高优指导2021高考数学一轮复习单元质检六数列B理含解析北师大版.doc

单元质检六　数列(B)
(时间:45分钟　满分:100分)
　单元质检卷第12页　 
一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)
1.(2015太原二模)在单调递减的等比数列{an}中,若a3=1,a2+a4=,则a1=(　　)

A.2 B.4 C.1 D.2
答案:B
解析:由已知得:a1q2=1,a1q+a1q3=,
∴,q2-q+1=0,
∴q=(q=2舍去),∴a1=4.
2.在数列{an}中,a1=2,当n为奇数时,an+1=an+2;当n为偶数时,an+1=2an-1,则a12等于(　　)
A.32 B.34 C.66 D.64
答案:C
解析:依题意,a1,a3,a5,a7,a9,a11构成以2为首项,2为公比的等比数列,故a11=a1×25=64,又当n为奇数时,an+1=an+2,故a12=a11+2=66.故选C.
3.设an=-n2+9n+10,则数列{an}前n项和最大时n的值为(　　)
A.9 B.10 C.9或10 D.12
答案:C
解析:令an≥0,得n2-9n-10≤0,∴1≤n≤10.
令an+1≤0,即n2-7n-18≥0,∴n≥9.
∴9≤n≤10.
∴前9项和等于前10项和,它们都最大.
4.(2015石家庄二模)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+5a1,a7=2,则a5=(　　)
A. B.- C.2 D.-2〚导学号92950663〛
答案:A
解析:由条件得
∴
∴a5=a1q4=×42=.
5.若{an}是等差数列,首项a1>0,a1 007+a1 008>0,a1 007·a1 008<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是(　　)
A.2 012 B.2 013 C.2 014 D.2 015〚导学号92950664〛
答案:C
解析:∵a1 007+a1 008>0,∴a1+a2 014>0,
∴S2 014=>0.
∵a1 007·a1 008<0,a1>0,
∴a1 007>0,a1 008<0,
∴2a1 008=a1+a2 015<0,
∴S2 015=<0,故选C.
6.数列{an}中,已知对任意n∈N+,a1+a2+a3+…+an=3n-1,则+…+等于(　　)
A.(3n-1)2 B.(9n-1)
C.9n-1 D.(3n-1)〚导学号92950665〛
答案:B
解析:∵a1+a2+a3+…+an=3n-1,
∴a1+a2+a3+…+an-1=3n-1-1(n≥2),
两式相减得an=3n-3n-1=2·3n-1(n≥2),
又a1=2满足上式,∴an=2·3n-1.
∴=4·32n-2=4·9n-1,
∴+…+=4(1+9+92+…+9n-1)
=(9n-1).
二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)
7.在3和一个未知数之间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6则成等比数列,则此未知数是　　　　　. 
答案:3或27
解析:设此三数为3,a,b,则解得
∴这个未知数为3或27.
8.(2015银川质检)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N+),则a1+a2+…+a51=　　　　　.〚导学号92950666〛 
答案:676
解析:利用分组求和法求解.当n为正奇数时,an+2-an=0,又a1=1,则所有奇数项都是1;当n为正偶数时,an+2-an=2,又a2=2,则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列,所以a1+a2+…+a51=(a1+a3+…+a51)+(a2+a4+…+a50)=26a1+25a2+×2=676.
三、解答题(本大题共3小题,共44分)
9.(14分)(2015石家庄一模)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1·a2=2,a3·a4=32.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足+…+=an+1-1(n∈N+),求数列{bn}的前n项和.
解:(1)设等比数列{an}的公比为q,由已知得
又∵a1>0,q>0,∴∴an=2n-1.
(2)由题意可得+…2n-1,①
∴+…+=2n-1-1(n≥2),②
∴①-②,得=2n-1-(2n-1-1)(n≥2),
=2n-1(n≥2),
∴bn=(2n-1)·2n-1(n≥2).
当n=1时,b1=1,符合上式,
∴bn=(2n-1)·2n-1.
设数列{bn}的前n项和为Tn=1+3×21+5×22+…+(2n-1)·2n-1,则2Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n,
两式相减得-Tn=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n=-(2n-3)·2n-3,∴Tn=(2n-3)·2n+3.〚导学号92950667〛
10.15分)已知数列{an}的前n项和为Sn=3n,数列{bn}满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1)(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)求数列{bn}的通项公式bn;
(3)若cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
解:(1)∵Sn=3n,∴Sn-1=3n-1(n≥2).
∴an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2).
当n=1时,2×31-1=2≠a1=S1=3,
∴an=
(2)∵bn+1=bn+(2n-1),
∴b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,…,bn-bn-1=2n-3.
以上各式相加得
bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)==(n-1)2.
∵b1=-1,∴bn=n2-2n.
(3)由题意得cn=
当n≥2时,Tn=-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+…+2(n-2)×3n-1,①
∴3Tn=-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+…+2(n-2)×3n.②
∴①-②得-2Tn=6+2×32+2×33+…+2×3n-1-2(n-2)×3n.
∴Tn=(n-2)×3n-(3+32+33+…+3n-1)
=(n-2)×3n-.
∴Tn=
又当n=1时,=-3,
∴Tn=.〚导学号92950668〛
11.(15分)(2015杭州质检)已知数列{an}满足a1=1,an+1=1-,其中n∈N+.
(1)设bn=,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式.
(2)设cn=,数列{cncn+2}的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn<对于n∈N+恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵bn+1-bn=
==2(常数),
∴数列{bn}是等差数列.∵a1=1,∴b1=2,
因此bn=2+(n-1)×2=2n,
由bn=得an=.
(2)由cn=,an=得cn=,
∴cncn+2==2,
∴Tn=2+…+
=2<3,
依题意要使Tn<对于n∈N+恒成立,只需≥3,即≥3,
解得m≥3或m≤-4,又m为正整数,所以m的最小值为3.〚导学号92950669〛

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