黑龙江省双鸭山一中2021届高三数学上学期期末试卷文含解析.doc

2015-2016学年黑龙江省双鸭山一中高三（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．已知集合A={x|3x+x2＞0}，B={x|﹣4＜x＜﹣1}，则（　　）
A．A∩B={x|﹣4＜x＜﹣3} B．A∪B=R
C．B⊆A D．A⊆B

2．若复数z满足（1﹣i）z=|3﹣4i|，则z的实部为（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．

3．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6

5．等差数列an中，已知前15项的和S15=90，则a8等于（　　）
A． B．12 C． D．6

6．执行如图所示的程序框图，若输出S=15，则框图中①处可以填入 （　　）

A．n≥4？ B．n≥8？ C．n≥16？ D．n＜16？

7．将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是（　　）
A．y=sin4x B．y=sinx C．y=sin（4x﹣） D．y=sin（x﹣）

8．设x，y满足，则z=x+y（　　）
A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值

9．若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A．＞ B． +≤1 C．≥2 D．≤

10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

11．已知双曲线C：﹣=1，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B 两点且=3，则双曲线离心率的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．2

12．已知函数f（x）=x3﹣tx2+3x，若对于任意的a∈[1，2]，b∈（2，3]，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，则实数t的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，5] C．[3，+∞） D．[5，+∞）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．定义已知a=30.3，b=0.33，c=log30.3，则（a*b）*c=　　　　　　（结果用a，b，c表示．

14．在△ABC中，若b=2，c=1，tanB=2，则a=　　　　　　．

15．已知，，点C在∠AOB内，∠AOC=45°，设，则=　　　　　　．

16．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：
①f（x）是周期函数；
②f（x）关于直线x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（x）在[1，2]上是减函数；
⑤f（2）=f（0），
其中正确的序号是　　　　　　．

三解答题（.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＞﹣．

18．一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表
学生 A1 A2 A3 A4 A5
数学 89 91 93 95 97
物理 87 89 89 92 93
（1）要在这五名学生中选2名参加一项活动，求选中的同学中至少有一人的物理成绩高于90分的概率．
（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求出这些数据的线性回归直线方程．
参考公式回归直线的方程是：y=bx+a，
其中对应的回归估计值．b=，a=﹣b．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为为AB和PD中点．
（1）求证：直线AF∥平面PEC；
（2）求三棱锥P﹣BEF的表面积．

20．已知椭圆C的标准方程为： +=1（a＞b＞0），该椭圆经过点P（1，），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆： +=1（a＞b＞0）长轴上任意一点S（s，0），（﹣a＜s＜a）作两条互相垂直的弦AB、CD．若弦AB、CD的中点分别为M、N，证明：直线MN恒过定点．

21．设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）当b=时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）当b＜时，求函数f（x）的极值点
（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．已知：如图，BC是半圆O的直径，D，E是半圆O上两点，，CE的延长线与BD的延长线交于点A．
（1）求证：AE=DE；
（2）若，求CD．

23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．

24．（2015秋双鸭山校级期末）已知f（x）=|x﹣1|+|2x+3|．
（1）若f（x）≥m对一切x∈R都成立，求实数m的取值范围；
（2）解不等式f（x）≤4．

2015-2016学年黑龙江省双鸭山一中高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．已知集合A={x|3x+x2＞0}，B={x|﹣4＜x＜﹣1}，则（　　）
A．A∩B={x|﹣4＜x＜﹣3} B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B
【考点】交集及其运算；并集及其运算．
【专题】集合．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集、并集，判断出A与B的包含关系即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：x（x+3）＞0，
解得：x＜﹣3或x＞0，即A={x|x＞0或x＜﹣3}，
∵B={x|﹣4＜x＜﹣1}，
∴A∩B={x|﹣4＜x＜﹣3}，A∪B={x|x＞0或x＜﹣1}．
故选：A．
【点评】此题考查了交集及其运算，并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

