2022年八年级数学下学期期末模拟卷7浙教版.doc

期末模拟卷〔7〕
一.选择题〔此题有10小题，每题3分，共30分〕
1．〔3分〕要使二次根式有意义，自变量x的取值范围是〔　　〕
A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4
2．〔3分〕以下 软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔　　〕
A． B． C． D．
3．〔3分〕用反证法证明命题：假设整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0〔a≠0〕有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，以下假设中正确的选项是〔　　〕
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c至多有一个是偶数
C．假设a、b、c都不是偶数
D．假设a、b、c至多有两个是偶数
4．〔3分〕平行四边形ABCD中，∠B＝4∠A，那么∠C＝〔　　〕
A．18° B．36° C．72° D．144°
5．〔3分〕关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是〔　　〕
A．k≤﹣1 B．k≤1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k≤1且k≠0
6．〔3分〕A〔1，y1〕、B〔2，y2〕、C〔﹣3，y3〕都在反比例函数y＝的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系的是〔　　〕
A．y2＞y1＞y3 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y3＞y2
7．〔3分〕用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为〔　　〕
A．〔x+1〕2＝6 B．〔x+2〕2＝9 C．〔x﹣1〕2＝6 D．〔x﹣2〕2＝9
8．〔3分〕以下命题：①在函数：y＝﹣2x﹣1；y＝3x；y＝；y＝﹣；y＝〔x＜0〕中，y随x增大而减小的有3个函数；②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；③反比例函数图象是两条无限接近坐标轴的曲线，它只是中心对称图形；④数据x1、x2、x3的方差为s2，那么数据x1+2，x3+2，x3+2的方差为s3+2．其中是真命题的个数是〔　　〕
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．〔3分〕如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，那么PK+QK的最小值为〔　　〕
A．2 B．2 C．4 D．2+2
10．〔3分〕如图，矩形纸片ABCD，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．假设限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，那么点E在BC边上可移动的最大距离为〔　　〕
A．1 B．2 C．4 D．5
二.填空题〔此题有6个小题，每题4分，共24分〕
11．〔4分〕五边形内角和的度数是　 　．
12．〔4分〕杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，那么这六个整点时气温的中位数是　 　℃．
13．〔4分〕如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，那么▱ABCD的周长为　 　．
14．〔4分〕如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如下图，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　 　米．
15．〔4分〕如图，函数y＝2x和函数y＝的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，假设△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，那么k＝　 　，满足条件的P点坐标是　 　．
16．〔4分〕如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…那么四边形A2B2C2D2的周长是　 　，四边形A2022B2022C2022D2022的周长是　 　．
三.解答题〔此题有7小题，共66分〕
17．〔6分〕计算：
〔1〕〔﹣〕2﹣+
〔2〕﹣×．
18．〔8分〕解方程：
〔1〕x2﹣3x+1＝0；
〔2〕x〔x+3〕﹣〔2x+6〕＝0．
19．〔8分〕某市篮球队到市一中选拔一名队员．教练对王亮和李刚两名同学进行5次3分投篮测试，每人每次投10个球，以下图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数．
〔1〕请你根据图中的数据，填写下表；
姓名
平均数
众数
方差
王亮

7

李刚
7

2.8
〔2〕你认为谁的成绩比拟稳定，为什么？
〔3〕假设你是教练，你打算选谁？简要说明理由．
20．〔10分〕，如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF＝DC，连结CF．
〔1〕求证：四边形ADCF是平行四边形；
〔2〕当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．
