2022届高考数学总复习教学案导数的应用(2).docx

第十三节导数的应用(二)利用导数研究恒成立问题及参数求解典题导入例1函数f(x)x2ln xa(x21)，aR.(1)当a1时，求曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)假设当x1时，f(x)0成立，求a的取值范围自主解答(1)当a1时，f(x)x2ln xx21，f(x)2xln x3x.那么曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为f(1)3，又f(1)0，所以切线方程为3xy30.(2)f(x)2xln x(12a)xx(2ln x12a)，其中x1.当a时，因为x1，所以f(x)0，所以函数f(x)在1，)上单调递增，故f(x)f(1)0.当a时，令f(x)0，得xea.假设x1，ea)，那么f(x)m恒成立，求实数m的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(，)，f(x)xex(exxex)x(1ex)，假设x0，那么f(x)0；假设x0，所以f(x)0，那么1ex0，所以f(x)0.f(x)在(，)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(，)(2)由(1)知，f(x)在2,2上单调递减故f(x)minf(2)2e2，mm恒成立故m的取值范围为(，2e2)利用导数证明不等式问题典题导入例2f(x)axln x，x(0，e，g(x)，其中e是自然常数，aR.(1)讨论a1时，函数f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f(x)g(x).自主解答(1)f(x)xln x，f(x)1，当0x1时，f(x)0，此时f(x)单调递减；当1x0，此时f(x)单调递增f(x)的极小值为f(1)1.(2)证明：由(1)知f(x)min1.又g(x)，当0x0，g(x)在(0，e上单调递增g(x)maxg(e).在(1)的条件下，f(x)g(x).在本例条件下，是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3假设存在，求出a的值；假设不存在，说明理由解：假设存在正实数a，使f(x)axln x(x(0，e)有最小值3.因为f(x)a，当0g(x)在区间D上恒成立的根本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性，确定函数的最值证明h(x)0.以题试法2f(x)xln x.(1)求g(x)(kR)的单调区间；(2)证明：当x1时，2xef(x)恒成立解：(1)g(x)ln x，令g(x)0得xk.x0，当k0时，g(x)0.函数g(x)的增区间为(0，)，无减区间；当k0时g(x)0得xk；g(x)0得0xk，增区间为(k，)，减区间为(0，k)(2)证明：设h(x)xln x2xe(x1)，令h(x)ln x10得xe，h(x)，h(x)的变化情况如下：x1(1，e)e(e，)h(x)10h(x)e20故h(x)0.即f(x)2xe.利用导数研究生活中的优化问题典题导入例3某物流公司购置了一块长AM30米，宽AN20米的矩形地块AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，顶点B、D分别在边AM、AN上，假设AB的长度为x米(1)要使仓库的占地面积不少于144平方米，求x的取值范围；(2)要规划建设的仓库是高度与AB的长度相同的长方体建筑，问AB的长度为多少时仓库的库容量最大(墙地及楼板所占空间忽略不计)自主解答(1)依题意得NDC与NAM相似，所以，即，故AD20x，矩形ABCD的面积为20xx2(0x30)要使仓库的占地面积不少于144平方米，那么20xx2144，化简得x230x2160，解得12x18.(2)由(1)知仓库的体积V20x2x3(0x30)，令V40x2x20，得x0或x20.当0x0，当20x30时，V0，所以当x20时V取最大值，且最大值为，即AB的长度为20米时仓库的库存容量最大由题悟法利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立数学模型，写出函数关系式yf(x)；(2)求出函数的导函数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值以题试法3某城市在开展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻解：当6t9时，yt2t36(t12)(t8)令y0，得t12(舍去)或t8.