2．若复数z满足（1﹣i）z=|3﹣4i|，则z的实部为（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．
【解答】解：由（1﹣i）z=|3﹣4i|，
得．
∴z的实部为．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

3．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】解：由a2＞2a得a＞2或a＜0，
则“a＞2”是“a2＞2a”成立充分不必要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．我们得规律是充分条件范围要小，必要条件范围要大．

4．设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．
【解答】解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，
所以4x=2×6，解得x=3；
故选：B．
【点评】本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（xy）与向量=（m，n）共线，那么xn=ym．

5．等差数列an中，已知前15项的和S15=90，则a8等于（　　）
A． B．12 C． D．6
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】计算题．
【分析】令等差数列的前n项和公式中的n=15，化简后提取15整体代换得到关于a8的方程，求出即可．
【解答】解：因为S15=15a1+d=15（a1+7d）=15a8=90，所以a8=6
故选D
【点评】本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的通项公式，解题的关键是求出S15后提取15找出S15与a8的关系．

6．执行如图所示的程序框图，若输出S=15，则框图中①处可以填入 （　　）

A．n≥4？ B．n≥8？ C．n≥16？ D．n＜16？
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S=1，n=2，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=3，n=4，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=7，n=8，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=15，n=16，满足退出循环的条件；
故判断框中的条件应为n≥16？，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

7．将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是（　　）
A．y=sin4x B．y=sinx C．y=sin（4x﹣） D．y=sin（x﹣）
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】直接利用三角函数的平移变换求解即可．

【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得y=sin（2x﹣+）=sin（2x﹣），
再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到y=sin（x﹣）．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的平移变换，基本知识的考查．

8．设x，y满足，则z=x+y（　　）
A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值
【考点】简单线性规划．
【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．
【解答】解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：

由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，
因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，
但z没有最大值．
故选B
【点评】目判断标函数的有元最优解，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据目标函数斜率与边界线斜率之间的关系分析，即可得到答案．

9．若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A．＞ B． +≤1 C．≥2 D．≤
【考点】基本不等式．
【专题】计算题．
【分析】由题设知ab≤，所以，，， ==≤，由此能够排除选项A、B、C，从而得到正确选项．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4，
∴ab≤，
∴，故A不成立；
，故B不成立；
，故C不成立；
∵ab≤4，a+b=4，∴16﹣2ab≥8，
∴==≤，故D成立．
故选D．
【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时要注意均值不等式的合理运用．

10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】由三视图还原实物图．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由题意可知，几何体为三棱锥，将其放置在长方体模型中即可得出正确答案．
【解答】解：由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示（图中红色部分），
利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．
故选：D．

【点评】本题考查学生的空间想象能力，由三视图还原实物图，是基础题．

11．已知双曲线C：﹣=1，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B 两点且=3，则双曲线离心率的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．2
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意，A在双曲线的左支上，B在右支上，根据=3，可得3x2﹣x1=2c，结合坐标的范围，即可求出双曲线离心率的最小值．
【解答】解：由题意，A在双曲线的左支上，B在右支上，
设A（x1，y1），B（x2，y2），右焦点F（c，0），则
∵=3，
∴c﹣x1=3（c﹣x2），
∴3x2﹣x1=2c
∵x1≤﹣a，x2≥a，
∴3x2﹣x1≥4a，
∴2c≥4a，
∴e=≥2，
∴双曲线离心率的最小值为2，
故选：C．

