2022届高考数学一轮复习第一部分考点通关练鸭内容考点测试69不等式选讲含解析新人教B版.doc

考点测试69　不等式选讲
高考概览
本考点是高考必考知识点，题型为解答题，分值10分，中等难度
考纲研读
1．理解绝对值的几何意义，并了解以下不等式成立的几何意义及取等号的条件：
|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；
|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)
2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c；
|ax＋b|≥c；
|x－c|＋|x－b|≥a
3．会用平均值不等式、柯西不等式证明一些简单问题
4．通过一些简单问题了解证明不等式的根本方法：比拟法、综合法、分析法
根底小题
1．不等式1<|x＋1|<3的解集为(　　)
A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4)
C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)
答案　D
解析　由－3的解集是(　　)
A．(0,2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案　A
解析　由|t|>t知t<0，故<0，其解集为00，下面四个不等式中，正确的选项是(　　)
①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|.
A．①和② B．①和③
C．①和④ D．②和④
答案　C
解析　∵ab>0，即a，b同号，那么|a＋b|＝|a|＋|b|，
∴①④正确，②③错误．选C．
4．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是(　　)
A．(－∞，4) B．(－∞，1)
C．(1,4) D．(1,5)
答案　A
解析　①当x<1时，原不等式等价于1－x－(5－x)<2，即－4<2，∴x<1；②当1≤x≤5时，原不等式等价于x－1－(5－x)<2，即x<4，∴1≤x<4；③当x>5时，原不等式等价于x－1－(x－5)<2，即4<2，无解．综合①②③知x<4.选A．
5．假设|mx－1|<3的解集为(－1,2)，那么m的值是(　　)
A．2或－4 B．2或－1
C．2或－4或－1 D．2
答案　D
解析　由方程的思想，知－1和2是方程|mx－1|＝3的两个根，∴|m×(－1)－1|＝3，解得m＝2或m＝－4；
|2m－1|＝3，解得m＝2或m＝－1，故m＝2.选D．
6．不等式|2x＋1|－2|x－1|>0的解集为________．
答案　
解析　|2x＋1|－2|x－1|>0⇔|2x＋1|>2|x－1|⇔(2x＋1)2>4(x－1)2⇔12x>3⇔x>，∴原不等式的解集为.
7．假设不等式|x－1|＋|x＋3|>a对任意实数x恒成立，那么实数a的取值范围为________．
答案　(－∞，4)
解析　由题意知(|x－1|＋|x＋3|)min>A．因为|x－1|＋|x＋3|≥|(x－1)－(x＋3)|＝4(当－3≤x≤1时取等号)，所以a<4.
8．假设函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，那么实数a＝________.
答案　－6或4
解析　当a≤－1时，f(x)＝
∴f(x)min＝－a－1，∴－a－1＝5，∴a＝－6；
当a>－1时，f(x)＝
∴f(x)min＝a＋1，∴a＋1＝5，∴a＝4.
综上，a＝－6或a＝4.
一、高考大题
1．(2022·全国卷Ⅱ)f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．
(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；
(2)假设x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．
当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；
当x≥1时，f(x)≥0.
所以不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．
(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.
当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)·(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.
所以a的取值范围是[1，＋∞)．
2．(2022·全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.
(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；
(2)假设(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.
解　(1)因为[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2
＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]
≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，
所以由得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，
当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立．
所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.
(2)证明：因为[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)·(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，
所以由得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，
当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．
所以(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.
由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1.
3．(2022·全国卷Ⅰ)f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)假设x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)>1的解集为.
(2)当x∈0,1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|<1成立．
假设a≤0，那么当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1，不符合题意；
假设a>0，|ax－1|<1的解集为0＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．
故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2，所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
5．(2022·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)当x∈[0，＋∞)，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．
解　(1)f(x)＝
y＝f(x)的图象如下图．
(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各局部所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在x∈[0，＋∞)上成立，因此a＋b的最小值为5.
二、模拟大题
6．(2022·辽宁抚顺一模)函数f(x)＝|x＋a|＋|x－|.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥5；
(2)假设∀x∈R，f(x)≥|m－1|恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，
当x≤－1时，f(x)＝－x－1－x＋1＝－2x≥5，
解得x≤－；
当－1≥|x＋a－x＋|＝|a＋|＝|a|＋||≥2，当且仅当a＝±1时，等号成立．
所以|m－1|≤2，解得－1≤m≤3，
即m∈[－1,3]．
7．(2022·石家庄模拟)设函数f(x)＝|1－x|－|x＋3|.
(1)求不等式f(x)≤1的解集；
(2)假设函数f(x)的最大值为m，正实数p，q满足p＋2q＝m，求＋的最小值．
解　(1)不等式可化为
或
或
解得x≥－，
∴不等式f(x)≤1的解集为.
