1995年全国统一高考数学试卷(理科).doc

１995年全国统一高考数学试卷（理科）
一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题５,满分65分）
1．（4分）已知Ｉ为全集，集合M,Ｎ⊂I,若M∩N＝Ｎ,则（ )

A．

B.

C.

D．

2．(4分）(2007•奉贤区一模）函数y＝1+的图象是（ 　)

A．

B.

C.

Ｄ．

3．(4分）函数y＝４ｓｉn(３x＋)+3cos（3x＋)的最小正周期是（ 　）

A.
6π
B.
2π
C．

D．

4.(4分)正方体的表面积是ａ２，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（　　）

A．

B.

C.
2πａ2
D.
3πa2
5.（４分)若图中的直线l１,ｌ2,ｌ3的斜率分别为ｋ１,k2，k3，则( 　）

Ａ．
ｋ18•西城区二模）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是( ）

A．
y=±3ｘ
Ｂ．
y=±ｘ
C.
y=±x
Ｄ.
y=±ｘ
9.（4分）已知θ是第三象限角,且sin４θ+cｏs4θ=,那么sin2θ等于( 　）

Ａ．

B．

C.

D.

10．（4分）（2014•市中区二模）已知直线ｌ⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题
①α∥β=l⊥m;
②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；
④l⊥ｍ⇒α∥β.
其中正确命题的序号是( ）

A．
①②③
Ｂ．
②③④
C．
①③
D．
②④
１１．（5分）(201２•荆州模拟）函数y＝loga(２﹣ax)在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是( 　）

A．
(0，１)
B．
（0，2)
Ｃ.
(1,2）
D.
（2，+∞)
１2.(5分）等差数列｛an},{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,若，则等于( ）

A．
1
Ｂ.

C．

D.

1３.（5分)用1,２,3，4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共（　 )

A．
2４个
B.
30个
Ｃ．
40个
D．
6０个
14.(5分)在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点(2c,0),离心率为e，则它的极坐标方程是（ 　)

A．

B．

Ｃ.

D．

15．（5分）(２0１0•内江二模)如图,A１B1C1﹣ABC是直三棱柱,∠ＢCA＝９0°，点D1、F1分别是Ａ１Ｂ1、A1C1的中点,若BC=CA＝CC1，则ＢD1与AF１所成角的余弦值是(　 ）

A.

Ｂ.

C.

Ｄ.

二、填空题(共5小题,每小题4分，满分２0分)
16.（４分）不等式的解集是 ____＿___＿　.
１7.（４分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心,母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为　___＿＿____　.
1８．(4分)（2012•许昌二模)函数ｙ＝ｓin(x﹣）cｏsx的最小值　＿____＿_＿_ .
1９.(4分)（２010•郑州二模)若直线l过抛物线y＝ax2（a＞0)的焦点,并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4,则a= _______＿_　．
20.（４分)四个不同的小球放入编号为1，2,3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有　　___＿＿____　种（用数字作答）.
三、解答题（共6小题，满分65分）
21．(7分）在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Ｚ２,Z3,O (其中O是原点)，已知Z2对应复数．求Z1和Z３对应的复数．
22.(1０分)求ｓin２20°＋cos2５０°sin2０°cｏs5０°的值．
23．（12分)如图,圆柱的轴截面ABCＤ是正方形,点E在底面的圆周上,AF⊥DE,F是垂足.
（1）求证：ＡF⊥DB;
（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ＡBE的体积的比等于３π,求直线DE与平面ABCＤ所成的角．
24.（12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为ｘ元／千克,政府补贴为ｔ元/千克.根据市场调查，当8≤ｘ≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=１000（ｘ+t﹣8）（ x≥8,t≥0），Q=５00(８≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．
(1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域；
(2)为使市场平衡价格不高于每千克１0元，政府补贴至少为每千克多少元?
25.(１2分）设{aｎ}是由正数组成的等比数列,Sn是其前ｎ项和.
(１）证明;
（2）是否存在常数c>０，使得成立？并证明你的结论.
26．（12分）已知椭圆,直线．Ｐ是ｌ上点，射线OＰ交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足｜OＱ|•|ＯＰ|=｜OＲ|2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
1995年全国统一高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共15小题，1-１0每小题４分，１1-１5每小题5,满分６5分）
1.（4分)已知I为全集，集合M,N⊂I，若M∩N=N,则（ 　)

Ａ．

Ｂ．

C.

