2018_2019学年高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积1课后习题新人教A版必修4.doc

2.4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义
课后篇巩固探究
1.若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于(　　)
A.9 B.0 C.-3 D.-9
解析由已知得p·q=3×3×cos 180°=-9.
答案D
2.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则|a+b|=(　　)
A. B. C.13 D.21
解析由(2a-3b)·(2a+b)=61,
得4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
将|a|=4,|b|=3代入上式,求得a·b=-6.
|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=13,
所以|a+b|=.

答案A
3.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为 (　　)
A. B. C. D.
解析∵|a+2b|=2,
∴(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=12.
∵|a|=2,|b|=1,∴a·b=1.
设a与b的夹角为θ,
则|a||b|cos θ=2cos θ=1,∴cos θ=.
又0≤θ≤π,∴θ=.
答案B
4.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且a⊥(a+b),则b在a方向上的投影为(　　)
A.3 B.-3 C.- D.
解析由a⊥(a+b),得a·(a+b)=0,即|a|2+a·b=0,于是a·b=-9,因此b在a方向上的投影为=-3.
答案B
5.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若,则AB的长为(　　)
A. B.1 C. D.2
解析设AB的长为a,因为,
所以·()=||2+=1+1··cos 120°=,解得a=2.
答案D
6.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为(　　)
A. B. C. D.
解析设a+b与a的夹角为θ.
由|a+b|=|a-b|可得a·b=0,
由|a+b|=2|a|可得|b|=|a|,
于是cosθ=,故所求夹角为.
答案B
7.已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中真命题的个数为(　　)
①|a·b|=|a|·|b|⇔a∥b;②a,b反向⇔a·b=-|a|·|b|;③a⊥b⇔|a+b|=|a-b|;④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析需对以上四个命题逐一判断,依据有两条:一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则.
①∵a·b=|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角),
∴由|a·b|=|a|·|b|及a,b为非零向量可得|cos θ|=1,∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故命题①是真命题.
②若a,b反向,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a|·|b|cos π=-|a|·|b|且以上各步均可逆.故命题②是真命题.
③当a⊥b时,将向量a,b的起点移至同一点,则以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故命题③是真命题.
④当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故命题④是假命题.
答案C
8.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=　　　　　　　　. 
解析|2a-b|=.
∵a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,
则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;
当θ=180°时,a·b=-2.
∴|2a-b|=0或4.
答案0或4
9.正三角形ABC边长为2,设=2=3,则=　　　　　. 
解析)·()
=)·
=
=×2-×4+×4-2=-.
答案-
10.已知|a|=2,向量a在向量b上的投影为,则a与b的夹角为　　　　　. 
解析记向量a与向量b的夹角为θ,则a在b上的投影为|a|cos θ=2cos θ.因为a在b上的投影为,所以cos θ=.因为θ∈[0,π],所以θ=.
答案
11.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,则的值是　　　　　. 

解析(方法一)=||·||·cos(180°-∠B)=-||·||·cos∠B=-||·||·=-||2=-1.
(方法二)||=1,即为单位向量,=-=-||||cos∠ABC,而||·cos∠ABC=||,所以=-||2=-1.
答案-1
12.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 
解析由a+λb与λa+b的夹角为锐角,
得(a+λb)·(λa+b)>0,
即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,
从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-或λ>-2+.
当λ=1时,a+λb与λa+b共线同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞).
答案(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞)
13.导学号68254084已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.求证:(a-b)⊥c.
证明(a-b)·c=a·c-b·c
=|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°
=1×1×-1×1×=0,
故(a-b)⊥c.
14.如图,在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,则四边形ABCD是什么形状?

解∵a+b+c+d=0,
∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2,
即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.
又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,
即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2. ①
同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2. ②
①-②,得|b|2=|d|2,
①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|.
同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形.
∵,∴a=-c.
又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,
即b·(2a)=0.∴a·b=0,
∴.故四边形ABCD为正方形.
15.导学号68254085如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b.

(1)试用a,b表示向量;
(2)若|b|=1,求.
解(1)=a-b,
由题意可知,AC∥BD,BD=BC=AC.
∴b,则=a+b,
=a+(-1)b.
(2)∵|b|=1,∴|a|=,a·b=cos 45°=1,
则=a·[a+(-1)b]
=a2+(-1)a·b=2+-1=+1.
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