分形基本概念.pptx

分形几何的基本思想 多少世纪以来，人们总是用欧几里得几多少世纪以来，人们总是用欧几里得几何的对象和概念（诸如点、线、平面、空间、何的对象和概念（诸如点、线、平面、空间、正方形、圆正方形、圆）来描述我们这个生存的世）来描述我们这个生存的世界。而非欧几何的发现，引进了描画宇宙现界。而非欧几何的发现，引进了描画宇宙现象的新的对象。分形就是这样一种对象。象的新的对象。分形就是这样一种对象。分形的思想分形的思想 分形的思想初见于公元分形的思想初见于公元18751875至至19251925年数学年数学家们的著作。这些对象被贴上畸形怪物的标家们的著作。这些对象被贴上畸形怪物的标签，人们深信它没有丝毫的科学价值。它就签，人们深信它没有丝毫的科学价值。它就是今天人们众所周知的分形。分形一词是曼是今天人们众所周知的分形。分形一词是曼德勃罗于德勃罗于19751975年创造的，曼德勃罗在该领域年创造的，曼德勃罗在该领域有着广泛的发现。有着广泛的发现。从严格意义上讲，分形是这样一种对象，从严格意义上讲，分形是这样一种对象，将其细微部分放大后，其结构看起来仍与原将其细微部分放大后，其结构看起来仍与原先的一样。这与圆形成了鲜明的对比，把圆先的一样。这与圆形成了鲜明的对比，把圆的一部分放大后便变得比较平直。分形可分的一部分放大后便变得比较平直。分形可分为两类：一是几何分形，它不断地重复同一为两类：一是几何分形，它不断地重复同一种花样图案；另一种是随机分形。计算机和种花样图案；另一种是随机分形。计算机和计算机绘图能够把这些计算机绘图能够把这些“畸形怪物畸形怪物”可靠地带可靠地带回到生活中，在计算机的屏幕上，几乎能够回到生活中，在计算机的屏幕上，几乎能够立即产生分形，并显示出它们奇妙的形状、立即产生分形，并显示出它们奇妙的形状、艺术图案或细微的景观。艺术图案或细微的景观。可能有人感到，只有欧几里得几何的正可能有人感到，只有欧几里得几何的正规形状才能应用在科学中，然而上述新的形规形状才能应用在科学中，然而上述新的形式却从不同的透视角度向我们提供了认识自式却从不同的透视角度向我们提供了认识自然的观点。分形是一个新的数学领域然的观点。分形是一个新的数学领域-有时有时也把它归为自然界的几何，因为这些奇异而也把它归为自然界的几何，因为这些奇异而混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、树、树混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、树、树枝、生姜根、海岸线等自然现象，而且在天枝、生姜根、海岸线等自然现象，而且在天文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛应用。应用。分形几何分形几何 普通几何学研究的对象，一般都具有整数普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几年的，产生了新兴的分形几何学，空间具有不年的，产生了新兴的分形几何学，空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。的极大关注。严格地而且正式地去定义分形是一件非常严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。在这些定义中，最为流行的一个定义是：分在这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。了一些而已。让我们来看下面的一个例子。下图是让我们来看下面的一个例子。下图是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。那么，枝杈体相同，只是变得更加小了。那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。如果你是个有心人，你一定会发现在自如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物和都在某种程度上存在然界中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相似特性，即它们中的一个部分和它这种自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似。其实，远的整体或者其它部分都十分形似。其实，远远不止这些。从心脏的跳动、变幻莫测的天远不止这些。从心脏的跳动、变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。这正是研究分形的意义所在。例如，在道这正是研究分形的意义所在。例如，在道琼琼斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一个更长的阶段的曲线图极为相似。个更长的阶段的曲线图极为相似。上图中的风景图片又是说明分形的另一很上图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。的模型。除了自相似性以外，分行具有的另一除了自相似性以外，分行具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。上面的个普遍特征是具有无限的细致性。上面的动画所演示的是对动画所演示的是对MandelbrotMandelbrot集的放大，集的放大，只要选对位置进行放大，就会发现：无论只要选对位置进行放大，就会发现：无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。