当6t0，当8t9时，y0，故t8时，y有最大值，ymax18.75.当9t10时，yt是增函数，故t10时，ymax16.当10t12时，y3(t11)218，故t11时，ymax18.综上可知，通过该路段用时最多的时刻为上午8点1f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，假设ab，那么必有()Aaf(b)bf(a)Bbf(a)af(b)Caf(a)f(b) Dbf(b)f(a)解析：选Axf(x)f(x)，f(x)0，0.那么函数在(0，)上是单调递减的，由于0a0)，那么获得最大利润时的年产量为()A1百万件 B2百万件C3百万件 D4百万件解析：选C依题意得，y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0，假设f(1)0，那么关于x的不等式xf(x)0，所以f(x)在(0，)单调递增又函数f(x)是R上的偶函数，所以f(1)f(1)0.当x0时，f(x)0，0x1；当x0，x1.答案：(，1)(0,1)4直线ya与函数f(x)x33x的图象有相异的三个公共点，那么a的取值范围是_解析：令f(x)3x230，得x1，可得极大值为f(1)2，极小值为f(1)2，如图，观察得2a1时，判断f(x)在0,2m上零点的个数，并说明理由解：(1)依题意，可知f(x)在R上连续，且f(x)exm1，令f(x)0，得xm.故当x(，m)时，exm1，f(x)1，f(x)0，f(x)单调递增；故当xm时，f(m)为极小值，也是最小值令f(m)1m0，得m1，即对任意xR，f(x)0恒成立时，m的取值范围是(，1(2)由(1)知f(x)在0,2m上至多有两个零点，当m1时，f(m)1m0，f(0)f(m)1时，g(m)em20，g(m)在(1，)上单调递增g(m)g(1)e20，即f(2m)0.f(m)f(2m)0，f(x)在(m,2m)上有一个零点故f(x)在0,2m上有两个零点7(2022泰安模拟)某种产品每件本钱为6元，每件售价为x元(6x11)，年销售为u万件，假设u与2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润解：(1)设uk2，售价为10元时，年销量为28万件，28k2，解得k2.u222x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(6x0；当x(9,11)时，y2)(1)当t1时，求函数yf(x)的单调区间；(2)设f(2)m，f(t)n，求证：mn.解：(1)f(x)(2x3)exex(x23x3)exx(x1)，当2t0，x2，t时，f(x)0，f(x)单调递增；当0t0，f(x)单调递增，当x(0，t时，f(x)0，f(x)单调递减综上，当2t0时，yf(x)的单调递增区间为2，t；当0t2，h(t)(2t3)etet(t23t3)ett(t1)(t2)故h(t)，h(t)随t的变化情况如下表：t(2,0)0(0,1)1(1，)h(t)00h(t)极大值极小值由上表可知h(t)的极小值为h(1)e0，又h(2)0，故当2th(2)0，即h(t)0，因此，nm0，即mn.2 (2022资阳模拟)函数f(x)x33axb(a，bR)在x2处的切线方程为y9x14.(1)求f(x)的单调区间；(2)令g(x)x22xk，假设对任意x10,2，均存在x20,2，使得f(x1)0，得x1；由f(x)0，得1x1.故函数f(x)的单调递减区间是(1,1)；单调递增区间是(，1)，(1，)(2)由(1)知，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增又f(0)2，f(2)4，有f(0)f(2)，函数f(x)在区间0,2上的最大值f(x)maxf(2)4.又g(x)x22xk(x1)2k1，函数g(x)在0,2上的最大值为g(x)maxg(1)k1.对任意x10,2，均存在x20,2，使f(x1)f(x2)成立，有f(x)maxg(x)max，那么43.故实数k的取值范围是(3，)1向量m(x0，1)，n，x0，y0成等差数列，2，y0成等比数列(1)求证：mn；(2)假设存在不为零的实数k与t，使得a(t23)mn，btmkn，且ab，|a|，试讨论函数kf(t)的单调性，并求出函数的极值解：(1)证明：由x0，y0成等差数列得x0y0，由2，y0成等比数列得x02y0，由与可得x0，y0，所以m(，1)，n，因为mn(，1)0，所以mn.(2)由(1)得|m|2，|n|1，因为|a|，mn，所以|a|2(t23)2|m|22(t23)mn|n|24(t23)2137，所以0t26，所以t.