【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

12．已知函数f（x）=x3﹣tx2+3x，若对于任意的a∈[1，2]，b∈（2，3]，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，则实数t的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，5] C．[3，+∞） D．[5，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】由题意可得f′（x）≤0即3x2﹣2tx+3≤0在[1，3]上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组．
【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣tx2+3x，f′（x）=3x2﹣2tx+3，
若对于任意的a∈[1，2]，b∈（2，3]，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，
则f′（x）≤0即3x2﹣2tx+3≤0在[1，3]上恒成立，
∴，解得t≥5，
故选D．
【点评】本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．定义已知a=30.3，b=0.33，c=log30.3，则（a*b）*c=　c　（结果用a，b，c表示）．
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；新定义．
【分析】欲求（a*b）*c，根据新定义的表达式，即要比较a、b、c的大小，首先分正负，根据对数函数与指数函数的定义得到c小于0，所以c最小，从而求得结果．
【解答】解：由对数函数定义得：c=log30.3＜0，显然a＞0，b＞0
则可取中间量1，a=30.3＞1，b=0.33＜1，综合上面得：a＞b＞c．
则（a*b）*c
=b*c
=c．
故答案为：c．
【点评】此题是指数函数与对数函数的综合应用题，学生做题时应会取中间量来判断两个数的大小．

14．在△ABC中，若b=2，c=1，tanB=2，则a=　3　．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】解三角形．
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosB=，再利用余弦定理求得a的值．
【解答】解：在△ABC中，若b=2，c=1，tanB=2，故=2，sin2B+cos2B=1，
解得 sinB=，cosB=．
由余弦定理可得b2=8=a2+c2﹣2accosB=a2+1﹣，
解得 a=3，或a=﹣（舍去），
故答案为 3．
【点评本题主要考查同角三角函数的基本关系、余弦定理的应用，属于基础题．

15．已知，，点C在∠AOB内，∠AOC=45°，设，则=　　．
【考点】向量在几何中的应用．
【专题】计算题．
【分析】将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有已知给定图形的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向45°角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
则=（1，0），=（0，），
∴=m +n
=（m， n），
∴tan45°==1，
∴=．
故答案为：．

【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．

16．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：
①f（x）是周期函数；
②f（x）关于直线x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（x）在[1，2]上是减函数；
⑤f（2f（0），
其中正确的序号是　①②⑤　．
【考点】函数的周期性；函数的单调性及单调区间．
【专题】压轴题．
【分析】首先理解题目f（x）定义在R上的偶函数，则必有f（x）=f（﹣x），又有关系式f（x+1）=﹣f（x），两个式子综合起来就可以求得周期了．再根据周期函数的性质，且在[﹣1，0]上是增函数，推出单调区间即可．
【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x+1+1）]=f（x+2），
∴f（x）是周期为2的函数，则①正确．
又∵f（x+2）=f（x）f（﹣x），
∴y=f（x）的图象关于x=1对称，②正确，
又∵f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上是增函数，
∴f（x）在[0，1]上是减函数，
又∵对称轴为x=1．
∴f（x）在[1，2]上为增函数，f（2）=f（0），
故③④错误，⑤正确．
故答案应为①②⑤．
【点评】此题主要考查偶函数及周期函数的性质问题，其中涉及到函数单调性问题．对于偶函数和周期函数是非常重要的考点，需要理解记忆．

三、解答题（.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＞﹣．
【考点】数列的求和；等差数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（I）设数列{an}的公差为d，由于a1+a7=﹣9，S9=﹣，利用等差数列的通项公式及前n项和公式可得，解出即可；
（Ⅱ）利用等差数列的前n项和公式可得Sn=，于是bn=﹣=﹣，利用“裂项求和”及“放缩法”即可证明．
【解答】（Ⅰ）解：设数列{an}的公差为d，
∵a1+a7=﹣9，S9=﹣，
∴，
解得，∴ =﹣．
（Ⅱ）证明：∵Sn==，
∴bn==﹣=﹣，
∴数列{bn}的前n项和为Tn=﹣+…+
=
=
．
∴Tn＞﹣．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表
学生 A1 A2 A3 A4 A5
数学 89 91 93 95 97
物理 87 89 89 92 93
（1）要在这五名学生中选2名参加一项活动，求选中的同学中至少有一人的物理成绩高于90分的概率．
（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求出这些数据的线性回归直线方程．
参考公式回归直线的方程是：y=bx+a，
其中对应的回归估计值．b=，a=﹣b．

