2018_2019学年高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积1课后习题新人教A版必修4.doc

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课后篇巩固探究1.若p与q是相反向量,且|p|=3,则pq等于()A.9B.0C.-3D.-9解析由已知得pq=33cos 180=-9.答案D2.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,则|a+b|=()A.B.C.13D.21解析由(2a-3b)(2a+b)=61,得4|a|2-4ab-3|b|2=61.将|a|=4,|b|=3代入上式,求得ab=-6.|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=13,所以|a+b|=.答案A3.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析|a+2b|=2,(a+2b)2=a2+4ab+4b2=12.|a|=2,|b|=1,ab=1.设a与b的夹角为,则|a|b|cos =2cos =1,cos =.又0,=.答案B4.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且a(a+b),则b在a方向上的投影为()A.3B.-3C.-D.解析由a(a+b),得a(a+b)=0,即|a|2+ab=0,于是ab=-9,因此b在a方向上的投影为=-3.答案B5.在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60,E为CD的中点.若,则AB的长为()A.B.1C.D.2解析设AB的长为a,因为,所以()=|2+=1+1cos 120=,解得a=2.答案D6.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为()A.B.C.D.解析设a+b与a的夹角为.由|a+b|=|a-b|可得ab=0,由|a+b|=2|a|可得|b|=|a|,于是cos=,故所求夹角为.答案B7.已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中真命题的个数为()|ab|=|a|b|ab;a,b反向ab=-|a|b|;ab|a+b|=|a-b|;|a|=|b|ac|=|bc|.A.1B.2C.3D.4解析需对以上四个命题逐一判断,依据有两条:一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则.ab=|a|b|cos (为a与b的夹角),由|ab|=|a|b|及a,b为非零向量可得|cos |=1,=0或,ab且以上各步均可逆.故命题是真命题.若a,b反向,则a,b的夹角为,ab=|a|b|cos =-|a|b|且以上各步均可逆.故命题是真命题.当ab时,将向量a,b的起点移至同一点,则以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有ab.故命题是真命题.当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|ac|bc|,反过来由|ac|=|bc|也推不出|a|=|b|.故命题是假命题.答案C8.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.解析|2a-b|=.a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为,则=0或180,当=0时,ab=2;当=180时,ab=-2.|2a-b|=0或4.答案0或49.正三角形ABC边长为2,设=2=3,则=.解析)()=)=2-4+4-2=-.答案-10.已知|a|=2,向量a在向量b上的投影为,则a与b的夹角为.解析记向量a与向量b的夹角为,则a在b上的投影为|a|cos =2cos .因为a在b上的投影为,所以cos =.因为0,所以=.答案11.如图所示,在RtABC中,A=90,AB=1,则的值是.解析(方法一)=|cos(180-B)=-|cosB=-|=-|2=-1.(方法二)|=1,即为单位向量,=-=-|cosABC,而|cosABC=|,所以=-|2=-1.答案-112.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60,则使向量a+b与a+b的夹角为锐角的的取值范围是.解析由a+b与a+b的夹角为锐角,得(a+b)(a+b)0,即a2+(2+1)ab+b20,从而2+4+10,解得-2+.当=1时,a+b与a+b共线同向,故的取值范围是(-,-2-)(-2+,1)(1,+).答案(-,-2-)(-2+,1)(1,+)13.导学号68254084已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120.求证:(a-b)c.证明(a-b)c=ac-bc=|a|c|cos 120-|b|c|cos 120=11-11=0,故(a-b)c.14.如图,在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且ab=bc=cd=da,且ac=bd,则四边形ABCD是什么形状?解a+b+c+d=0,a+b=-(c+d),(a+b)2=(c+d)2,即a2+2ab+b2=c2+2cd+d2.又ab=cd,a2+b2=c2+d2,即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.-,得|b|2=|d|2,变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加式得|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形.,a=-c.又ab=bc,b(a-c)=0,即b(2a)=0.ab=0,.故四边形ABCD为正方形.15.导学号68254085如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知ABC=45,BCD=60,记=a,=b.(1)试用a,b表示向量;(2)若|b|=1,求.解(1)=a-b,由题意可知,ACBD,BD=BC=AC.b,则=a+b,=a+(-1)b.(2)|b|=1,|a|=,ab=cos 45=1,则=aa+(-1)b=a2+(-1)ab=2+-1=+1.6