2022-2022学年高中数学课时跟踪检测十三球北师大版必修.doc

课时跟踪检测〔十三〕 球
一、根本能力达标
1．假设球的体积与其外表积的数值相等，那么球的半径为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析：选D　设球的半径为r，那么球的体积为πr3，球的外表积为4πr2，故πr3＝4πr2，解得r＝3.
2．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选C　设熔化后的球的半径为R，那么其体积是原来小球的体积的2倍，即V＝πR3＝2×π×13，得R＝.
3．假设一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，那么该球的体积是(　　)

A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
解析：选C　根据球的截面的性质，得球的半径R＝＝5(cm)，所以V球＝πR3＝(cm3)．
4．球O的外表积为16π，那么球O的体积为(　　)
A.π B.π
C.π D.π
解析：选D　因为球O的外表积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为×23＝π，应选D.
5．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的外表积是(　　)
A．9π B．10π
C．11π D．12π
解析：选D　由主视图可知，该几何体的上局部是半径为1的球，下局部是底面半径为1，高为3的圆柱．由面积公式可得该几何体的外表积S＝4π×12＋2π×12＋2π×1×3＝12π.
6．假设一个球的外表积与其体积在数值上相等，那么此球的半径为________．
解析：设此球的半径为R，那么4πR2＝πR3，R＝3.
答案：3
7．某几何体的三视图如下图，那么其外表积为________．
解析：由三视图，易知原几何体是个半球，其半径为1，S＝π×12＋×4×π×12＝3π.
答案：3π
8．两个球的半径相差1，外表积之差为28π，那么它们的体积和为________．
解析：设大、小两球半径分别为R，r，
那么
所以
所以体积和为πR3＋πr3＝.
答案：
9．某组合体的直观图如下图，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，假设图中r＝1，l＝3，试求该组合体的外表积和体积．
解：该组合体的外表积
S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
10．假设一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和外表积．
解：在底面正六边形ABCDEF中，如图，连接BE，AD交于点O，连接BE1，那么BE＝2OE＝2DE，所以BE＝，
在Rt△BEE1中，
BE1＝＝2，
所以2R＝2，那么R＝，
所以球的体积V球＝πR3＝4π，
球的外表积S球＝4πR2＝12π
二、综合能力提升
1．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积等于(　　)
A．4π　　　　　　　　　　 B．8π
C．12π D．20π
解析：选D　由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，那么该几何体的外表积为4π×12＋2π×22＋4π×2＝20π.
2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，假设该棱锥的高为4，底面边长为2，那么该球的外表积为(　　)
A. B．16π
C．9π D.
解析：选A　如下图，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，
∵正四棱锥P­ABCD中AB＝2，
∴AO′＝.
∵PO′＝4，
∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，
∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，
∴该球的外表积为4πR2＝4π×2＝，应选A.
3．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，那么球的外表积为(　　)
A. B.
C．8π D.
解析：选C　设球的半径为R，那么截面圆的半径为，
∴截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，
∴R2＝2，
∴球的外表积S＝4πR2＝8π.
4．某几何体的三视图如下图，其中正(主)视图，侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为(　　)
A.＋ B＋
C.＋ D.＋
解析：选C　由三视图可得该几何体的上局部是一个三棱锥，下局部是半球，所以根据三视图中的数据可得V＝××3＋××1×1×1＝＋.应选C.
5．A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．假设三棱锥O­ABC的体积的最大值为，那么球O的外表积为________．
解析：如下图，当点C位于垂直于平面AOB的直径的端点时，三棱锥O­ABC的体积最大．设球O的半径为R，∴VO­ABC＝VC­AOB＝××R2×R＝＝，解得R＝3，那么球O的外表积S＝4πR2＝36π.
答案：36π
6．如图，半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P­ABCDEF，那么此正六棱锥的侧面积是________．
解析：显然正六棱锥P­ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，由，可得大圆的半径为2.易得其内接正六边形的边长为2.又正六棱锥P­ABCDEF的高为2，那么斜高为＝，所以该正六棱锥的侧面积为6××2×＝6.
答案：6
7．如下图，半径为R的半圆内的阴影局部以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的外表积．(其中∠BAC＝30°)
解：如下图，
过C作CO1⊥AB于O1.
在半圆中可得∠BCA＝90°， ∠BAC＝30°，AB＝2R，
∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，
∴S球＝4πR2，
S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2，
S圆锥B O1侧＝π×R×R＝πR2，
∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥B O1侧
＝πR2＋πR2＝πR2.
故旋转所得几何体的外表积为πR2.
探究应用题
8．求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．
解：如图，等边△SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆O1.
设球的半径O1O＝R，那么它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R；
OB＝O1O·cot 30°＝R，
SO＝OB·tan 60°＝R·＝3R，
∴V球＝πR3，V柱＝πR2·2R＝2πR3，
V锥＝π·(R)2·3R＝3πR3，
∴V球∶V柱∶V锥＝4∶6∶9.
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