21．〔10分〕物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的根底上，三月底的销售量到达400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
〔1〕求二、三这两个月的月平均增长率；
〔2〕从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
22．〔12分〕，如图，O为正方形对角线的交点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．
〔1〕求证：△BCE≌△DCF．
〔2〕判断OG与BF有什么关系，证明你的结论．
〔3〕假设DF2＝8﹣4，求正方形ABCD的面积？
23．〔12分〕反比例函数y1＝〔x＞0，k≠0〕的图象经过点〔1，3〕，P点是直线y2＝﹣x+6上一个动点，如下图，设P点的横坐标为m，且满足﹣m+6＞，过P点分别作PB⊥x轴，PA⊥y轴，垂足分别为B，A，与双曲线分别交于D，C两点，连结OC，OD，CD．
〔1〕求k的值并结合图象求出m的取值范围；
〔2〕在P点运动过程中，求线段OC最短时，P点的坐标；
〔3〕将三角形OCD沿假设CD翻折，点O的对应点O′，得到四边形O′COD能否为菱形？假设能，求出P点坐标；假设不能，说明理由；
〔4〕在P点运动过程中使得PD＝DB，求出此时△COD的面积．
期末模拟卷〔7〕
参考答案与试题解析
一.选择题〔此题有10小题，每题3分，共30分〕
1．〔3分〕要使二次根式有意义，自变量x的取值范围是〔　　〕
A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵使二次根式有意义，
∴4﹣x≥0，解得x≤4．
应选：D．
2．〔3分〕以下 软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B选项错误；
C、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故D选项正确．
应选：D．
3．〔3分〕用反证法证明命题：假设整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0〔a≠0〕有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，以下假设中正确的选项是〔　　〕
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c至多有一个是偶数
C．假设a、b、c都不是偶数
D．假设a、b、c至多有两个是偶数
【分析】利用反证法证明的步骤，从问题的结论的反面出发否认即可．
【解答】解：∵用反证法证明：假设整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0〔a≠0〕有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数，
∴假设a、b、c都不是偶数．
应选：C．
4．〔3分〕平行四边形ABCD中，∠B＝4∠A，那么∠C＝〔　　〕
A．18° B．36° C．72° D．144°
【分析】关键平行四边形性质求出∠C＝∠A，BC∥AD，推出∠A+∠B＝180°，求出∠A的度数，即可求出∠C．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A，BC∥AD，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝4∠A，
∴∠A＝36°，
∴∠C＝∠A＝36°，
应选：B．
5．〔3分〕关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是〔　　〕
A．k≤﹣1 B．k≤1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k≤1且k≠0
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，那么△＝b2﹣4ac≥0．
【解答】解：∵a＝kb＝﹣2，c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝〔﹣2〕2﹣4×k×1＝4﹣4k≥0，k≤1，
∵k是二次项系数不能为0，k≠0，
即k≤1且k≠0．
应选：D．
6．〔3分〕A〔1，y1〕、B〔2，y2〕、C〔﹣3，y3〕都在反比例函数y＝的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系的是〔　　〕
A．y2＞y1＞y3 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y3＞y2
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征分别计算出y1、y2、y3的值，然后比拟大小即可．
【解答】解：∵A〔1，y1〕、B〔2，y2〕、C〔﹣3，y3〕都在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝2，y2＝1y3＝﹣，
∴y1＞y2＞y3．
应选：B．
7．〔3分〕用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为〔　　〕
A．〔x+1〕2＝6 B．〔x+2〕2＝9 C．〔x﹣1〕2＝6 D．〔x﹣2〕2＝9
【分析】配方法的一般步骤：
〔1〕把常数项移到等号的右边；
〔2〕把二次项的系数化为1；
〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣2x＝5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1＝6
∴〔x﹣1〕2＝6．
应选：C．
