2022高考数学一轮复习课后限时集训4函数及其表示理.doc

课后限时集训4
函数及其表示
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一、选择题
1．下列所给图像是函数图像的个数为(　　)

①　　　②　　　 ③　　　　④
A．1　　 B．2　　　　
C．3　　 D．4
B　[①中当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图像，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图像，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图像．]
2．(2019·成都模拟)函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为(　　)
A． B．
C．(－1,0)∪ D．(－∞，－1)∪
D　[由1－2x＞0，且x＋1≠0，得x＜且x≠－1，所以函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为(－∞，－1)∪.]
3．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于(　　)
A. B．－
C. D．－
A　[令t＝x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，
则4a－1＝6，解得a＝.]
4．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图像过原点，则g(x)的解析式为(　　)
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
B　[设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵g(1)＝1，g(－1)＝5，
且图像过原点，
∴解得

∴g(x)＝3x2－2x.]
5．已知函数f(x)＝且f(x0)＝1，则x0＝(　　)
A．0 B．4
C．0或4 D．1或3
C　[当x0≤1时，由f(x0)＝2x0＝1，得x0＝0(满足x0≤1)；当x0＞1时，由f(x0)＝log3(x0－1)＝1，得x0－1＝3，则x0＝4(满足x0＞1)，故选C.]
二、填空题
6．若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是________．
[0,1)　[由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，所以0≤x＜1，即g(x)的定义域为[0,1)．]
7．设函数f(x)＝则f(f(2))＝___函数f(x)的值域是________．
－　[－3，＋∞)　[∵f(2)＝，∴f(f(2))＝f＝－－2＝－.
当x＞1时，f(x)∈(0,1)，
当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，
∴f(x)∈[－3，＋∞)．]
8．若f(x)对任意x∈R恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝________.
2　[由题意可知
解得f(1)＝2.]
三、解答题
9．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图像．

[解]　(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f1)，
得
解得所以f(x)＝
(2)函数f(x)的图像如图所示．

10．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图．

(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度．
[解]　(1)由题意及函数图像，
得
解得m＝，n＝0，所以y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70 km/h.

1．设函数f(x)＝若f ＝2，则实数n的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
D　[因为f ＝2×＋n＝＋n，
当＋n＜1，即n＜－时，f ＝2＋n＝2，解得n＝－，不符合题意；
当＋n≥1，即n≥－时，
f ＝log2＝2，即＋n＝4，
解得n＝，符合题意，故选D.]
2．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]＞0，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D　[当a＞0时，不等式a[f(a)－f(－a)]＞0化为a2＋a－3a＞0，
解得a＞2.
当a＜0时，不等式a[f(a)－f(－a)]＞0化为－a2－2a＜0，
解得a＜－2.
综上可得实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]
3．设函数f(x)＝若f(x)≥f(1)恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．[1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
A　[若f(x)≥f(1)恒成立，则f(1)是f(x)的最小值，则当x≤1时，f(x)≥f(1)恒成立，又函数y＝(x－a)2－1的图像的对称轴为直线x＝a，所以a≥1.由分段函数性质得(1－a)2－1≤ln 1，得0≤a≤2.综上可得，实数a的取值范围为1≤a≤2，故选A.]
4．(2019·平顶山模拟)已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；
③f(x)＝
其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)
①③　[对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足题意；对于③，f＝
即f＝
故f＝－f(x)，满足题意．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]

1．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2　　 B．4　　　　
C．6　　 D．8
C　[当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，
解得a＝或a＝0(舍去)．
∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1≥2，
∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∴2(a－1)＝2a，无解．
综上，f＝6.]
2．已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]＝1，[－1.2]＝－2，[1]＝1.对于函数f(x)，若存在m∈R且m∉Z，使得f(m)＝f([m])，则称函数f(x)是Ω函数．
(1)判断函数f(x)＝x2－x，g(x)＝sin πx是否是Ω函数(只需写出结论)；
(2)已知f(x)＝x＋，请写出a的一个值，使得f(x)为Ω函数，并给出证明．
[解]　(1)f(x)＝x2－x是Ω函数，g(x)＝sin πx不是Ω函数．
(2)法一：取k＝1，a＝∈(1,2)，则令[m]＝1，m＝＝，此时f ＝f ＝f(1)，
所以f(x)是Ω函数．
证明：设k∈N＋，取a∈(k2，k2＋k)，令[m]＝k，m＝，则一定有m－[m]＝－k＝∈(0,1)，且f(m)＝f([m])，所以f(x)是Ω函数．
法二：取k＝1，a＝∈(0,1)，则令[m]＝－1，m＝－，此时f ＝f ＝f(－1)，
所以f(x)是Ω函数．
证明：设k∈N＋，取a∈(k2－k，k2)，令[m]＝－k，m＝－，则一定有m－[m]＝－－(－k)＝∈(0,1)，且f(m)＝f([m])，所以f(x)是Ω函数．