【考点】线性回归方程．
【专题】应用题；概率与统计．
【分析】（1）用列举法可得从5名学生中任取2名学生的所有情况和其中至少有一人物理成绩高于90（分）的情况包含的事件数目，由古典概型公式，计算可得答案．
（2）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图；根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．
【解答】解：（1）从5名学生中任取2名学生的所有情况为：（A4，A5）、（A4，A1）、（A4，A2）、（A4，A3）、（A5，A1）、（A5，A2）、（A5，A3）、（A1，A2）、（A1，A3）、（A2，A3）共种情10况．
其中至少有一人物理成绩高于90（分）的情况有：（A4，A5）、（A4，A1）、（A4，A2）、（A4，A3）、（A5，A1）、（A5，A2）、（A5，A3）共7种情况，
故上述抽取的5人中选2人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于9（0分）的概率
（2）散点图如图所示．

可求得： =（89+91+93+95+97）=93， =（87+89+89+92+93）=90，
=30， =（﹣4）2+（﹣2）2+02+22+42=40，
∴b=0.75，a=20.25，
故y关于x的线性回归方程是：
【点评】本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为为AB和PD中点．
（1）求证：直线AF∥平面PEC；
（2）求三棱锥P﹣BEF的表面积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）利用三角形中位线的性质证明线线平行，从而得到线面平行；
（2）由线面垂直的判断和性质得到三棱锥四个侧面三角形的高，求出各侧面的面积求和得答案．
【解答】（1）证明：如图，

分别取PC，DC的中点G，H，连接FG，GH，EH，
则FG∥DH，FG=DH，DH∥AE，DH=AE，
∴FG∥AE，FG=AE，则四边形AEGF为平行四边形，则AF∥EG，
EG⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，∴直线AF∥平面PEC；
（2）解：三棱锥P﹣BEF的表面积等于S△BEF+S△PBE+S△PFE+S△PBF．
∵底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴△ABD为正三角形，
又AD=1，∴BD=1，DE=，
又PD⊥平面ABCD，DE⊥AB，∴PE⊥AB，EF⊥AB，
∵PD=1，DE=，DF=，
∴，．
∴，，
，，
∴三棱锥P﹣BEF的表面积等于．
【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．

20．已知椭圆C的标准方程为： +=1（a＞b＞0），该椭圆经过点P（1，），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆： +=1（a＞b＞0）长轴上任意一点S（s，0），（﹣a＜s＜a）作两条互相垂直的弦AB、CD．若弦AB、CD的中点分别为M、N，证明：直线MN恒过定点．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出，e=，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线AB的方程为x=my+s，m≠0，则直线CD的方程为x=﹣，联立，得M（），将M的坐标中的m用﹣代换，得CD的中点N（），从而得到直线MN的方程为x﹣y=，由此能证明直线MN经过定点（）．
【解答】（Ⅰ）解：∵点P（1，）在椭圆上，∴，
又∵离心率为，∴e=，∴a=2c，
∴4a2﹣4b2=a2，解得a2=4，b2=3，
∴椭圆方程为．
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为x=my+s，m≠0，
则直线CD的方程为x=﹣，
联立，得（3m2+4）y2+6smy+3s2﹣12=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
∴x1+x2=（my1+s）（my2+s）
=m2y1y2+ms（y1+y2）+s2
=，
由中点坐标公式得M（，﹣），
将M的坐标中的m用﹣代换，得CD的中点N（，），…（9分）
∴直线MN的方程为x﹣y=，m≠±1，
令y=0得：x=，
∴直线MN经过定点（），
当m=0，±1时，直线MN也经过定点（），
综上所述，直线MN经过定点（）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理等知识点的合理运用．