8．〔3分〕以下命题：①在函数：y＝﹣2x﹣1；y＝3x；y＝；y＝﹣；y＝〔x＜0〕中，y随x增大而减小的有3个函数；②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；③反比例函数图象是两条无限接近坐标轴的曲线，它只是中心对称图形；④数据x1、x2、x3的方差为s2，那么数据x1+2，x3+2，x3+2的方差为s3+2．其中是真命题的个数是〔　　〕
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一次函数与反比例函数的性质对①进行判断；根据正方形的判定方法对②进行判断；根据反比例函数图象的对称性对③进行判断；根据方差的意义对④进行判断．
【解答】解：在函数：y＝﹣2x﹣1；y＝3x；y＝；y＝﹣；y＝〔x＜0〕中，y随x增大而减小的有2个函数，所以①错误；

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以②正确；
反比例函数图象是两条无限接近坐标轴的曲线，它是中心对称图形，也是轴对称图形，所以③错误；
数据x1、x2、x3的方差为s2，那么数据x1+2，x3+2，x3+2的方差也为s2，所以④错误．
应选：A．
9．〔3分〕如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，那么PK+QK的最小值为〔　　〕
A．2 B．2 C．4 D．2+2
【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时，PK+QK的最小值，然后求解即可．
【解答】解：作点P关于BD的对称点P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，
∵AB＝4，∠A＝120°，
∴点P′到CD的距离为4×＝2，
∴PK+QK的最小值为2，
应选：B．
10．〔3分〕如图，矩形纸片ABCD，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．假设限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，那么点E在BC边上可移动的最大距离为〔　　〕
A．1 B．2 C．4 D．5
【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点A′到达最左边，当点P与点B重合时，点A′到达最右边，所以点A′就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时A′B的长度，然后两数相减就是最大距离．
【解答】解：如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得
ED＝AD＝5，
在Rt△ECD中，ED2＝EC2+CD2，
即52＝〔5﹣EB〕2+32，
解得EB＝1，
如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得EB＝AB＝3，
∵3﹣1＝2，
∴点E在BC边上可移动的最大距离为2．
应选：B．
二.填空题〔此题有6个小题，每题4分，共24分〕
11．〔4分〕五边形内角和的度数是　540°　．
【分析】根据n边形的内角和公式：180°〔n﹣2〕，将n＝5代入即可求得答案．
【解答】解：五边形的内角和的度数为：180°×〔5﹣2〕＝180°×3＝540°．
故答案为：540°．
12．〔4分〕杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，那么这六个整点时气温的中位数是　15.6　℃．
【分析】根据中位数的定义解答．将这组数据从小到大重新排列，求出最中间两个数的平均数即可．
【解答】解：把这些数从小到大排列为：4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1，
最中间的两个数的平均数是〔15.3+15.9〕÷2＝15.6〔℃〕，
那么这六个整点时气温的中位数是15.6℃．
故答案为：15.6．
13．〔4分〕如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，那么▱ABCD的周长为　18　．
【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE＝DE＝AB，再求出▱ABCD的周长．
【解答】解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，
∴∠ECD＝∠ECB，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DEC＝∠ECB，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∵AD＝2AB，
∴AD＝2CD，
∴AE＝DE＝AB＝3，
∴▱ABCD的周长为：2×〔3+6〕＝18．
故答案为：18．
14．〔4分〕如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如下图，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　1　米．
【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．
【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得〔30﹣2x〕〔20﹣x〕＝532，
整理，得x2﹣35x+34＝0．
解得，x1＝1，x2＝34．
∵34＞30〔不合题意，舍去〕，
∴x＝1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
故答案为：1．
