2022高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第5讲椭圆课时作业含解析北师大版.doc

椭圆
课时作业
1．假设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，那么椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以e＝＝，应选C．
2．椭圆＋＝1，长轴在y轴上，假设焦距为4，那么m等于(　　)
A．4 B．5
C．7 D．8
答案　D
解析　椭圆焦点在y轴上，∴a2＝m－2，b2＝10－m.又c＝2，∴m－2－(10－m)＝c2＝4.∴m＝8.
3．(2022·杭州模拟)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．假设△AF1B的周长为4，那么C的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案　A
解析　由题意及椭圆的定义知4a＝4，那么a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1.选A．
4．椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，那么|ON|等于(　　)
A．2 B．4
C．8 D．
答案　B
解析　|ON|＝|MF2|＝×(2a－|MF1|)＝×(10－2)＝4，应选B．
5．(2022·河南豫北联考)点P是椭圆＋y2＝1(a>1)上的点，A，B是椭圆的左、右顶点，那么△PAB的面积为(　　)
A．2 B．
C． D．1
答案　D
解析　由题可得＋＝1，∴a2＝2，解得a＝(负值舍去)，那么S△PAB＝×2a×＝1，应选D．
6．(2022·吉林长春模拟)椭圆＋y2＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，那么·的取值范围是(　　)
A．[－1,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[－1,2]
答案　C
解析　由椭圆方程得F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x，y)，∴＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，那么·＝x2＋y2－1＝∈[0,1]，应选C．
7．(2022·湖南郴州模拟)设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，那么实数k的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．
C．(0,3)∪ D．(0,2)
答案　C
解析　当k>4时，c＝，由条件知<<1，解得k>；当0
C．4 D．6
答案　C
解析　由题意知，A，B恰好在圆M上且AB为圆M的直径，∴|PA|＋|PB|＝2a＝4，|PA|2＋|PB|2＝(2c)2＝40，∴(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA||PB|，解得2|PA||PB|＝8，∴(|PA|－|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA||PB|＝32，那么||PA|－|PB||＝4，应选C．
10．(2022·西安摸底检测)设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝，假设AB＝4，BC＝，那么椭圆的两个焦点之间的距离为(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　不妨设椭圆的标准方程为＋＝1a>b>0)，如图，由题意知，2a＝4，a＝2，
∵∠CBA＝，BC＝，
∴点C的坐标为(－1,1)，
∵点C在椭圆上，∴＋＝1，∴b2＝，∴c2＝a2－b2＝4－＝，c＝，那么椭圆的两个焦点之间的距离为.
11．(2022·山西八校联考)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，假设△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么|y1－y2|的值为(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　在椭圆＋＝1中，a＝5，b＝4，所以c＝3.
故椭圆左、右焦点分别为F1(－3,0)，F2(3,0)．
由△ABF2的内切圆周长为π，可得内切圆的半径为r＝.△ABF2的面积＝△AF1F2的面积＋△BF1F2的面积＝|y1|·|F1F2|＋|y2|·|F1F2|＝(|y1|＋|y2|)·|F1F2|＝3|y1－y2|(A，B在x轴的上下两侧)，又△ABF2的面积＝r(|AB|＋|BF2|＋|F2A|)＝×(2a＋2a)＝a＝5，所以3|y1－y2|＝5，即|y1－y2|＝.
12．(2022·湖北八校联考)如图，椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，那么椭圆C的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案　C
解析　由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|＝|FF′|知，∠FPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，得a2＝49，于是b2＝a2－c2＝72－52＝24，所以椭圆C的方程为＋＝1，应选C．
13．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，那么C的离心率为________．
答案　
解析　设|PF2|＝m，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2m，|F1F2|＝m.又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c.∴2a＝3m,2c＝m，∴C的离心率为e＝＝.
14．(2022·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．假设△MF1F2为等腰三角形，那么M的坐标为________.
答案　(3，)
解析　设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆＋＝1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)．
15．(2022·浙江高考)椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．假设线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，那么直线PF的斜率是________．
答案　
解析　如图，左焦点F(－2,0)，右焦点F′(2,0)．
线段PF的中点M在以O(0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM＝2.
在△FF′P中，OMPF′，
所以PF′＝4.
根据椭圆的定义，得PF＋PF′＝6，
所以PF＝2.
又因为FF′＝4，
所以在Rt△MFF′中，
tan∠PFF′＝＝＝，
即直线PF的斜率是.
16．(2022·南充模拟)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线y＝x相交于P，Q两点，且·＝0，＝3，那么椭圆C的标准方程为________，圆A的标准方程为________．
答案　＋y2＝1　(x－2)2＋y2＝
解析　如图，设T为线段PQ的中点，连接AT，那么AT⊥PQ.
∵·＝0，即AP⊥AQ，
∴|AT|＝|PQ|.
又＝3，
∴|OT|＝|PQ|.
∴＝，即＝.
由得半焦距c＝，∴a2＝4，b2＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
又|AT|2＋|OT|2＝4，
∴|AT|2＋4|AT|2＝4，
∴|AT|＝，r＝|AP|＝.
∴圆A的方程为(x－2)2＋y2＝.
17．(2022·全国卷Ⅱ)F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)假设△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
解　(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当
|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．
18．(2022·成都一诊)椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．
(1)假设直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；
(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l.
解　由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)．
(1)∵直线l1的倾斜角为，∴斜率k＝1.
∴直线l1的方程为y＝x－1.
代入椭圆方程，可得9x2－10x－15＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴|AB|＝·
＝×＝.
(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)．
代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
那么x1＋x2＝，x1x2＝.
设N(5，y0)，∵A，M，N三点共线，
∴＝，∴y0＝.
而y0－y2＝－y2＝－k(x2－1)
＝
＝＝0.
∴直线BN∥x轴，即直线BN⊥l.
19．(2022·广东广州联考)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点A(2,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)假设不经过点A的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值．
解　(1)因为椭圆C的焦距为2，且过点A(2,1)，
所以＋＝1,2c＝2.
又因为a2＝b2＋c2，由以上三式解得a2＝8，b2＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2≠2，
那么y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m.
由消去y并整理，得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－8＝0，
那么x1＋x2＝，x1x2＝.
因为kAP＋kAQ＝0，所以＝－，

化简得x1y2＋x2y1－(x1＋x2)－2(y1＋y2)＋4＝0.
即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4m＋4＝0.
所以－－4m＋4＝0，
整理得(2k－1)(m＋2k－1)＝0.
因为直线l不经过点A，
所以2k＋m－1≠0，所以k＝.
所以直线PQ的斜率为定值，该值为.
20．(2022·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B．椭圆的短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，假设|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
解　(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，
因为B(0,2)，那么直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立，得
整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，
可得xP＝－，
代入y＝kx＋2得yP＝，
进而直线OP的斜率为＝.
在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.
由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.
由OP⊥MN，得·＝－1，
化简得k2＝，
从而k＝±.
所以直线PB的斜率为或－.