1、
课时分层作业(十七)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
[解析] z1－z2＝y＋xi－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，
∴∴x＝y＝1．
∴xy＝1．
[答案] A
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，在复平面内z1－
2、z2对应点的坐标为(5，－7)，位于第四象限．
[答案] D
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
[解析] 在平行四边形ABCD中，＝B＝－＝3＋i－(－1＋3i)＝4－2i，故选D.
[答案] D
4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[解析] 复数z1对应向量，复数
3、z2对应向量.
则|z1＋z2|＝|＋|，|z1－z2|＝|－|，
依题意有|＋|＝|－|.
∴以，为邻边所作的平行四边形是矩形．
∴△AOB是直角三角形．
[答案] B
5．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝( )
A．0 B．6i
C．6 D．6－6i
[解析] ∵z＋3i－3＝3－3i，
∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.
[答案] D
二、填空题
6．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为________个．
[解析] 依题意设z＝5＋bi，则|z|＝，
而|4－3i|＝＝5，
所以＝5，即b＝0.
[答案] 1
7．已
4、知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝__________，z2＝__________.
[解析] z＝z1－z2
＝－
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
∴解得
∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
[答案] 5－9i －8－7i
8．已知z1＝2－2i，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．
[解析] 如图所示，因为|z|＝1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为原点的圆，而z1对应坐标系中的点为(2，－2)，所以|z－z1|的最大
5、值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|的最大值为2＋1．
[答案] 2＋1
三、解答题
9．如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)向量对应的复数；
(2)向量对应的复数；
(3)向量对应的复数．
[解] (1)因为＝－，所以向量对应的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z
6、2.
[解] ∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，
∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，
∴解得
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
[能力提升练]
1．如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么( )
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
[解析] 由题图可知，＋Q＝0，∴＋－＝0，
∴z1＋z2－z3＝0.
[答案] D
2．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为(
7、 )
A．2 B．4
C．4 D．16
[解析] 由|z－4i|＝|z＋2|，得
|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
[答案] C
3．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，
则f(z1＋z2)＝__________.
[解析] ∵z1＋z2＝－2＋4i＋5－i＝3＋3i，
∴f(z1＋z2)＝(3＋3i)－3i＋|3＋3i|
＝3＋＝3＋3.
[答案] 3＋3
4．已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数．
[解] 因为＝，所以zA－zB＝zD－zC，
所以zD＝zA－zB＋zC＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i.
即点D对应的复数为1－7i，如图①.
用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.
图②中点D对应的复数为3＋7i，
图③中点D对应的复数为－11＋3i.
故点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i.
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