(2)解法一：∵|1－x|－|x＋3|≤|1－x＋x＋3|＝4，
∴m＝4，p＋2q＝4，∴(p＋2)＋2q＝6，
＋＝(p＋2＋2q)
＝
≥＝，
当且仅当p＋2＝2q＝3，即时，取“＝〞，
∴＋的最小值为.
解法二：∵|1－x|－|x＋3|≤|1－x＋x＋3|＝4，
∴m＝4，p＋2q＝4，∴p＝4－2q，q∈(0,2)，
＋＝＋＝
＝＝，
∵q∈(0,2)，∴当q＝时，＋取得最小值.
8．(2022·太原二模)函数f(x)＝|2x－a|－|x＋2a|(a>0)．
(1)当a＝时，求不等式f(x)≥1的解集；
(2)假设∀k∈R，∃x0∈R，使得f(x0)≤|k＋3|－|k－2|成立，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝时，原不等式为|2x－|－|x＋1|≥1，
∴或或
∴x<－1或－1≤x≤－或x≥，
∴原不等式的解集为∪.
(2)由题意得f(x)min≤(|k＋3|－|k－2|)min，
∵f(x)＝
∴f(x)min＝f＝－a，
∵－5＝－|(k＋3)－(k－2)|≤|k＋3|－|k－2|，
∴(|k＋3|－|k－2|)min＝－5，
∴－a≤－5，∴a≥2，
∴a的取值范围是[2，＋∞)．
9．(2022·广州二模)函数f(x)＝|2x－1|－A．
(1)当a＝1时，解不等式f(x)＞x＋1；
(2)假设存在实数x，使得f(x)＜f(x＋1)成立，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，由f(x)＞x＋1，得|2x－1|－1＞x＋1.
当x≥时，2x－1－1＞x＋1，解得x＞3.
当x＜时，1－2x－1＞x＋1，解得x＜－.
综上可知，不等式f(x)＞x＋1的解集为.
(2)由f(x)2|2x－1|－|2x＋1|，
令g(x)＝2|2x－1|－|2x＋1|，
那么问题等价于a>g(x)min.
因为||2x－1|－|2x＋1||≤|(2x－1)－(2x＋1)|，
即－2≤|2x－1|－|2x＋1|≤2，
那么|2x－1|－|2x＋1|≥－2.
所以g(x)＝|2x－1|－|2x＋1|＋|2x－1|≥－2＋|2x－1|≥－2，
当且仅当x＝时等号成立．
所以g(x)min＝－2.
所以实数a的取值范围为(－2，＋∞)．
10．(2022·洛阳市高三联考)设函数f(x)＝x－|x＋2|－|x－3|－m，假设∀x∈R，－4≥f(x)恒成立．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求证：log(m＋1)(m＋2)>log(m＋2)(m＋3)．
解　(1)∵x∈R，－4≥f(x)恒成立，
∴m＋≥x－|x＋2|－|x－3|＋4恒成立．
令g(x)＝x－|x＋2|－|x－3|＋4＝
那么函数g(x)在(－∞，3]上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数，
∴g(x)max＝g(3)＝2，∴m＋≥g(x)max＝2，
即m＋－2≥0，∴＝≥0，
∴m>0，
综上，实数m的取值范围是(0，＋∞)．
(2)证明：由m>0，知m＋3>m＋2>m＋1>1，
∴lg (m＋3)>lg (m＋2)>lg (m＋1)>lg 1＝0.
要证log(m＋1)(m＋2)>log(m＋2)(m＋3)，
只需证>，即证lg (m＋1)·lg (m＋3)log(m＋2)(m＋3)成立．
11．(2022·四川成都第二次诊断性检测)函数f(x)＝4－|x|－|x－3|.
(1)求不等式f≥0的解集；
(2)假设p，q，r为正实数，且＋＋＝4，求3p＋2q＋r的最小值．
解　(1)f＝4－|x＋|－|x－|≥0.
根据绝对值的几何意义，得
|x＋|＋|x－|表示点(x,0)到A，B两点的距离之和．
接下来找出到A，B的距离之和为4的点．
将点A向左移动个单位到点A1(－2,0)，
这时有|A1A|＋|A1B|＝4；
同理，将点B向右移动个单位到点B1(2,0)，这时有|B1A|＋|B1B|＝4.
∴|x＋|＋|x－|≤4，即f≥0的解集为[－2,2]．
(2)令a1＝，a2＝，a3＝.
由柯西不等式，得
(a＋a＋a)
≥2.
即(3p＋2q＋r)≥9.
∵＋＋＝4，∴3p＋2q＋r≥，
当且仅当＝＝＝，
即p＝，q＝，r＝时，取等号．
∴3p＋2q＋r的最小值为.