分析力学二.pptx

1.2.1 动量和能量一、循环坐标与广义动量比较：拉格朗日方程 牛顿方程定义：广义动量 广义力 例子1：对在保守场中运动的单个质点，有 直角坐标系广义动量 通常的动量广义力 通常的力例子2：在重力场中长为l的单摆广义力：力矩例子3：对在有心力场中运动的质点，有 对应于广义坐标 的广义动量广义力：球坐标系质点m到轴的垂直距离：，则 质点绕轴的转动惯量于是对应于 的广义动量可写为 绕z轴的角动量由拉格朗日方程得 在有心力场中，绕任意选取轴的角动量守恒 广义动量 守恒的原因：在拉格朗日函数L中不包含对应的广义坐标 。(这只是数学形式上的原因，物理上的原因？)一般结论：如果在拉格朗日函数中不包含某一个广义坐标 ，则称这一广义坐标为循环坐标循环坐标。和循环坐标和循环坐标对应的广义动量守恒。对应的广义动量守恒。二、能量能量一般情况：显含时间变量t 例：处于随时间变化外场中的系统，其拉格朗日 函数为 L显含时间变量t 系统与外力场的源必有能量交换有能量交换，系统不是保守系系统不是保守系。对保守系保守系，L不明显含变量t，则 。拉格朗日方程定义 机械能(能量)显然 保守系统的能量守恒 在直角坐标系中，动能只是速度 的函数，不是坐标的 函数，但在广义坐标中，动能为坐标和速度的函数，即 ，则 。动能T是广义速度 的二次齐次式：例：有心力场中动能 动能T是广义速度 的二次齐次式。通常：动能都是广义速度的二次齐次式。例外：例子见P95习题12。根据齐次函数的欧拉定理，如果 是S个变量 的n次齐次式，则 由于动能T是广义速度 的二次齐次函数，则有而 所以 机械能等于动能与势能之和结论：对于保守系统，在运动过程中，机械能保持结论：对于保守系统，在运动过程中，机械能保持 不变。不变。练习题：设有齐次函数 ，试验证齐次函数的欧拉定理。三、相互作用质点系的拉格朗日函数相互作用质点系的拉格朗日函数第一章：对称性、伽利略相对性原理 自由质点的拉格朗日函数：现在：研究质点间有相互作用有相互作用的质点系的拉氏函数1.无约束情况下 若质点间无相互作用，第a个质点的拉氏函数为则系统的拉氏函数为拉格朗日函数的可加性拉格朗日函数的可加性 若质点间有相互作用，则可以在自由质点系的拉格朗日函数中加入反映相互作用性质的关于坐标的函数 (根据相互作用的性质确定)，于是得到有相互作用质点系的拉格朗日函数2.有约束情况下 系统中存在约束时，引入广义坐标笛卡尔坐标与其的关系为且有 ，于是1.2.2 守恒律与对称性的关系、角动量一、自然界中的对称性一、自然界中的对称性场离子显微镜下场离子显微镜下的针尖图形的针尖图形雪花六角形花样雪花六角形花样Xx1-x1x2-x2x3-x3镜面镜面二、有关对称性的概念 无论是艺术，还是自然科学，对称性都是重要的研究对象。对称性的概念最初来源于生活。在艺术、建筑等领域中，所谓“对称”，通常指左右对称左右对称。例如，人的外形就有近似的左和右的对称性。左右对称性就是前面图中镜像反射对称性反射对称性，它只是各种对称性中的一种。除了左右对称性之外，还有轴对称性、球对称性等。在数学和物理中对称性的概念是逐步发展的，为了讨论问题的方便，先引入一些概念。1.系统：即研究对象；2.系统的状态，同一系统可以处在不同的状态，不同的状态可以是“等价等价的”，也可以是“不等价的”。例如，右上图中的“圆+点”系统中，点在不同的地方表示系统处在不同的状态，不同状态是不等价的。如果所选择的系统不包括这一点，则不同的状态看上去没有区别，于是说这些状态是等价的；3.变换变换(操作)：把系统从一个状态变到另一状态的过程。如果一个操作使得系统从一个状态变到另一与之等价状态(状态在此操作下不变)，此时称系统对于这一操作是“对称的”，而这一操作叫做系统的一个“对称操作对称操作”。对于不选择前一页上图中那一点的圆这一系统来说，关于围绕中心旋转任意角度的操作都是对称的(旋转任意角度的操作均为圆的对称操作)。如果选择“圆+圆内一对互相垂直的直径”作为系统，则该系统的对称操作就少多了，此时转角必须是90o 的整数倍，操作才是对称的。几何学中对称性的概念：某个几何形体，如果按照某种操作规则改变一下它在空间中的位置，它的几何形体与操作前的完全重合，就说该几何形体具有某种对称性。物理学中对称性(几何学中对称性的推广对称性的推广)的含义：如果某一物理定律或某物理量在某种变换下其形式或量值保持不变，则称这种变换具有不变性或协变性不变性或协变性，或者说，这个定律或物理量对某种变换具有对称性或不变性。物理学中的对称性问题分为两类：一类是某个系统或某具体事物的对称性(例如由两个质点组成的系统具有轴对称性)；另一类是物理规律的对称性(例如牛顿运动定律对于伽利略变换具有不变性，即对称性)。三、守恒律与对称性 物理学家的信念：世界是简单而统一的。对称性就可以把物理学中那些看上去毫不相关的方面连接起来，即通过对称性，可以对自然作统一的描述。物理学中三个基本的守恒定律分别与某种对称性相联系：1.