2013年高考理科数学全国卷1.docx

在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------
绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)
理科数学
使用地区：河南、山西、河北
姓名________________ 准考证号_____________
注意事项：
1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页.
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.
4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则 (　　)
A.
B.
C.
D.
2.若复数满足,则的虚部为 (　　)
A.
B.
C.4
D.
3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 (　　)
A.简单随机抽样
B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样
D.系统抽样
4.已知双曲线：的离心率为,则的渐近线方程为 (　　)
A.
B.
C.
D.
5.执行如图的程序框图,如果输入的,则输出的属于 (　　)
A.
B.
C.
D.

6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器
高,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球
面恰好接触水面时测得水深为,如果不计容器的
厚度,则球的体积为 (　　)
A.
B.
C.
D.
7.设等差数列的前项和为,,,,则 (　　)
A.3
B.4
C.5
D.6
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 (　　)
A.
B.
C.
D.
9.设为正整数,展开式的二项式系数的最大值为,展开式的二项式系数的最大值为.若,则 (　　)
A.5
B.6
C.7
D.8
10.已知椭圆：的右焦点为,过点的直线交于,两点.若的中点坐标为,则的方程为 (　　)
A.
B.
C.
D.
11.已知函数若,则的取值范围是 (　　)
A.
B
C.
D.
12.设的三边长分别为,,,的面积为,.若,,,,,则 (　　)
A.为递增数列
B.为递减数列
C.为递增数列,为递减数列
D.为递减数列,为递增数列
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.
13.已知两个单位向量,的夹角为,.若,则________.
14.若数列的前项和,则的通项公式是________.
15.设当时,函数取得最大值,则________.
16.设函数的图象关于直线对称,则的最大值为________.
三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
如图,在中,,,,
为内一点,.
（Ⅰ）若,求；
（Ⅱ）若,求.
18.（本小题满分12分）
如图,三棱柱中,,,.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若平面平面,,求直线与平面所成角的正弦值.

19.（本小题满分12分）
一批产品需要进行质量检验,检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为.如果,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验；如果,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验；其他情况下,这批产品都不能通过检验.
假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为(单位:元),求的分布列及数学期望.

20.（本小题满分12分）
已知圆:,圆:,动圆与圆外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线交于,两点,当圆的半径最长时,求.

21.（本小题满分12分）
设函数,若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.
（Ⅰ）求,,,的值；
（Ⅱ）若时,,求的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲
如图,直线为圆的切线,切点为,点在圆上,的角平分线交圆于点,垂直交圆于点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设圆的半径为1,,延长交于点,求外接圆的半径.

23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）把的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求与交点的极坐标.

24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲
已知函数,.
（Ⅰ）当时,求不等式的解集；
（Ⅱ）设,且当时,,求的取值范围.
数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页） 数学试卷 第3页（共6页）