但是，注意观察上图，我们会发现：减少。但是，注意观察上图，我们会发现：每次放大的图形却并不和原来的图形完全每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似。这告诉我们：其实，分形并不要求相似。这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的自相似特性。具有完全的自相似特性。不管你信不信，上面的这张月球表面的照片不管你信不信，上面的这张月球表面的照片也是用分形技术生成的。如果你把图片放大观看，也是用分形技术生成的。如果你把图片放大观看，也可以看到更加细致的东西。因为，分形能够保也可以看到更加细致的东西。因为，分形能够保持自然物体无限细致的特性，所以，无论你怎么持自然物体无限细致的特性，所以，无论你怎么放大，最终，还是可以看见清晰的细节。放大，最终，还是可以看见清晰的细节。Kohn雪花和雪花和Sierpinski三角形也是比较三角形也是比较典型的分形图形，它们都具有严格的自相典型的分形图形，它们都具有严格的自相似特性（仔细看看，是不是这样？）。但似特性（仔细看看，是不是这样？）。但是在前面说述的是在前面说述的MandelbrotMandelbrot集合却并不严集合却并不严格自相似。所以，用格自相似。所以，用“具有自相似具有自相似”特性来特性来定义分形已经有许多局限了。定义分形已经有许多局限了。研究对象有一类问题却比较特别，Mandelbrot就提出了这样一个问题：英国的海岸线有多长？英国的海岸线地图Koch 曲线Koch 曲线（续）Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。同样的道理：长度无限、面积为零、而曲线还有“界”。另外，有一个特点：当取其中的一部分展开，与整体有完全的自相似性，似乎是一个什么东西的无数次的自我复制。LogisticLogistic集集 所谓无限嵌套的自相似结构说得通俗所谓无限嵌套的自相似结构说得通俗一些即局部与整体相似。对局部放大后的一些即局部与整体相似。对局部放大后的形象与整体形象相同或近似相同。除上面形象与整体形象相同或近似相同。除上面讲到的周期窗口外，以下一些时间或空间讲到的周期窗口外，以下一些时间或空间序列的自相似结构实例也必将有助于我们序列的自相似结构实例也必将有助于我们的理解。的理解。雪花，雪花，(2)(2)闪电，闪电，(3)(3)血管系统，血管系统，(4)(4)海海岸线，岸线，(5)(5)鹦鹉螺，鹦鹉螺，(6)(6)菜花，菜花，(7)(7)雏型村，雏型村，(8)(8)谢尔宾斯基垫片，谢尔宾斯基垫片，(9)(9)某人在看电视，某人在看电视，电视中还是某人在看电视电视中还是某人在看电视，(10)(10)布朗运动，布朗运动，(11)(11)社会经济的许多演化社会经济的许多演化过程，过程，(12)(12)一个故事：从前有座山，山上一个故事：从前有座山，山上有座庙，庙里有一个老和尚给小和尚讲故有座庙，庙里有一个老和尚给小和尚讲故事：从前有座山事：从前有座山请大家充分请大家充分发挥想像力，举更多的例子。发挥想像力，举更多的例子。具有无限嵌套的自相似结构是混沌具有无限嵌套的自相似结构是混沌现象的普遍特性。现象的普遍特性。Julia SetJulia Set:Zn+1=Zn2+C令複數 C 為一定值，將 Z 平面上任意一點代入，則 Z 平面上部分區域收斂，部分區域發散，而發散與收斂區域間的邊界，即為 Julia Set 的圖形。根据C、Z0的不同会生成不同的Julia集合混沌混沌可以说他是确定性的行为；或者，若考虑他出现在稍微有点随机性的实际系统中，也可以说他是近似与确定性的，然而却不是看起来像确定性的。在某些动力系统中，两个几乎一致的状态经过充分长的时间后会变得毫无一致性。Mandelbrot Set在复平面中，M集是通过下述迭代式产生的：Zn+1=Zn2+C。其中，Z和c都是复数，由各自的实部 和虚部组成 Xn+1+iYn+1=(Xn+iYn)2+Cx+iCy 曼德勃罗集是人类有史以来做出的最奇异曼德勃罗集是人类有史以来做出的最奇异,最瑰最瑰丽的几何图形丽的几何图形.这个点集均出自公式这个点集均出自公式:Zn+1=Z2nC,:Zn+1=Z2n+C,这这是一个迭代公式是一个迭代公式,式中的变量都是复数式中的变量都是复数.这是一个大这是一个大千世界千世界,从他出发可以产生无穷无尽美丽图案从他出发可以产生无穷无尽美丽图案,他是他是曼德勃罗教授在二十世纪七十年代发现的曼德勃罗教授在二十世纪七十年代发现的.你看上图中你看上图中,有的地方象日冕有的地方象日冕,有的地方有的地方象燃烧的火焰象燃烧的火焰,只要你计算的点足够多只要你计算的点足够多,不管不管你把图案放大多少倍你把图案放大多少倍,都能显示出更加复杂都能显示出更加复杂的局部的局部.这些局部既与整体不同这些局部既与整体不同,又有某种相又有某种相似的地方似的地方,好像着梦幻般的图案具有无穷无好像着梦幻般的图案具有无穷无尽的细节和自相似性尽的细节和自相似性.曼德勃罗教授称此为曼德勃罗教授称此为魔鬼的聚合物魔鬼的聚合物.为此为此,曼德勃罗在曼德勃罗在1988年获年获得了得了科学为艺术大奖科学为艺术大奖.请看如下的图形产请看如下的图形产生过程生过程,其中后一个图均是前一个图的某一其中后一个图均是前一个图的某一局部放大局部放大:如下是产生上图的出发点如下是产生上图的出发点自然界中的其他事物取下一片蕨类植物叶子似乎与整体有某种相似性。England的海岸线从视觉上也感觉有某种自相似性自然界中的分形山星云星云天空中的云朵植物的叶子视网膜中央动脉颞上支阻塞视乳头旁毛细血管瘤毛细血管分布河流分布图自然界中的分形股票价格曲线岩石裂缝金属损伤裂缝道路分布神经末梢的分布