2022届高考数学一轮复习核心素养测评第二章2.9函数的应用理含解析北师大版.doc

核心素养测评十二函数的应用(30分钟60分)一、选择题(每题5分,共25分)1.某股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先后经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下降10%),那么该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.不盈不亏D.无法判断【解析】选B.设这只股票的价格为a元,那么经历n次涨停后的价格为a1.1n,再经历n次跌停后的价格为a1.1n0.9n=0.99na7,代入B选项,得y=x2-13,代入D选项,得y=x38;取x=3,代入A选项,得y=-1=15,代入B选项,得y=x2-1=8,代入D选项,得y=x3=27.4.(2022合肥模拟)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t(s),他与教练间的距离为y(m),表示y与t的函数关系的图像大致如图2所示,那么这个固定位置可能是图1中的()A.点MB.点NC.点PD.点Q【解析】选D.假设这个位置在点M,那么从A至B这段时间,y不随时间的变化改变,与函数图像不符,故A选项错误;假设这个位置在点N,那么从A至C这段时间,A点与C点对应y的大小应该相同,与函数图像不符,故B选项错误;假设这个位置在点P,那么由函数图像可得,从A到C的过程中,会有一个时刻,教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离,而点P不符合这个条件,故C选项错误;经判断点Q符合函数图像,故D选项正确.5.一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.世纪金榜导学号给出以下3个论断:0点到3点只进水不出水;3点到4点不进水只出水;4点到6点不进水不出水,那么一定正确的选项是()A.B.C.D.【解析】选A.由甲、乙两图知,进水速度是出水速度的,所以0点到3点不出水,3点到4点可能一个进水口进水,一个出水口出水,但总蓄水量降低,4点到6点也可能两个进水口进水,一个出水口出水,一定正确的选项是.二、填空题(每题5分,共15分)6.某公司一年购置某种货物600吨,每次购置x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,那么x的值是_.【解析】总费用为4x+6=442=240,当且仅当x=,即x=30时等号成立.答案:307.(2022唐山模拟)在如下图的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影局部),那么其边长x为_m.【解析】设矩形花园中与x相邻的另一边长为y m,那么=,即y=40-x,矩形花园的面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400,当x=20 m时,面积最大.答案:208.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据,可以得到最正确加工时间为_分钟.世纪金榜导学号【解析】由实验数据和函数模型知,二次函数p=at2+bt+c的图像过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分别代入解析式,得解得所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以当t=3.75时,可食用率p最大,即最正确加工时间为3.75分钟.答案:3.75三、解答题(每题10分,共20分)9.某种出口产品的关税税率为t,市场价格x(单位:千元)与市场供给量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=,其中k,b均为常数.当关税税率t=75%时,假设市场价格为5千元,那么市场供给量约为1万件;假设市场价格为7千元,那么市场供给量约为2万件.(1)试确定k,b的值.(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:q=2-x,当p=q时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.【解析】(1)由解得b=5,k=1.(2)当p=q时,=2-x,所以(1-t)(x-5)2=-xt=1+=1+.而f(x)=x+在(0,4上单调递减,所以当x=4时,f(x)有最小值,故当x=4时,关税税率的最大值为500%.10.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元.世纪金榜导学号(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系.(2)假设该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?【解析】(1)设两类产品的收益与投资的函数关系分别为f(x)=k1x,g(x)=k2.由得f(1)=k1,g(1)=k2,所以f(x)=x(x0),g(x)=(x0).(2)设投资股票类产品为x万元,那么投资债券类产品为(20-x)万元.依题意得y=f(20-x)+g(x)=+=(0x20).所以=2,即x=4时,收益最大,ymax=3万元.故投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时获得最大收益,为3万元.(15分钟35分)1.(5分)(2022邯郸模拟)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传,在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y=1+(x0).生产此产品的年固定投入为4万元,每生产1万件此产品仍需再投入30万元,且能全部售完.假设每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品生产本钱的150%与“年平均每件甲产品所占广告费的50%之和,那么当广告费为1万元时,该企业甲产品的年利润为()万元万元万元万元【解析】选B.由题意,产品的生产本钱为(30y+4)万元,销售单价为150%+50%,故年销售收入为z=y=45y+6+x.所以年利润W=z-(30y+4)-x=15y+2-=17+-(万元).所以当广告费为1万元时,即x=1时,该企业甲产品的年利润为17+-=31.5(万元).【变式备选】甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶,甲、乙两车的速度曲线分别为v甲和v乙,如下图,那么对于图中给定的t0和t1,以下判断中一定正确的选项是()A.在t1时刻,甲车在乙车前面B.t1时刻后,甲车在乙车后面C.在t0时刻,两车的位置相同D.t0时刻后,乙车在甲车前面【解析】选A.由图像可知,曲线v甲比v乙在0t0,0t1与t轴所围成的图形面积大,那么在t0,t1时刻,甲车均在乙车前面.2.