2022-2022学年高中数学课时作业13椭圆的参数方程北师大版选修4-.doc

课时作业(十三)
1．参数方程(φ为参数)表示的曲线是(　　)
A．以(±，0)为焦点的椭圆 B．以(±4，0)为焦点的椭圆
C．离心率为的椭圆 D．离心率为的椭圆
答案　A
解析　⇒
平方相加，得＋＝1，∴c2＝16－9＝7.
∴c＝，∴焦点为(±，0)．
2．椭圆x2＋4y2＝1的参数方程为(φ为参数)(　　)
A.　　　　　 B.
C. D.
答案　B
3．曲线C：(φ为参数)的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由得
∴＋＝cos2φ＋sin2φ＝1.
∴方程的曲线为椭圆，由a2＝9，b2＝5，得c2＝4.
∴离心率e＝＝.
4．设O是椭圆的中心，P是椭圆上对应于φ＝的点，那么直线OP的斜率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　当φ＝时，x＝3cos＝，y＝2sin＝1，
∴kOP＝＝＝.
5．曲线C1：与C2：(0≤θ≤π)的交点对应的θ值为(　　)
A.或 B.或
C．0或 D.或
答案　D
解析　根据题意有
∴(sinθ－1)＝cosθ，∴sinθ－cosθ＝.
∴2sin(θ－)＝，∴sin(θ－)＝.
∵0≤θ≤π，∴θ＝或.
6．椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－4＝0的距离最小值为(　　)
A. B.
C. D．0
答案　A
解析　设椭圆上任意一点P(3cosθ，2sinθ)，
由点到直线距离公式，得
d＝＝.
∴dmin＝＝.
7．点P是椭圆(θ为参数)上一点，点O是坐标原点，OP倾斜角为，那么|OP|等于(　　)
A. B．2
C. D．2
答案　C
解析　设P点坐标为(4cosθ，2sinθ)，∵OP的倾斜角为，∴4cosθ＝|OP|·cos，2sinθ＝|OP|·sin，∴|OP|＝.
8．定点(2a，0)和椭圆(θ为参数)上各点连线段的中点轨迹方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　A
解析　设中点坐标为(x，y)，椭圆上任意一点坐标为(acosθ，bsinθ)，∴消去θ，得＋＝1，应选A.
9．椭圆(φ为参数)内接正方形的面积是________．
答案　
解析　设内接正方形在第一象限的顶点为(4cosφ，3sinφ)，
∴4cosφ＝3sinφ，∴tanφ＝.∴sinφ＝，cosφ＝.
S＝4·4cosφ·3sinφ＝48··＝.
10．点P是曲线(φ为参数，0≤φ≤π)上一点，O为坐标原点，直线PO的倾斜角为，那么P点坐标是________．
答案　(，)
解析　将曲线化为普通方程，得＋＝1.
因为直线OP的倾斜角为，所以其斜率为1.
那么直线OP的方程为y＝x，联立方程组解得x＝y＝，即P点坐标为(，)．
11．P(x，y)是曲线＋＝1上的动点，那么x＋y的最大值是________．
答案　5
解析　令(θ为参数)，
那么x＋y＝4cosθ＋3sinθ＝5sin(θ＋φ)，
∴最大值为5.
12．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，那么C1与C2的交点个数为________．
答案　2
解析　此题考查了参数方程与极坐标知识．
由题意知C1方程为＋＝1，表示椭圆；而C2方程即ρcosθ－ρsinθ＋1＝0表示直线x－y＋1＝0，由C1和C2方程联立，得消去y，得7x2＋8x－8＝0，由Δ＝64＋4×7×8>0知曲线C1与曲线C2有两个交点．
13．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆(0≤θ≤2π)恒有公共点，那么b的取值范围是________．
答案　[－2，2]
解析　将(2cosθ，4sinθ)代入y＝x＋b，得
4sinθ＝2cosθ＋b.
∵恒有公共点，∴以上方程有解．
令f(θ)＝4sinθ－2cosθ＝2sin(θ＋φ)．
∴－2≤f(θ)≤2.∴－2≤b≤2.
14．在椭圆＋＝1上找一点，使这一点到直线x－2y－12＝0的距离最小．
解析　设椭圆的参数方程为
椭圆上的任意一点(x，y)到直线x－2y－12＝0的距离为
d＝＝|cosθ－sinθ－3|
＝|2cos(θ＋)－3|，
当cos(θ＋)＝1时，dmin＝，此时所求点为(2，－3)．
15．在平面直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为(θ为参数)，定点A(0，－)，F1，F2是圆锥曲线C的左、右焦点．
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；
(2)设(1)中直线l与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|·|F1N|.
解析　(1)圆锥曲线C的参数方程为(θ为参数)，
∴普通方程为＋＝1.
∵A(0，－)，F2(1，0)，F1(－1，0)，
∴kAF2＝，l：y＝(x＋1)，
∴直线l的极坐标方程为
ρsinθ＝ρcosθ＋⇒2ρsin(θ－)＝.
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，
代入椭圆方程，得5t2－4t－12＝0，
∴t1t2＝－，∴|F1M|·|F1N|＝|t1t2|＝.
1．当参数θ变化时，由点P(2cosθ，3sinθ)所确定的曲线过点(　　)
A．(2，3) B．(1，5)
C．(0，) D．(2，0)
答案　D
解析　当2cosθ＝2，即cosθ＝1时，3sinθ＝0.
2．把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为参数方程是______．
答案　(φ为参数)
解析　把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为＋＝1，那么b＝2，a＝3，其参数方程为(φ为参数)．
3．参数方程(θ为参数)和极坐标方程ρ＝4sinθ所表示的图形分别是________．
答案　椭圆和圆
解析　把参数方程化为普通方程是＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆；把极坐标方程ρ＝4sinθ两边都乘ρ，得ρ2＝4ρsinθ，化为直角坐标方程是x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，表示圆心在(0，2)的圆．
4．(2022·新课标全国)曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C1上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)．
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
解析　(1)由可得
A(2cos，2sin)，
B(2cos(＋)，2sin(＋))，
C(2cos(＋π)，2sin(＋π))，
D(2cos(＋)，2sin(＋))，
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．
(2)设P(2cosφ，3sinφ)，
令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，那么
S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32，52]．
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