15．〔4分〕如图，函数y＝2x和函数y＝的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，假设△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，那么k＝　8　，满足条件的P点坐标是　〔0，﹣4〕或〔﹣4，﹣4〕或〔4，4〕　．
【分析】先求出B、O、E的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P点的坐标．
【解答】解：如图∵△AOE的面积为4，函数y＝的图象过一、三象限，
∴S△AOE＝•OE•AE＝4，
∴OE•AE＝8，
∴xy＝8，
∴k＝8，
∵函数y＝2x和函数y＝的图象交于A、B两点，
∴2x＝，
∴x＝±2，
当x＝2时，y＝4，当x＝﹣2时，y＝﹣4，
∴A、B两点的坐标是：〔2，4〕〔﹣2，﹣4〕，
∵以点B、OE、P为顶点的平行四边形共有3个，
∴满足条件的P点有3个，分别为：
P1〔0，﹣4〕，P2〔﹣4，﹣4〕，P3〔4，4〕．
故答案为：〔0，﹣4〕或〔﹣4，﹣4〕或〔4，4〕．
16．〔4分〕如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…那么四边形A2B2C2D2的周长是　20　，四边形A2022B2022C2022D2022的周长是　　．
【分析】根据菱形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长，得出规律求出即可．
【解答】解：∵菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，
∴△AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形，
∴A1D1＝5，C1D1＝AC＝5，A2B2＝C2D2＝C2B2＝A2D2＝5，
∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4＝20，
同理可得出：A3D3＝5×，C3D3＝C1D1＝×5，
A5D5＝5×〔〕2，C5D5＝C3D3＝〔〕2×5，
…
∴四边形A2022B2022C2022D2022的周长是：，
故答案为：20；．
三.解答题〔此题有7小题，共66分〕
17．〔6分〕计算：
〔1〕〔﹣〕2﹣+
〔2〕﹣×．
【分析】〔1〕先根据二次根式的性质化简，然后合并即可；
〔2〕先根据二次根式的乘除法那么运算，然后合并即可．
【解答】解：〔1〕原式＝6﹣5+3
＝4；
〔2〕原式＝﹣2
＝2﹣6
＝﹣4．
18．〔8分〕解方程：
〔1〕x2﹣3x+1＝0；
〔2〕x〔x+3〕﹣〔2x+6〕＝0．
【分析】〔1〕直接利用公式法求出x的值即可；
〔2〕先把原方程进行因式分解，再求出x的值即可．
【解答】解：〔1〕∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0中，a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝〔﹣3〕2﹣4×1×1＝5．
∴x＝＝＝．
即x1＝，x2＝；
〔2〕∵因式分解得 〔x+3〕〔x﹣2〕＝0，
∴x+3＝0或x﹣2＝0，
解得 x1＝﹣3，x2＝2．
19．〔8分〕某市篮球队到市一中选拔一名队员．教练对王亮和李刚两名同学进行5次3分投篮测试，每人每次投10个球，以下图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数．
〔1〕请你根据图中的数据，填写下表；
姓名
平均数
众数
方差
王亮

7

李刚
7

2.8
〔2〕你认为谁的成绩比拟稳定，为什么？
〔3〕假设你是教练，你打算选谁？简要说明理由．
【分析】〔1〕根据平均数的定义，计算5次投篮成绩之和与5的商即为王亮每次投篮平均数，再根据方差公式计算王亮的投篮次数的方差；根据众数定义，李刚投篮出现次数最多的成绩即为其众数；
〔2〕方差越小，乘积越稳定．
〔3〕从平均数、众数、方差等不同角度分析，可得不同结果，关键是看参赛的需要．
【解答】解：〔1〕王亮5次投篮的平均数为：〔6+7+8+7+7〕÷5＝7个，
王亮的方差为：S2＝[〔6﹣7〕2+〔7﹣7〕2+…+〔7﹣7〕2]＝0.4个．
李刚5次投篮中，有1次投中4个，2次投中7个，1次投中8个，1次投中9个，故7为众数；
姓名
平均数
众数
方差
王亮
7
7
0.4
李刚
7
7
28
〔2〕两人的平均数、众数相同，从方差上看，王亮投篮成绩的方差小于李刚投篮成绩的方差．所以王亮的成绩较稳定．
〔3〕选王亮的理由是成绩较稳定，选李刚的理由是他具有开展潜力，李刚越到后面投中数越多．
20．〔10分〕，如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF＝DC，连结CF．
〔1〕求证：四边形ADCF是平行四边形；
〔2〕当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．
【分析】〔1〕根据平行四边形的判定定理得出即可；
〔2〕可证△AFE≌△DBE，得出AF＝BD，进而根据AF＝DC，得出D是BC中点的结论，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，那么四边形ADCF是矩形．
【解答】〔1〕证明：∵AF∥CD，AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形；
〔2〕解：当AB＝AC时，四边形ADCF为矩形，
理由是：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE．
∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠BDE，∠AFE＝∠DBE．
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE〔AAS〕．
