2023版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.7正弦定理余弦定理的应用举例练习理北师大版.doc

4.7 正弦定理、余弦定理的应用举例
核心考点·精准研析
考点一　测量距离问题
1.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,那么河流的宽度BC= (　　)
A.240(-1)m B.180(-1)m
C.120(-1)m D.30(+1)m
2.一船以每小时15km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60°,行驶4小时后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离
为 (　　)
A.60km　　 B.60km　 C.30km　　 D.30km
3.(2023·衡阳模拟)如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,那么AC的长为 (　　)
A.7km B.8km　 C.9km　 D.6km
4.如图,海中有一小岛C,一小船从A地出发由西向东航行,望见小岛C在北偏东60°,航行8海里到达B处,望见小岛C在北偏东15°,假设此小船不改变航行的方向继续前行2(-1)海里,那么离小岛C的距离为 (　　)
A.8(+2)海里　　　 　 B.2(-1)海里
C.2(+1)海里 D.4(+1)海里
【解析】1.选C.记气球在地面的投影为D,在Rt△ABD中,cos15°=,又cos15°=cos(60°-45°)=,所以AB=.在△ABC中,由正弦定理得=,所以BC==AB=120(-1)(m).
2.选A.画出图形如下图,在△ABC中,∠BAC=30°,AC=4×15=60,
∠B=45°,由正弦定理得=,
所以BC===60,
所以船与灯塔的距离为60km.
3.选A.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,即AC2=25+64-2×5×8cosB=89-80cosB.在△ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DCcosD,即AC2=25+9-2×5×3cosD=34-30cosD.因为∠B与∠D互补,所以cosB=-cosD,所以-=,解得AC=7(km).
4.选C.BC===4,
所以离小岛C的距离为

=
=2(+1)海里.
　距离问题的常见类型及解法
1.类型:测量距离问题常分为三种类型:山两侧、河两岸、河对岸.
2.解法:选择适宜的辅助测量点,构造三角形,将实际问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.
【秒杀绝招】
直角三角形解T1,记气球在地面的投影为D,在Rt△ACD中,tan60°=,所以CD=60,在Rt△ABD中,因为tan15°=,tan15°=tan(60°-45°)
=2-,所以BD=120-60,所以BC=CD-BD=120(-1)(m).
考点二　测量高度问题
【典例】1.一架直升飞机在200m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,那么塔高为 (　　)
A.m　 B.m
C.m D.m
2.如图,在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB1.从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角.那么从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为　　　　;塔BB1的高为　　　　m.
【解题导思】
序号
联想解题

1
由“测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°〞,想到作图,建立数学模型
2
由“60m〞“从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍〞“从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角〞,想到△A1AC∽△CBB1
【解析】1.选A.如下图.
在Rt△ACD中,CD==BE,
在△ABE中,由正弦定理得=,所以AB=,DE=BC=200-=(m).
2.设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α,那么AA1=60tanαm,BB1=60tan2αm.因为从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,所以△A1AC∽
△CBB1,所以=,所以AA1·BB1=900,所以3600tanαtan2α=900,所以tanα=(负值舍去),所以tan2α=,BB1=60tan2α=45m.
答案:　45
　求解高度问题的关注点
1.在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键.
2.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.
1.(2023·宜春模拟)某工厂实施煤改电工程防治雾霾,欲撤除高为AB的烟囱,
测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BCD=75°,
∠BDC=60°,CD=40米,并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°,且CE=1米,那么烟囱高AB=　　　　米.
【解析】∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=45°,
在△CBD中,由正弦定理得BC==20,
所以AB=1+tan30°·CB=1+20(米).
答案:(1+20)
2.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,那么此山的高度CD=　　　　　m.
【解析】在△ABC中,∠CAB=30°,∠ACB=75°-30°=45°,根据正弦定理知,=,即BC=×sin∠BAC=×=300(m),
所以CD=BC×tan∠DBC=300×=100(m).
答案:100
考点三　测量角度问题
命
题
精
解
读
1.考什么:航行方向问题,航行时间、速度问题等等.
2.怎么考:考查运用正弦定理、余弦定理解决航向,时间,速度等实际问题.
3.新趋势:运用正弦定理、余弦定理解决实际问题.
学
霸
好
方
法
1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时可以画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样将空间几何问题转化为平面几何问题,处理起来既清楚又不容易出现错误.
方向问题
【典例】如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,那么灯塔A在灯塔B的 (　　)
A.北偏东10°　 B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
【解析】选D.由条件及题干图知,∠CAB=∠CBA=40°,
又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,
所以∠DBA=10°,
因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.
解决测量角度问题时有哪些考前须知?
提示:1.测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义.
2.求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值.
3.在解应用题时,要由正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理使用的优点.
时间、速度问题
【典例】如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°方向600kmA处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450km以内的地区都将受到影响,那么该码头将受到热带风暴影响的时间为 (　　)
A.14h　　　 B.15h　　　 C.16h　　　 D.17h
【解析】选B.记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴中心到达点B位置,在△OAB中,OA=600km,AB=20tkm,∠OAB=45°,由余弦定理得OB2=6002+400t22×20t×600×,令OB2≤4502,即4t2-120t+1575≤0,解得≤t≤,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为-=15(h).
如何求解码头将受到热带风暴影响的时间?
提示:热带风暴速度,所以将时间问题转化为路程问题,即求出码头受到热带风暴影响时的风暴路线长度.运用解三角形知识求解即可.
1.如下图,两座花坛A和B与教学楼C的距离相等,花坛A在教学楼C的北偏东40°的方向上,花坛B在教学楼C的南偏东60°的方向上,那么花坛A在花坛B的　　　　的方向上.
【解析】由,∠ABC=(180°-80°)=50°,所以花坛A在花坛B的北偏西10°的方向上.
答案:北偏西10°

2.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30°,风速是20km/h;水的流向是正东,流速是20km/h,假设不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东　　　　,大小为　　　　km/h.
【解析】如图∠AOB=60°,由余弦定理知OC2=202+202-800cos120°=1200,故OC=20,∠COY=30°+30°=60°.
答案:60°　20
1.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,那么从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于 (　　)
A.30°　 B.45° C.60° D.75°
【解析】选B.由,AD=20m,AC=30m,
又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理得
cos∠CAD=
===,
又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
2.如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.
【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,那么CD=10t海里,BD=10t海里,在△ABC中,由余弦定理得,
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=(-1)2+22-2(-1)×2×cos120°=6,解得BC=,
又因为=,
所以sin∠ABC===,
所以∠ABC=45°,B点在C点的正东方向上,
所以∠CBD=90°+30°=120°,
在△BCD中,由正弦定理,得
=,
所以sin∠BCD===.
所以∠BCD=30°,缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,
所以∠D=30°,所以BD=BC,即10t=,
解得t=(小时)≈15(分钟).
所以缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.
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