又abt(t23)|m|2k(t23)mntmnk|n|24t(t23)k0，所以kf(t)4t(t23)(t)，kf(t)4t(t23)12t212，令12t2120，得t1.当t变化时，f(t)，f(t)的变化情况如下表：t(，1)1(1,1)1(1，)f(t)00f(t)极大值8极小值8因此f(t)的单调递增区间为(，1)，(1，)；f(x)的单调递减区间为(1,1)f(t)的极大值为8，极小值为8.2设函数f(x)ln xp(x1)，pR.(1)当p1时，求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)xf(x)p(2x2x1)，对任意x1都有g(x)0成立，求p的取值范围解：(1)当p1时，f(x)ln xx1，其定义域为(0，)所以f(x)1.由f(x)10得0x1，由f(x)1.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(2)由函数g(x)xf(x)p(2x2x1)xln xp(x21)(x0)，得g(x)ln x12px.由(1)知，当p1时，f(x)f(1)0，即不等式ln xx1成立当p时，g(x)ln x12px(x1)12px(12p)x0，即函数g(x)在1，)上单调递减，从而g(x)g(1)0，满足题意；当p0，12px0，从而g(x)ln x12px0，即函数g(x)在上单调递增，从而存在x0使得g(x0)g(1)0，不满足题意； 当p0时，由x1知g(x)xln xp(x21)0恒成立，此时不满足题意综上所述，实数p的取值范围为.集合与常用逻辑用语函数、导数及其应用(时间120分钟，总分值150分)一、选择题(此题共12小题，每题5分，共60分)1(2022广州调研)函数f(x)假设f(1)f(1)，那么实数a的值等于()A1B2C3 D4解析：选B根据题意，由f(1)f(1)可得a1(1)2.2(2022江西高考)假设全集U，那么集合A的补集UA为()A.B.C.D.解析：选C因为UxR|x24xR|2x2，AxR|x1|1xR|2x0借助数轴易得UAxR|0x23以下函数中，恒满足f(2x)f(x)2的是()Af(x)|x| Bf(x)(x0)Cf(x)exDf(x)sin x解析：选C假设f(x)ex，那么f(2x)e2x(ex)2f(x)2.4(2022大同调研)函数f(x)x2bx(bR)，那么以下结论正确的选项是()AbR，f(x)在(0，)上是增函数BbR，f(x)在(0，)上是减函数CbR，f(x)为奇函数DbR，f(x)为偶函数解析：选D注意到当b0时，f(x)x2是偶函数5(2022龙岩四校联考)函数yf(x)的图象在点M(3，f(3)处的切线方程是yx，那么f(3)f(3)的值为()A1 B2C3 D5解析：选B因为切点(3，f(3)在切线上，所以f(3)1，切点处的导数为切线的斜率，所以f(3)，所以f(3)f(3)2.6(2022汕头一测)集合A是函数f(x)的定义域，集合B是整数集，那么AB的子集的个数为()A4 B6C8 D16解析：选A要使函数f(x)有意义，那么需解得1x0或0x1，所以函数的定义域Ax|1x0，或0x1所以AB1，1，其子集的个数为4.7alog23log2，blog29log2，clog32，那么a，b，c的大小关系是()AabcCabbc解析：选Balog23log2log23，blog29log2log23，ab.又函数ylogax(a1)为增函数，alog23log221，clog32c.8(2022南昌一模)函数yx1的图象关于x轴对称的图象大致是()解析：选B函数yx，该函数的图象就是抛物线y2x在x轴及其以上的局部，故函数yx11是将上述图象向下平移一个单位得到的，再作其关于x轴对称的图象，即选项B中的图象9(2022长春第二次调研)假设a2，那么函数f(x)x3ax21在(0,2)内零点的个数为()A3 B2C1 D0解析：选C依题意得f(x)x22ax，由a2可知，f(x)在x(0,2)时恒为负，即f(x)在(0,2)内单调递减，又f(0)10，f(2)4a14x3均成立；假设log2xlogx22，那么x1；“假设ab0且c的逆否命题是真命题；假设命题p：xR，x211，命题q：xR，x2x10，那么命题p(綈q)是真命题其中真命题为()ABCD解析：选A由x22x4x3推得x22x3(x1)220恒成立，故正确；根据根本不等式可知要使不等式log2xlogx22成立需要x1，故正确；由ab0得0，又c，那么可知其逆否命题为真命题，故正确；命题p是真命题，命题q是真命题，所以p(綈q)为假命题，故不正确二、填空题(此题共4小题，每题5分，共20分)13(2022河北质检)函数ylog(3xa)的定义域是，那么a_.