高考文科数学复习第轮极坐标与参数方程.pdf

高考文科数学 一轮复习 （极坐标与参数方程）第二讲 极坐标与参数方程 目标认知 考试大纲要求：1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义；4.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别；5.了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程；6.了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。重点、难点：1理解参数方程的概念，了解常用参数方程中参数的意义，掌握参数方程与普通方程的互化。2理解极坐标的概念，掌握极坐标与直角坐标的互化；直线和圆的极坐标方程。【知识要点梳理】:知识点一：极坐标 1极坐标系 平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。2极坐标系内一点的极坐标 平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对 就叫做点的极坐标。（1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；当时表示极点；当时，点的位置这样确定：作射线，使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点。（2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的终边是相同的。综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，即，,均表示同一个点.3.极坐标与直角坐标的互化 当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（极点与原点重合；极轴与轴正半轴重合；长 度 单 位 相 同），平 面 上 一 个 点的 极 坐 标和 直 角 坐 标有 如 下关系：直角坐标化极坐标：；极坐标化直角坐标：.此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.4.直线的极坐标方程：（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及.（2）过垂直于极轴的直线：5.圆的极坐标方程：（1）以极点为圆心，为半径的圆：.（2）若，以为直径的圆：知识点二：柱坐标系与球坐标系：1.柱坐标系的定义：空间点与柱坐标之间的变换公式：2.球坐标系的定义：空间点与球坐标之间的变换公式：知识点三：参数方程 1.概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数 的函数：，并且对于 的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数 叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。知识点四：常见曲线的参数方程 1直线的参数方程 （1）经过定点，倾斜角为的直线 的参数方程为：（为参数）；其中参数 的几何意义：，有，即表示直线上任一点 M到定点的距离。（当在上方时，在下方时，)。（2）过定点，且其斜率为的直线 的参数方程为：（为参数，为为常数，）；其中 的几何意义为：若是直线上一点，则。2圆的参数方程 （1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：（是参数，）；特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。3.椭圆的参数方程 （1）椭圆（）的参数方程（为参数）。（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。如图中，点对应的角为（过作轴，交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。4.双曲线的参数方程 双曲线（,）的参数方程为（为参数）。5.抛物线的参数方程 抛物线()的参数方程为（是参数）。参数 的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。规律方法指导：1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消法；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性，注意方程中的参数的变化范【课前演练】一、选择题 1.已知集合|10Mxx,1|01Nxx,则MN=Ax|-1x1 Bx|x1 Cx|-1x1 Dx|x-1 2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b=A-2 B12 C.12 D2 3.若函数f(x)=x3(xR)，则函数y=f(-x)在其定义域上是 A单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C单凋递增的偶函数 D单涮递增的奇函数 4若向量,a b满足|1ab,a与b的夹角为60,则a aa b A12 B32 C.312 D2 5 客车从甲地以60kmh的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80kmh的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达 丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是 二、填空题 11在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是 12函数f(x)=xlnx(x0)的单调递增区间是 13已知数列an的前n项和Sn=n2-9n，则其通项an若它的第k项满足5ak8，则k=14(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l的方程为 sin=3，则点(2，/6)到直线l的距离为 15(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则DAC=【经典例题精析】类型二：参数方程与普通方程互化 4把参数方程化为普通方程 (1)(，为参数)；（2）(，为参数）；（3）(,为参数)；（4）(为参数).