2022高考数学一轮复习课后限时集训24函数y=Asinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用理.doc

课后限时集训24
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用
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一、选择题
1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

A　　　　　　　 　B

C　　　　　　　 　D
A　[令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D.
由f＝0，f＝0，排除C，故选A.]
2．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图像的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)
A．－ B．
C．1 D．
D　[由题意可知该函数的周期为，
∴＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x.∴f＝tan ＝.]
3．(2019·潍坊模拟)函数y＝sin 2x－cos 2x的图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)的图像，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为(　　)
A. B.
C. D.
B　[由题意知y＝sin 2x－cos 2x＝2sin，其图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝2sin的图像，因为g(x)为偶函数，所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋，k∈Z，又因为φ∈，所以φ＝.]
4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则φ的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
B　[由题意，得＝－＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又因为f＝sin＝0，－＜φ＜，所以φ＝.]
5．(2019·武汉调研)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图像如图所示，给出以下结论：
①f(x)的最小正周期为2；
②f(x)图像的一条对称轴为直线x＝－；
③f(x)在，k∈Z上是减函数；
④f(x)的最大值为A.
则正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　[由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×＝2，故①正确；因为函数f(x)的图像过点和，所以函数f(x)图像的对称轴为直线x＝＋＝＋k(k∈Z)，故直线x＝－不是函数f(x)图像的对称轴，故②不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若A＞0，则最大值是A，若A＜0，则最大值是－A，故④不正确．综上知正确结论的个数为2.]
二、填空题
6．将函数f(x)＝2sin的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为f(x)＝________.
2sin　[函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图像向右平移个周期即个单位长度，所得函数为y＝2sin＝2sin.]
7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则y＝f取得最小值时x的集合为________．
　[根据所给图像，周期T＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，因此fx)＝sin(2x＋φ)，另外图像经过点，代入有2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，
再由|φ|＜，得φ＝－，∴f(x)＝sin，
∴f＝sin，
当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f取得最小值．]

8．已知f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.
　[依题意，x＝＝时，y有最小值，
∴sin＝－1，∴ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．
∴ω＝8k＋(k∈Z)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以－≤，即ω≤12，令k＝0，得ω＝.]
三、解答题
9．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.

(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图像．
[解]　(1)因为T＝＝π，所以ω＝2，
又因为f＝cos＝cos
＝－sin φ＝且－＜φ＜0，所以φ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝cos.
列表：

2x－
－
0

π

x
0

π
f(x)

1
0
－1
0

描点，连线，可得函数f(x)在[0，π]上的图像如图所示．

10.(2019·北京市东城区二模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对于任意的x∈[0，m]，f(x)≥1恒成立，求m的最大值．
[解]　(1)由图像可知，A＝2.
因为＝(T为最小正周期)，所以T＝π.
由π＝，解得ω＝2.
又函数f(x)的图像经过点，所以2sin＝2，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)．
又|φ|＜，所以φ＝.
所以f(x)＝2sin.
(2)法一：因为x∈[0，m]，所以2x＋∈.
当2x＋∈，即x∈时，f(x)单调递增；
所以此时f(x)≥f(0)＝1，符合题意；
当2x＋∈，即x∈时，f(x)单调递减，
所以f(x)≥f＝1，符合题意；
当2x＋∈时，即x∈时，f(x)单调递减，
所以f(x)＜f＝1，不符合题意．
综上，若对于任意的x∈[0，m]，f(x)≥1恒成立，则必有0＜m≤，所以m的最大值是.
法二：画出函数f(x)＝2sin的图像，如图所示，由图可知，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，且f(0)＝f＝1，所以0＜m≤.所以m的最大值为.

1．将函数f(x)＝tan(0＜ω＜10)的图像向右平移个单位长度后与函数f(x)的图像重合，则ω＝(　　)
A．9 B．6
C．4 D．8
B　[函数f(x)＝tan的图像向右平移个单位长度后所得图像对应的函数解析式为y＝tan＝tan，∵平移后的图像与函数f(x)的图像重合，∴－＋＝＋kπ，k∈Z，
解得ω＝－6k，k∈Z.又∵0＜ω＜10，∴ω＝6.]

2.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述错误的是(　　)
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
C　[由题意，R＝＝6，T＝60＝，所以ω＝，
t＝0时，点A(3，－3)代入可得－3＝6sin φ，因为|φ|＜，所以φ＝－，故A正确；
f(t)＝6sin，当t∈[35,55]时，t－∈，
所以点P到x轴的距离的最大值为6，B正确；
当t∈[10,25]时，t－∈，函数y＝f(t)先增后减，C不正确；
当t＝20时，t－＝，P的纵坐标为6，|PA|＝＝6，D正确．故选C.]
3．(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图像关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
　[f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，
因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图像关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，则ω2≤，即ω2＝，
所以ω＝.]
4．已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)．
(1)若点是函数f(x)图像的一个对称中心，且ω∈(0,1)，求函数f(x)在上的值域；
(2)若函数f(x)在上单调递增，求实数ω的取值范围．
[解]　(1)由点是函数f(x)图像的一个对称中心，
得ω·＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝，k∈Z.
∵ω∈(0,1)，∴ω＝，
∴f(x)＝2sin＝2sin.
∵x∈，∴x＋∈，
∴sin∈.
故函数f(x)在上的值域为[－1,2]．
(2)令－＋2kπ≤2ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－≤x≤＋，k∈Z.∵函数f(x)在上单调递增，
∴存在k0∈Z，使⊆，
∴即又－≤·，
∴0＜ω≤，∴即－＜k0≤，∴k0＝0.
∴0＜ω≤，即实数ω的取值范围为.

已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1.
(1)若函数f(x)的图像关于直线x＝对称，且ω∈[0,3]，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在(1)的条件下，当x∈时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．
[解]　(1)函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1
＝sin 2ωx＋＋b＋1＝sin＋＋b.
因为函数f(x)的图像关于直线x＝对称，所以2ω·＋＝kπ＋，k∈Z，且ω∈[0,3]，所以ω＝1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由(1)知f(x)＝sin＋＋b.
因为x∈，所以2x＋∈.
当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递增；当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递减．
又f(0)＝f，所以当f＞0≥f或f＝0时，函数f(x)有且只有一个零点，即sin ≤－b－＜sin 或1＋＋b＝0，所以b∈∪.