2（m），
∴CD＝CH＋DH＝25.2＋1.6＝26.8（m），
答：这棵树AB的高度为26.8 m．………………………………………………………4分
（2）原因：小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离．………………………………………………………6分
（3）12． …………………………………………………………………………………8分

26．（8分）解：（1）根据情况1，设当每只定价为x元时，一周销售收入为y1元．
…………………………………………………………………………………………………1分
y1＝x[300＋25(20－x)]＝－25x2＋800x，
当x＝16时，y1有最大值，最大值为6500元．…………………………………3分
答：当定价为16元时，一周销售收入最多，最多为6500元．
（2）根据情况2，设当每只定价为x元时，一周销售收入为y2元．
y2＝x[300－25(x－20)]＝－10x2＋500x，
当x＝25时，y2有最大值，最大值为6250元， …………………………………5分
当22≤x≤24时，y1随x的增大而减小，而y2随x的增大而增大，……………6分

当x＝22时，y1最大，最大值为5500，
当x＝24时，y2最大，最大值为6000＞5500．
答：当定价为24元时，一周销售收入最多，最多为6000元．…………………8分

27．（10分）（1）①解：如图，设EF与半圆相切于点G，
过点E作EH⊥BC，垂足为点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠A＝∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴OD⊥AD，且AD经过半径OD的外端点D，
A
B
C
D
E
F
O
H
G
∴AD与半圆相切于点D，
同理可证：BC与半圆相切于点C，
∴ED＝EG＝2－t，CF＝FG＝2t，
∴EF＝2＋t，
∵EH⊥BC，垂足为点H，∴∠BHE＝90°，
∵∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABHE是矩形，
∴EH＝AB＝2，BH＝AE＝t，
∴HF＝2－3t，
在△EHF中，∠EHF＝90°，
∴EH2＋HF2＝EF2，
∴22＋(2－3t)2＝(2＋t)2，
解这个方程，得t1＝1－＜1，t2＝1＋＞1（不合题意，舍去），
∴当EF与半圆相切时，t的值为1－．………………………………………………4分
②解：在△EDO中，∵∠EDO＝90°，∴OE2＝t2－4t＋5，
同理可证：OF2＝1＋4t2， EF2＝9t2－12t＋8，
第一种情况：当OE＝OF时，则OE2＝OF2，
∴t2－4t＋5＝1＋4t2，
解这个方程，得t1＝＜1，t2＝－2＜0（不合题意，舍去），
第二种情况：当OE＝EF时，则OE2＝EF2，
∴t2－4t＋5＝9t2－12t＋8，此方程无解，
第三种情况：当OF＝EF时，则OF2＝EF2，
∴1＋4t2＝9t2－12t＋8，
解这个方程，得t1＝1，t2＝1.4＞1（不合题意，舍去），
综上所述：当△EOF是等腰三角形时，t的值为或1．………………………………8分
（3）1、．………………………………………………………………………………10分