解析：由3xa0得x.因此，函数ylog(3xa)的定义域是，所以，即a2.答案：214 (2022南通一调)设P是函数y(x1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，那么的取值范围是_解析：依题意得，yxx，yxx(x0)，当x0时，yxx2 ，即该图象在点P处的切线的斜率不小于，即tan .又0，)，因此0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，那么a_.解析：函数g(x)在0，)上为增函数，那么14m0，即m1，那么函数f(x)在1,2上的最小值为m，最大值为a24，解得a2，m，与m矛盾；当0a1时，函数f(x)在1,2上的最小值为a2m，最大值为a14，解得a，m0，那么x0，函数f(x)在(0，)上单调递增，又f(1)111010，函数f(x)在(1，e)上存在零点，符合条件答案：三、解答题(此题共6小题，共70分)17(本小题总分值10分)函数yf(x)的图象关于原点对称，且x0时，f(x)x22x3，试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间解：f(x)的图象关于原点对称，f(x)f(x)，又当x0时，f(x)x22x3，当x0，x.f(x)的定义域为.(2)f(x)log3(2x1)log3log3log32，f(x)的图象是由ylog3x的图象向右平移个单位，再向上平移log32个单位得到的故可以由ylog3x的图象平移得到19(本小题总分值12分)函数f(x)x(x2ax3)(1)假设f(x)在区间1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)假设x是f(x)的极值点，求f(x)在区间1,4上的最大值解：(1)f(x)x(x2ax3)，f(x)3x22ax3.f(x)在1，)上是增函数，在1，)上恒有f(x)0，即3x22ax30在1，)上恒成立得a在1，)上恒成立当x1时，(11)0，a0.(2)依题意得f0，即a30，得a4，故f(x)x34x23x.令f(x)3x28x30，得x1，x23.当x在1,4上变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x1(1,3)3(3,4)4f(x)0f(x)61812所以f(x)在区间1,4上的最大值是f(1)6.20(本小题总分值12分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)2t200(1t50，tN)前30天价格为g(t)t30(1t30，tN)，后20天价格为g(t)45(31t50，tN)(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；(2)求日销售额S的最大值解：(1)根据题意，得S(2)当1t30，tN时，S(t20)26 400，当t20时，S的最大值为6 400.当31t50，tN时，S90t9 000为减函数，当t31时，S的最大值为6 210.6 2100.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)假设函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；解：(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x11，x2a0.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)(2)由(1)知f(x)在区间(2，1)内单调递增，在区间(1，0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点即解得0a.所以a的取值范围是.22. (2022安徽名校模拟)函数f(x)(xR)，a为正数(1)求函数f(x)的单调区间；(2)假设对任意x1，x20,4均有|f(x1)f(x2)|0，由f(x)0，得0x3；由f(x)0，得x3.故函数f(x)的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(，0)，(3，)(2)由(1)易知函数f(x)在0,3上为增函数，在3,4 上为减函数函数f(x)在0,4上的最大值f(3)，又f(0)a0，f(0)f(4)f(x)在0,4上的最小值为f(0)a.要使函数f(x)对任意x1，x20,4均有|f(x1)f(x2)|1成立，只需|f(3)f(0)|1即可，即0，0a.