2022-2022学年高中数学人教A版必修一学案：2.1.1-指数与指数幂的运算-Word版含解析.doc

2.1.1指数与指数幂的运算课标要点课标要点学考要求高考要求1.根式的意义aa2.分数指数幂的意义bb3.无理数指数幂的意义aa4.有理数指数幂的运算性质cc知识导图学法指导1.弄清()n与的区别，掌握n次根式的运算2能够利用a进行根式与分数指数幂的互化3通过对根指数n的讨论学会运用分类讨论的思想方法4利用整体代换的思想求代数式的值.知识点一n次方根及根式的概念1a的n次方根的定义如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.根式的概念中要求n1，且nN*.2a的n次方根的表示(1)当n是奇数时，a的n次方根表示为，aR.(2)当n是偶数时，a的n次方根表示为，其中表示a的负的n次方根，a0，)3根式式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数,知识点二根式的性质(1)()na(nR，且n1)；(2)()n中当n为奇数时，aR；n为偶数时，a0，而中aR.知识点三分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质1分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：a(a0，m，nN*，且n1)负分数指数幂规定：a(a0，m，nN*，且n1)性质0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义2.有理数指数幂的运算性质(1)arasars；(2)(ar)sars；(3)(ab)rarbr.3无理数指数幂无理数指数幂a(a0，是无理数)是一个无理数有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用 小试身手1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)任意实数的奇次方根只有一个()(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数()(3) 4.()(4)分数指数幂a可以理解为个a相乘()(5)0的任何指数幂都等于0.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2b43(b0)，则b等于()A34B3C43D35解析：因为b43(b0)，b3.答案：B3下列各式正确的是()A.3 B.aC()32 D.2解析：由于3，|a|，2，故选项A，B，D错误，故选C.答案：C4.的值是_解析：.答案：,类型一利用根式的性质化简求值,例1(1)下列各式正确的是()A.aBa01 C. 4D. 5(2)计算下列各式： _. _. _.【解析】(1)由于则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a0.(2) a. 3. .【答案】(1)D(2)a3首先确定式子中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果方法归纳根式化简或求值的策略(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论跟踪训练1求下列各式的值：(1) ； (2) ；(3) ； (4) .解析：(1) 2；(2) ；(3) |3|3；(4)原式 yx|xy|yx.当xy时，原式xyyx0；当xy时，原式yxyx2(yx)所以原式(4)由根式被开方数正负讨论xy，x0)化为根式为_；(2)化简：(a2)()_.(用分数指数幂表示)；(3)将下列根式与分数指数幂进行互化a3； (a0，b0)【解析】(1)a(2)(a2)()(a2a)(aa)aaaa【答案】(1)(2)a(3)a3a3aaa. ab.利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂方法归纳根式与分数指数幂互化的方法及思路(1)方法：根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出,跟踪训练2下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A(x) (x0)B.y (y0) Dx(x0)解析：x (x0)；(y2)y (y0)；x(x0)答案：CA：先把x再加上.B：注意y0，b0)解析：(1)原式121091221027291019.(2)原式40.1228.先把根式化为分数指数幂再运用指数幂的运算法则计算基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1将化为分数指数幂，其形式是()A2B2C2 D2解析：(2)(22)(2)2.答案：B2若a (a2)0有意义，则a的取值范围是()Aa0 Ba2Ca2 Da0且a2解析：要使原式有意义，只需，a0且a2.答案：D3化简的结果是()A B.C D.解析：依题意知x0)的值是()A1 BaCa Da解析：原式aa.答案：D5化简()4()4的结果是()Aa16 Ba8Ca4 Da2解析：()4()4()()(a)(a)aaa4.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6.2(1)0160.75_.解析：2(1)0160.751161(24) 187答案：77化简_.解析：原式ab.答案：8若10x2,10y3，则10_.解析：由10x2,10y3，得10(10x)2，102y(10y)232，10.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9用分数指数幂的形式表示下列各式(a0，b0)：(1)a2；(2)；(3)()2；(4).解析：(1)原式a2aaa.(2)原式aaaa.(3)原式(a)2(ab3) aababab.(4)原式a2aaa.10计算下列各式：(1)0.0640(2)3160.75；(2) (9.6)0(1.5)2；(3) 0.00210(2)1()0.解析：(1)原式0.411(2)4231.(2)原式12122.(3)原式(1) 150010(2)11010201.能力提升(20分钟，40分)11化简的结果是()A. BC. D解析：由题意可知a0，则(a)a(a) (a) (a).答案：B12若 0，则(x2019)y_.解析：因为0，所以|x1|y3|0，所以x1，y3.(x2019)y(1)20193(1)31.答案：113将下列根式化为分数指数幂的形式：(1)m2(m0)；(2) (m0)；(3) (a0，b0)；(4) (x0，y0)解析：(1)m2m2mmm.(2) (m)m.(3)原式ab3(ab5) aab3(b5) (ab)ab.(4)方法一从外向里化为分数指数幂y.方法二从里向外化为分数指数幂 y.14已知aa，求下列各式的值：(1)aa1；(2)a2a2；(3)a2a2.解析：(1)将aa两边平方，得aa125，则aa13.(2)由aa13两边平方，得a2a229，则a2a27.(3)设ya2a2，两边平方，得y2a4a42(a2a2)2472445，所以y3，即a2a23.