21．设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）当b=时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）当b＜时，求函数f（x）的极值点
（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）将b的值代入，求出函数的表达式、导数，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）通过讨论b的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点；
（Ⅲ）将b=﹣1代入函数的表达式，求出函数f（x）的表达式，令h（x）=x3﹣f（x），求出h（x）的导数，得到ln（x+1）＞x2﹣x3，从而证出结论．
【解答】解（Ⅰ）当，f（x）=x2+ln（x+1），（x＞﹣1），
f′（x）=2x+=2（x+1）+﹣2≥2﹣2≥0，
当且仅当x=﹣时，成立，
∴函数f（x）在定义域（﹣1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ） 当时，解f′（x）=0得两个不同解：
当b＜0时，
∴x1∈（﹣∞，﹣1），x2∈（﹣1，+∞），
此时f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点
当时，x1，x2∈（﹣1，+∞）f′（x）在（﹣1，x1），（x2，+∞）都大于0，f′（x）在（x1，x2）上小于0，
此时f（x）有一个极大值点和一个极小值点
综上可知，时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点，
b＜0，时，f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点；
（Ⅲ）当b=﹣1时，f（x）=x2﹣ln（x+1），
令上恒正，
∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0，
即当x∈（0，+∞）时，有x3﹣x2+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x2﹣x3，
对任意正整数n，取．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，考察分类讨论思想，运用转化思想是解答第三问的关键，本题是一道难题．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．已知：如图，BC是半圆O的直径，D，E是半圆O上两点，，CE的延长线与BD的延长线交于点A．
（1）求证：AE=DE；
（2）若，求CD．

【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】计算题；规律型；数形结合；推理和证明．
【分析】（1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得到∠A=∠ADE，再根据等角对等边即可求得结论．
（2）连接BE，根据等腰三角形，以及直角三角形，推出边长关系，利用射影定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵BC是半圆O直径，
∴∠ADC=∠BDC=90°．
∵，，
∴∠EDC=∠ECD．
∴∠A=∠ADE．
∴AE=DE．
（2）解：连接BE，
∵，
∴DE=EC．
∴AE=EC=2．
∵BC是半圆O直径，
∴∠BEC=90°即BE⊥AC．
∴BA=BC．
∵Rt△BDC中，tan∠ABC=，
设BD=3x，CD=4x，则BC=5x，
∴AB=BC=5x，AD=2x．
∵AEAC=ADAB，
∴2×4 =2x5x．
解得：x=2，即CD=8．

【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定，直角三角形的性质等知识点的综合运用．

23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．
【考点】直线的参数方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题．
【分析】（1）由题意可得直线l的参数方程为，化简可得结果．
（2）圆C的参数方程化为普通方程，把直线的参数方程代入 x2+y2=4化简，利用根与系数的关系求得t1t2
的值，即可得到点P到A，B 两点的距离之积为2．
【解答】解：（1）直线l的参数方程为，即．…（5分）
（2）圆C的参数方程化为普通方程为x2+y2=4，把直线
代入 x2+y2=4，可得，∴，t1t2=﹣2，
则点P到A，B 两点的距离之积为2． …（10分）
【点评】本题考查直线和圆的参数方程，参数方程与普通方程之间的转化，以及直线参数方程中参数的几何意义，求出t1t2=﹣2，是解题的关键．

24．已知f（x）=|x﹣1|+|2x+3|．
（1）若f（x）≥m对一切x∈R都成立，求实数m的取值范围；
（2）解不等式f（x）≤4．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的最小值，从而求出m的范围即可；（2）求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．
【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|2x+3|，
x≥1时，f（x）=x﹣1+2x+3=3x+2，f（x）≥5，
﹣＜x＜1时，f（x）=﹣x+1+2x+3=x+4，＜f（x）＜5，
x≤﹣时，f（x）=﹣x+1﹣2x﹣3=﹣3x﹣2≥，
若f（x）≥m对一切x∈R都成立，
只需m≤即可；
（2）x≥1时，f（x）=x﹣1+2x+3=3x+2≤4，解得：x≤，无解，
﹣＜x＜1时，f（x）=﹣x+1+2x+3=x+4≤4，解得：x≤0，
x≤﹣时，f（x）=﹣x+1﹣2x﹣3=﹣3x﹣2≤4，解得：x≥﹣2，
故不等式的解集是：[﹣2，0]．
【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．

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