2022-2022学年高中数学课时跟踪检测八直线与平面垂直的判定北师大版必修.doc

课时跟踪检测〔八〕 直线与平面垂直的判定
一、根本能力达标
1．假设直线a⊥平面α，b∥α，那么a与b的关系是(　　)
A．a⊥b，且a与b相交
B．a⊥b，且a与b不相交
C．a⊥b
D．a与b不一定垂直
解析：选C　过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，那么b∥c.因为直线a⊥平面α，cα，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直，应选C.
2．m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是(　　)
A．α∥β，且m⊂α　　　 B．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n⊂β D．m⊥n，且n∥β
解析：选B　A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意，应选B.
3.如图，点A∈α，点B∈α，点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，那么动点C在平面α内的轨迹是(　　)
A．一条线段，但要去掉两个点
B．一个圆，但要去掉两个点
C．两条平行直线
D．半圆，但要去掉两个点
解析：选B　连接BC，AB(图略)，因为PC⊥AC，PB⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．
4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
解析：选C　∵BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC平面ABC，∴l⊥AC.
5．给出以下条件(其中l为直线，α为平面)：
①l垂直于α内的一五边形的两条边；
②l垂直于α内三条不都平行的直线；
③l垂直于α内无数条直线；
④l垂直于α内正六边形的三条边．
其中能够推出l⊥α的条件的所有序号是(　　)
A．② B．①③
C．②④ D．③
解析：选C　如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．①③都有可能垂直的是平面α内的平行直线，不能推出l⊥α.应选②④.
6．在三棱锥V­ABC中，当三条侧棱VA，VB，VC之间满足条件________时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的条件即可)
解析：只要VC⊥平面VAB，即有VC⊥AB；故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可．
答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可)
7．如下图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，那么在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有_____
(2)与AP垂直的直线有________．
解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以与PC垂直的直线有AB，AC，BC.
(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC.又AP平面PAC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC　(2)BC
8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，那么P到BC的距离是________．
解析：如下图，作PD⊥BC于D，连接AD.
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC.
又PD∩PA＝P，
∴CB⊥平面PAD，
∴AD⊥BC.

在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4.
答案：4
9．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.
证明：如图，连接PE，EC，
在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，
∴PE＝CE，
即△PEC是等腰三角形．
又F是PC的中点，
∴EF⊥PC.
又BP＝＝2＝BC，F是PC的中点，
∴BF⊥PC.
又BF∩EF＝F，
∴PC⊥平面BEF.
10．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中．
求证：BD1⊥平面AB1C.
证明：连接BD，那么BD⊥AC.
又∵DD1⊥平面ABCD，
AC平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又DD1∩BD＝D，
∴AC⊥平面BDD1.
∵BD1平面BDD1，
∴AC⊥BD1.
同理B1C⊥BD1.
又AC∩B1C＝C, ∴BD1⊥平面AB1C.
二、综合能力提升
1．直线l⊥平面α，直线mα，那么l与m不可能(　　)
A．平行　　　　　　　 B．相交
C．异面 D．垂直
解析：选A　∵直线l⊥平面α，∴l与α相交．
又∵mα，∴l与m相交或异面．
由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.
故l与m不可能平行．
2．假设PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，那么以下关系不正确的选项是(　　)
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
解析：选C　由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，可知PA⊥BC，故排除A.由题意可知BC⊥AC，PA⊥BC.因为PA平面PAC，AC平面PAC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，故排除B.结合选项B，根据直线与平面垂直的定义知BC⊥PC，故排除D.应选C.
3.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，那么(　　)
A．AD1⊥B1E
B．AD1∥B1E
C．AD1与B1E共面
D．以上都不对
解析：选A　连接A1D，那么由正方形的性质，知AD1⊥A1D.因为B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，又A1D∩B1A1＝A1，所以AD1⊥平面A1B1ED.又B1E平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E，应选A.
4．两条直线m，n，两个平面α，β，给出以下四个命题：
①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，mα，nβ⇒m∥n；
③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.
其中正确命题的序号是(　　)
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
解析：选C　①正确；对于②，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，也可能异面，因此②是错误的；对于③，直线n也可能位于平面α内，因此③是错误的；对于④，由m⊥α且α∥β，得m⊥β，又m∥n，故n⊥β，因此④是正确的．
5．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出以下命题：
①假设l⊥α，那么l与α相交；
②假设mα，nα，l⊥m，l⊥n，那么l⊥α；
③假设l∥m，m∥n，l⊥α，那么n⊥α；
④假设l∥m，m⊥α，n⊥α，那么l∥n.
其中正确命题的序号为________．
解析：①显然正确；对②，只有当m，n相交时，才有l⊥α，故②错误；对③，由l∥m，m∥n⇒l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正确；对④，由l∥m，m⊥α⇒l⊥α，再由n⊥α⇒l∥n，故④正确．
答案：①③④
6．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，那么直线AM与直线BC的位置关系为________．
解析：∵AA1⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥AA1.
∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB.
又AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面AA1B1B.
又AM平面AA1B1B，
∴AM⊥BC.
答案：垂直
7．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.
求证：AN⊥平面PBM.
证明：设圆O所在的平面为α，
∵PA⊥α，且BMα，
∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM，而AN平面PAM，
∴BM⊥AN.
∴AN与PM，BM两条相交直线互相垂直．
故AN⊥平面PBM.
探究应用题
8.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D.求证：
(1)A1E∥平面ADC1；
(2)EF⊥平面ADC1.
证明：(1)连接ED.因为D，E分别为BC，B1C1的中点，
所以B1E∥BD且B1E＝BD，

所以四边形B1BDE是平行四边形，
所以BB1∥DE且BB1＝DE.
又因为BB1∥AA1且BB1＝AA1，
所以AA1∥DE且AA1＝DE，
所以四边形AA1ED是平行四边形，所以A1E∥AD.
又因为A1E平面ADC1，AD平面ADC1，
所以A1E∥平面ADC1.
(2)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，
BB1⊥平面ABC，AD平面ABC，
所以AD⊥BB1.
又因为△ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD⊥BC.
又因为BB1平面B1BCC1，BC平面B1BCC1，BB1∩BC＝B，
所以AD⊥平面B1BCC1.
又因为EF平面B1BCC1，所以AD⊥EF.
又因为EF⊥C1D，C1D平面ADC1，AD平面ADC1，
C1D∩AD＝D，所以EF⊥平面ADC1.
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