思路点拨:（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；（2）利用三角恒等式进行消参；（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把 用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把 换成而已，因而消参方法依旧，但需要注意、的范围。总结升华：1.消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.举一反三：【变式 1】化参数方程为普通方程。（1）(t为参数)；（2）（t为参数）.【变式 2】（1）圆的半径为_；（2）参数方程(表示的曲线为（）。A、双曲线一支，且过点 B、抛物线的一部分，且过点 C、双曲线一支，且过点 D、抛物线的一部分，且过点 【变式 3】（1）直线:(t为参数)的倾斜角为（）。A、B、C、D、（2）为锐角，直线的倾斜角（）。A、B、C、D、5已知曲线的参数方程（、为常数）。（1）当 为常数()，为参数()时，说明曲线的类型；（2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。思路点拨:通过消参，化为普通方程，再做判断。总结升华：从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。举一反三：【变式】已知圆锥曲线方程为。（1）若 为参数，为常数，求此曲线的焦点到准线距离。（2）若为参数，为常数，求此曲线的离心率。【课堂检测】选择题 椭圆sin51cos33yx的两个焦点坐标是()。A(-3,5)，(-3,-3)B(3,3)，(3,-5)C(1,1)，(-7,1)D(7,-1)，(-1,-1)六、1若直线的参数方程为12()23xttyt 为参数，则直线的斜率为（）A 23 B23 C 32 D 32 2下列在曲线sin2()cossinxy为参数上的点是（）A 1(,2)2 B3 1(,)4 2 C(2,3)D(1,3)3将参数方程222sin()sinxy 为参数化为普通方程为（）A 2yx B2yx C 2(23)yxx D 2(01)yxy 6极坐标方程cos2sin2表示的曲线为（）A 一条射线和一个圆 B两条直线 C 一条直线和一个圆 D 一个圆 七、1直线l的参数方程为()xattybt 为参数，l上的点1P对应的参数是1t，则点1P与(,)P a b之间的距离是（）A 1t B12 t C 12 t D 122t 2参数方程为1()2xttty 为参数表示的曲线是（）A 一条直线 B两条直线 C 一条射线 D 两条射线 3直线112()33 32xttyt 为参数和圆2216xy交于,A B两点，则AB的中点坐标为（）A(3,3)B(3,3)C(3,3)D(3,3)5与参数方程为()2 1xttyt为参数等价的普通方程为（）A 214y2x B21(01)4yx 2x C 21(02)4yy 2x D 21(01,02)4yxy 2x 6直线2()1xttyt 为参数被圆22(3)(1)25xy 所截得的弦长为（）A 98 B1404 C 82 D 934 3 八、1把方程1xy化为以t参数的参数方程是（）A 1212xtyt Bsin1sinxtyt C cos1cosxtyt D tan1tanxtyt 2曲线25()1 2xttyt 为参数与坐标轴的交点是（）A 21(0,)(,0)52、B11(0,)(,0)52、C(0,4)(8,0)、D 5(0,)(8,0)9、3直线12()2xttyt 为参数被圆229xy截得的弦长为（）A 125 B1255 C 955 D 9105 4若点(3,)Pm在以点F为焦点的抛物线24()4xttyt 为参数上，则PF等于（）A 2 B3 C 4 D 5 6在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线的方程为（）A cos2 Bsin2 C 4sin()3 D 4sin()3 填空题 参、把参数方程1cossinyx(为参数)化为普通方程，结果是。六、1直线34()45xttyt 为参数的斜率为_。2参数方程()2()ttttxeetyee 为参数的普通方程为_。3已知直线11 3:()24xtltyt 为参数与直线2:245lxy相交于点B，又点(1,2)A，则AB _。4直线122()112xttyt 为参数被圆224xy截得的弦长为_。七、1曲线的参数方程是211()1xttyt 为参数,t0，则它的普通方程为_。2直线3()14xattyt 为参数过定点_。3点P(x,y)是椭圆222312xy上的一个动点，则2xy的最大值为_。4曲线的极坐标方程为1tancos，则曲线的直角坐标方程为_。5设()ytxt为参数则圆2240 xyy的参数方程为_。八、1已知曲线22()2xpttpypt 为参数,为正常数上的两点,MN对应的参数分别为12,tt和，120tt 且，那么MN=_。2直线22()32xttyt 为参数上与点(2,3)A 的距离等于2的点的坐标是_。3圆的参数方程为3sin4cos()4sin3cosxy为参数，则此圆的半径为_。4极坐标方程分别为cos与sin的两个圆的圆心距为_。5直线cossinxtyt与圆42cos2sinxy 相切，则_。