2023版高考数学一轮复习选修4-5不等式选讲第1节绝对值不等式课时跟踪检测文新人教A版.doc

第一节　绝对值不等式
A级·根底过关|固根基|
1.函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5|
＝
所以－3≤f(x)≤3.
(2)由(1)可知，
当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；
当2＜x＜5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x＜5}；
当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．
综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}．
2．(2023届湖北荆州一模)函数f(x)＝|x－a|，不等式f(x)≤3的解集为[－6，0]．
(1)求实数a的值；
(2)假设f(x)＋f(x＋5)≥2m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，
所以a－3≤x≤a＋3，又因为f(x)≤3的解集为[－6，0]，
所以a＝－3.
(2)因为f(x)＋f(x＋5)＝|x＋3|＋|x＋8|≥|x＋3－(x＋8)|＝5，又f(x)＋f(x＋5)≥2m对一切实数x恒成立，所以2m≤5，即m≤.
3．(2023届太原模拟)函数f(x)＝|x－1|－a(a∈R)．
(1)假设f(x)的最小值不小于3，求实数a的最大值；
2)假设g(x)＝f(x)＋2|x＋a|＋a的最小值为3，求实数a的值．
解：(1)因为f(x)min＝f(1)＝－a，所以－a≥3，
解得a≤－3，即amax＝－3.
(2)g(x)＝f(x)＋2|x＋a|＋a＝|x－1|＋2|x＋a|.
当a＝－1时，g(x)＝3|x－1|≥0，0≠3，所以a＝－1不符合题意；
当a＜－1时，g(x)＝
即g(x)＝
所以g(x)min＝g(－a)＝－a－1＝3，解得a＝－4.
当a＞－1时，同理可知g(x)min＝g(－a)＝a＋1＝3，解得a＝2.
综上，a＝2或－4.
4．(2023届兰州模拟)不等式|2x－5|＋|2x＋1|＞ax－1.
(1)当a＝1时，求不等式的解集；
(2)假设不等式的解集为R，求实数a的取值范围．
解：(1)令f(x)＝|2x－5|＋|2x＋1|，
那么f(x)＝|2x－5|＋|2x＋1|＝
因为a＝1，所以当x≤－时，由－4x＋4＞x－1，
解得x≤－；
当－＜x≤时，由6＞x－1，解得－＜x≤；
当x＞时，由4x－4＞x－1，解得x＞.
综上，所求不等式的解集为R.
(2)由(1)作函数f(x)的图象，点A，令y＝ax－1，那么其过定点P(0，－1)，如下图，由不等式|2x－5|＋|2x＋1|＞ax－1的解集为R，可得－4≤a＜，即－4≤a＜.
所以，所求实数a的取值范围为.
B级·素养提升|练能力|
5.(2023届“四省八校联盟〞高三联考)函数f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，g(x)＝x＋a.
(1)求不等式f(x)≥6的解集；
(2)对任意x∈R，都有f(x)－g(x)≥0，求实数a的取值范围．
解：(1)f(x)＝
那么或
解得x≤－4或x≥2.
所以不等式的解集为(－∞，－4]∪[2，＋∞)．
(2)当x≤－3时，f(x)－g(x)＝－2x－2－x－a≥0恒成立，即3x＋2＋a≤0恒成立，所以a≤7；
当－3x)＝2x＋2－x－a≥0恒成立，即a≤x＋2恒成立，所以a≤3.
综上，a≤3，即实数a的取值范围为(－∞，3]．
6．设函数f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|.
(1)解不等式f(x)＞4；
(2)假设存在x0∈使不等式a＋1＞f(x0)成立，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意得f(x)＝
那么f(x)＞4⇔或或⇔x＜－2或0＜x≤1或x＞1.
所以不等式f(x)＞4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
(2)存在x0∈使不等式a＋1＞f(x0)成立⇔a＋1＞f(x)min，由(1)知，当x∈时，f(x)＝x＋4，所以f(x)min＝f＝，那么a＋1＞，解得a＞，
所以实数a的取值范围为.
7．(2023届太原市模拟试题)函数f(x)＝|x＋m|＋|2x－1|.　
(1)当m＝－1时，求不等式f(x)≤2的解集；
(2)假设f(x)≤|2x＋1|的解集包含，求m的取值范围．
解：(1)当m＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|2x－1|，
当x≥1时，f(x)＝3x－2≤2，所以1≤x≤；
当＜x＜1时，f(x)＝x≤2，所以＜x＜1；
当x≤时，f(x)＝2－3x≤2，所以0≤x≤.
综上可得，原不等式f(x)≤2的解集为.
(2)由题意可知f(x)≤|2x＋1|在上恒成立，当x∈时，f(x)＝|x＋m|＋|2x－1|＝|x＋m|＋2x－1≤|2x＋1|＝2x＋1，所以|x＋m|≤2，即－2≤x＋m≤2，那么－2－x≤m≤2－x，且(－2－x)max＝－，(2－x)min＝0，因此m的取值范围为.
8．(2023届郑州模拟)函数f(x)＝|3x＋2|.
(1)解不等式f(x)＜4－|x－1|；
(2)m＋n＝1(m，n＞0)，假设|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)不等式f(x)＜4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|＜4.
当x＜－时，即－3x－2－x＋1＜4，
解得－＜x＜－；
当－≤x≤1时，即3x＋2－x＋1＜4，
解得－≤x＜；
当x＞1时，即3x＋2＋x－1＜4，无解．
综上所述，不等式的解集为.
(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4.
令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|
＝
所以当x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4，即0＜a≤.
故实数a的取值范围为.
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