机械能守恒是由于系统具有时间平移的对称性时间平移的对称性；2.动量守恒是由于系统具有空间平移的对称性空间平移的对称性；3.角动量守恒是由于系统具有空间旋转的对称性空间旋转的对称性。通过以下内容，来分别阐明机械能守恒、动量守恒、角动量守恒在物理上更为本质的原因。已讲：能量(机械能)守恒律 守恒的原因：保守场中力学系统的拉格朗日函数不显含 时间(数学上)。深刻原因：时间的均匀性时间的均匀性四、时间的均匀性与能量守恒时间均匀性的涵义1.假定系统处于变化的外场中，时间不是均匀的。即用 不同的时刻作为计算时间的起点，所得到的运动方程 不相同；以不同的时刻作为时间轴的原点对于研究系 统的运动不等效；2.系统处于不变的外场中或不处于外场中，时间是均匀 的。即以不同时刻作为计算时间的起点对于研究系统 的运动是等效的。时间不均匀 L:显含时间t 时间均匀 L:不显含时间t 此时 则又 能量守恒能量守恒结论：能量守恒是由时间的均匀性产生的能量守恒是由时间的均匀性产生的 能量守恒深刻的物理根源能量守恒深刻的物理根源五、空间的均匀性与动量守恒空间均匀性的涵义 系统不处于外场中，空间是均匀的无论选用空间哪一点作为坐标原点来研究系统的运动都是等效的。设：一坐标系中，系统的拉格朗日为L，现将坐标系平移 一个常矢量 ，即选另一点作为坐标原点。O点与 O 点的等效性(：常矢量)后果：后果：1.系统中每个粒子的坐标改变 2.系统的拉格朗日函数改变 若：空间均匀，则又 (关心在空间平移下L的变化，不涉及时间t)(坐标平移时，速度没有改变)所以拉格朗日方程作和而 系统的总动量守恒结论：动量守恒是由空间的均匀性产生的结论：动量守恒是由空间的均匀性产生的说明说明：若系统沿某一方向平移时不改变系统的性质，则动量在该方向上的分量守恒。空间均匀：坐标系平移，L不变；时间均匀：时间轴平移，L不变。时间和空间均匀性导致：拉格朗日L在时间平移和空间平移下的不变性。对称性：系统对某种变换的不变性称为系统对这种变换 的对称性。结论：能量守恒是由于系统具有时间平移的对称性；动量守恒是由于系统具有空间平移的对称性。六、空间的各向同性与角动量守恒空间各向同性的涵义 在无外场或在有心力场中，空间的各个方向等效。系统具有转动对称性：将坐标系转动，拉格朗日不变。问题：转动对称性导致什么守恒？已知：无限小的角位移是矢量，有限角位移不是矢量。设：坐标系绕空间任取的某一轴转动一个角度 ，用 表示这一角位移。：r 与 之间的夹角r 端点绕 轴转动的半径：，则又：很小，组成的平面。考虑到 的大小、方向，有 上式对t求导交换 和 的次序(、互相独立)，有物理上：体系旋转后速度发生了改变，此改变仅仅 是由于体系的旋转引起的。注意：1.系统中所有质点速度改变的数学形式相同；2.矢径改变与速度改变的的数学形式也相同。(质点并没有发生位移)x方向与 x 方向的等效性由转动导致的L的变化拉格朗日方程若系统具有转动对称性，则即 令 系统的角动量则 系统的角动量守恒系统的角动量守恒结论：角动量守恒是由空间的各向同性产生的有时，系统并不具有完全的转动不变性，但有绕某个轴(如z轴)的转动不变性。此时，角动量L的z分量Lz守恒。球坐标系下，可对Lz的形式进行写为，具体过程为 ：广义动量 1.2.3 质点组的动量定理、质心质点组的动量定理、质心一、质点组的动量定理在此：选笛卡儿坐标系。设：力学系统N个质点，第a个质点和第b个质 点 之间的相互作用势能用 表示，它 是这两个质点之间距离的函数，即在笛卡儿坐标系中，表示为令 质点b作用于质点a上的力 质点a作用于质点b上的力则 牛顿第三定律教材P33关于 的证明：而同理，有因此，得到设：作用在质点a上的力为 ：系统内其它质点对a的内力之和；：系统外质点对a的合外力。拉格朗日方程 又 (直角坐标系)所以矢量式作和式 ：质点组的总动量；：系统所受合外力则 质点组的动量定理若不存在外场，则 ，有 不受外力作用时质点组的总动量守恒 二、质心 质心系 设质点组的的总动量为P，则 V：质点组作为一个整体的速度。由定义 为质点组的质心质心则即：质点组整体的运动速度就是质心的运动速度。定义：质心系质心系随质心一起运动的参考系且质心运动定理质心运动定理三、动量的变换 动量守恒定律与能量守恒定律的成立不依赖于惯性系的选取。但：在不同惯性系中，动量和能量所取的值不同。设：惯性系K、K，其中 K 相对K以速度V运动。：第a个质点对K、K 系的速度 ：质点组对K、K系的总动量因为所以即若则 (动量在两惯性系之 间动量的变换)四、能量的变换设：E、E 分别为质点组在K、K 系的能量，则 即当K 取为质心系时，质点组的总动量为零。朗道：若系统的动量为零，称系统相对该参考系静止。质心系中：质点组整体是静止的，但质点组中的质点 有内部运动。第53页/共55页若K 为质心系，则 其中 内能 在K系中的能量等于在质心系中的能量加上质点 组总质量附在质心上时质心在K系中的动能第54页/共55页五、角动量的变换见教材：P3637。第55页/共55页