∴AF＝BD．
∵AF＝DC，
∴BD＝DC．
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC即∠ADC＝90°．
∴平行四边形ADCF是矩形，
即当AB＝AC时，四边形ADCF为矩形．
21．〔10分〕物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的根底上，三月底的销售量到达400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
〔1〕求二、三这两个月的月平均增长率；
〔2〕从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
【分析】〔1〕由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，那么二月份的销售量为：256〔1+x〕；三月份的销售量为：256〔1+x〕〔1+x〕，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
〔2〕利用销量×每件商品的利润＝4250求出即可．
【解答】解：〔1〕设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256〔1+x〕2＝400，
解得：x1＝，x2＝﹣〔不合题意舍去〕．
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
〔2〕设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
〔40﹣25﹣m〕〔400+5m〕＝4250，
解得：m1＝5，m2＝﹣70〔不合题意舍去〕．
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
22．〔12分〕，如图，O为正方形对角线的交点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．
〔1〕求证：△BCE≌△DCF．
〔2〕判断OG与BF有什么关系，证明你的结论．
〔3〕假设DF2＝8﹣4，求正方形ABCD的面积？
【分析】〔1〕利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；
〔2〕首先先判断出DG＝FG，从而得到OG是△DBF的中位线，即可得出答案；
〔3〕设BC＝x，那么DC＝x，BD＝x，由△BGD≌△BGF，得出BF＝BD，CF＝〔﹣1〕x，利用勾股定理DF2＝DC2+CF2，解得x2＝2，即正方形ABCD的面积是2．
【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF〔SAS〕；
〔2〕OG∥BF且OG＝BF，
理由：如图，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠2＝∠3＝∠CBD＝22.5°，
由〔1〕知，△BCE≌△DCF，
∴∠CDF＝∠3＝22.5°，
∴∠BDF＝∠CDB+∠CDF＝67.5°，
∴∠F＝180°﹣∠CBD﹣∠BDF＝67.5°＝∠BDF，
∴BD＝BF，
而BE是∠CBD的平分线，
∴DG＝GF，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴DO＝OB，
∴OG是△DBF的中位线，
∴OG∥BF且OG＝BF；
〔3〕设BC＝x，那么DC＝x，BD＝x，由〔2〕知△BGD≌△BGF，
∴BF＝BD，
∴CF＝〔﹣1〕x，
∵DF2＝DC2+CF2，
∴x2+[〔﹣1〕x]2＝8﹣4，解得x2＝2，
∴正方形ABCD的面积是2．
23．〔12分〕反比例函数y1＝〔x＞0，k≠0〕的图象经过点〔1，3〕，P点是直线y2＝﹣x+6上一个动点，如下图，设P点的横坐标为m，且满足﹣m+6＞，过P点分别作PB⊥x轴，PA⊥y轴，垂足分别为B，A，与双曲线分别交于D，C两点，连结OC，OD，CD．
〔1〕求k的值并结合图象求出m的取值范围；
〔2〕在P点运动过程中，求线段OC最短时，P点的坐标；
〔3〕将三角形OCD沿假设CD翻折，点O的对应点O′，得到四边形O′COD能否为菱形？假设能，求出P点坐标；假设不能，说明理由；
〔4〕在P点运动过程中使得PD＝DB，求出此时△COD的面积．
【分析】〔1〕先把〔1，3〕代入y1＝求出k的值，再由两函数有交点求出m的值，根据函数图象即可得出结论；
〔2〕根据线段OC最短可知OC为∠AOB的平分线，对于y1＝，令x＝y1，即可得出C点坐标，把y＝代入y＝﹣x+6中求出x的值即可得出P点坐标；
〔3〕当OC＝OD时，四边形O′COD为菱形，由对称性得到△AOC≌△BOD，即OA＝OB，由此时P横纵坐标相等且在直线y＝﹣x+6上即可得出结论．
〔4〕设B〔m，0〕，那么D〔m，〕，P〔m，﹣m+6〕，根据PD＝DB，构建方程求出m，即可解决问题．
【解答】解：〔1〕∴反比例函数y1＝〔x＞0，k≠0〕的图象进过点〔1，3〕，
∴把〔1，3〕代入y1＝，解得k＝3，
∵＝﹣m+6，
∴m＝3±，
∴由图象得：3﹣＜m＜3+；
〔2〕∵线段OC最短时，
∴OC为∠AOB的平分线，
∵对于y1＝，令x＝y1，
∴x＝，即C〔，〕，
∴把y＝代入y＝﹣x+6中，得：x＝6﹣，即P〔6﹣，〕；
〔3〕四边形O′COD能为菱形，
∵当OC＝OD时，四边形O′COD为菱形，
∴由对称性得到△AOC≌△BOD，即OA＝OB，
∴此时P横纵坐标相等且在直线y＝﹣x+6上，即x＝﹣x+6，解得：x＝3，即P〔3，3〕．
〔4〕设B〔m，0〕，那么D〔m，〕，P〔m，﹣m+6〕，
∵PD＝DB，
∴＝﹣m+6﹣，
解得：m＝3+或3﹣〔舍弃〕，
∴B〔3+，0〕，D〔3+，〕，p〔3+，3﹣〕，c〔，3﹣〕，
∴s△COD＝〔3+〕〔3﹣〕﹣×〔〕〔3﹣〕﹣×〔3+〕×﹣××＝．