(5分)(2022南京模拟)近年来,“共享单车的出现为市民“绿色出行提供了极大的方便,某共享单车公司方案在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每座城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=3-6,乙城市收益Q(单位:万元)与投入A(单位:万元)满足Q=A+2,那么投资两座城市收益的最大值为()A.26万元B.44万元C.48万元D.72万元【解析】选B.设在甲城市投资x万元,在乙城市投资(120-x)万元,所以总收益f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26,由题意知解得40x80.令t=,那么t2,4,所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44,当t=6,即x=72时,y取得最大值44,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.3.(5分)某工厂生产某种产品的月产量y(单位:万件)与月份x之间满足关系y=a0.5x+b,现该产品1月、2月的产量分别为1万件、1.5万件,那么该产品3月份的产量为_万件.【解析】由得解得故当x=3时y=-20.53+2=1.75.答案:1.754.(10分)某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流本钱,购置x台机器人的总本钱p(x)=x2+x+150(万元).世纪金榜导学号(1)假设使每台机器人的平均本钱最低,问应买多少台?(2)现按(1)中的数量购置机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图),经实验知,每台机器人的日平均分拣量q(m)=(单位:件),传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件,问引进机器人后,日平均分拣量到达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几?【解析】(1)由总本钱p(x)=x2+x+150(万元),可得每台机器人的平均本钱y=x+12+1=2.当且仅当x=,即x=300时,上式等号成立.所以假设使每台机器人的平均本钱最低,应买300台.(2)引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量q(m)=当1m30时,300台机器人的日平均分拣量为160m(60-m)=-160m2+9 600m,所以当m=30时,日平均分拣量有最大值144 000.当m30时,日平均分拣量为480300=144 000.所以300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件.假设传统人工分拣144 000件,那么需要人数为=120人.所以日平均分拣量到达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少100%=75%.【变式备选】某公司制订了一个鼓励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,假设超出A万元,那么额外奖励2log5(A+1)万元.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).(1)写出该公司鼓励销售人员的奖励方案的函数模型.(2)如果业务员小李获得3.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?【解析】(1)由题意得,该公司鼓励销售人员的奖励方案的函数模型为y=(2)由(1)知,当x0,10时,00.15x1.5,因为业务员小李获得3.5万元的奖金,即y=3.5,所以x10,因此1.5+2log5(x-9)=3.5,解得x=14.所以业务员小李的销售利润是14万元.5.(10分)某公司为了实现年销售利润1 000万元的目标,准备制定一个鼓励销售人员的奖励方案:从销售利润到达10万元开始,按销售利润进行奖励,且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时奖金数额不超过销售利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.025x,y=1.003x,y=ln x+1,问其中是否有模型能完全符合公司的要求?请说明理由.世纪金榜导学号(参考数据:1.0035385,e=2.718 28,e82 981)【解析】由题意,符合公司要求的模型需同时满足:当x10,1 000时,函数为增函数;函数的最大值不超过5;yx25%.(1)对于y=0.025x,易知满足,但当x200时,y5,不满足公司的要求.(2)对于y=1.003x,易知满足,但当x538时,y5,不满足公司的要求.(3)对于y=ln x+1,易知满足.当x10,1 000时,yln 1 000+1.下面证明ln 1 000+15.因为ln 1 000+1-5=ln 1 000-4=(ln 1 000-8)=(ln 1 000-ln 2 981)0,满足.再证明ln x+1x25%,即2ln x+4-x0.设F(x)=2ln x+4-x,那么F(x)=-1=0,x10,1 000,所以F(x)在10,1 000上为减函数,F(x)max=F(10)=2ln 10+4-10=2ln 10-6=2(ln 10-3)0).假设不管资金如何投入,经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元,那么a的最小值应为世纪金榜导学号()A.B.5C.D.2【解析】选A.设投入x万元经销甲商品,那么经销乙商品投入(20-x)万元,总利润y=P+Q=+.令y5,那么+5对0x20恒成立.所以a10-,所以a对0x20恒成立.令f(x)=,因为f(x)=的最大值为,且x=20时,a10-也成立,所以amin=.2.食品平安问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单元:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).世纪金榜导学号(1)求f(50)的值.(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?【解析】(1)由题意知甲大棚投入50万元,那么乙大棚投入150万元,所以f(50)=80+4+150+120=277.5(万元).(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,依题意得20x180,故f(x)=-x+4+250(20x180).令t=,那么t2,6,y=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,当t=8,即x=128时,f(x)取得最大值,f(x)max=282.所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大.- 10 -