D.

考点:
集合的包含关系判断及应用.
分析:
根据题意,做出图示，依次分析选项可得答案.
解答：
解:根据题意，若M∩N=Ｎ，则N⊆Ｍ,
做出图示如图,
分析可得,必有,
故选Ｃ．

点评:
本题考查集合间关系的判定，要根据图示，简单直接的解题.
2．（4分）(200７•奉贤区一模)函数y=1+的图象是（ )

A.

B.

Ｃ．

D.

考点:
函数的图象与图象变化．
专题:
数形结合．
分析:
把函数y＝的图象先经过左右平移得到ｙ=的图象,再经过上下平移得到y=+1的图象．
解答:
解:将函数y＝的图象向右平移１个单位，得到ｙ=的图象,再把y＝的图象向上平移一个单位，即得到
ｙ=+1的图象，
故选 Ａ.
点评：
本题考查函数图象的平移规律和平移的方法，体现了数形结合的数学思想．
3．(４分）函数y=４ｓｉn（3x+)+３ｃｏs（３x+）的最小正周期是（　　)

A．
6π
B．
2π
Ｃ.

Ｄ.

考点:
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换；三角函数中的恒等变换应用.
专题:
计算题．
分析：
先根据三角函数的辅角公式将函数化简为y=Asiｎ(wx+ρ）的形式,再由T＝可得到答案.
解答:
解:∵y＝4siｎ(3ｘ+)+3cos（3x+)=5sｉn(3ｘ++φ）(其中ｓiｎφ=,cｏsφ=)
∴T=
故选Ｃ.
点评:
本题主要考查三角函数最小正周期的求法，即先将函数化简为y=Ａsin（wx＋ρ)的形式，再由T=确定结果.
４．(4分）正方体的表面积是ａ2,它的顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是（　 ）

A．

Ｂ．

Ｃ．
２πa2
Ｄ.
3πa２
考点：
球内接多面体.
专题：
计算题．
分析：
设球的半径为R,则正方体的对角线长为2R，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积．
解答:
解：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，
依题意知R2=ａ２,即R２=a2，
∴S球=4πR2=4π•a2=.
故选B
点评:
本题是基础题,解题的突破口是正方体的体对角线就是球的直径,正确进行正方体的表面积的计算,是解好本题的关键,考查计算能力．
５．(4分)若图中的直线ｌ1,l2，l３的斜率分别为ｋ1，ｋ2，k3，则（　 ）

A.
k1＜k2切值)的定义和正切函数的单调性可得.
解答:
解:直线l1的倾斜角是钝角,则斜率k1＜0；
直线ｌ2与l３的倾斜角都是锐角，斜率都是正数，
但直线l2的倾斜角大于ｌ3的倾斜角，所以k２＞ｋ3>0,
所以ｋ１＜k3＜k2,
故选D．
点评：
本题考查直线斜率和图象的关系.
６.（4分）（2008•湖南）在（1﹣x３）（1+x)10展开式中,x５的系数是（　　）

Ａ．
﹣297
B.
﹣252
C.
297
D．
２０７
考点:
二项式定理的应用．
专题:
计算题.
分析:
先将多项式展开，转化成两二项式系数的差,利用二项展开式的通项公式求出第ｒ+1项,令x的指数为５，２求出二项展开式的系数．
解答：
解：(1﹣ｘ3）(1＋x）10=(1+x)１0﹣x3(１＋ｘ)10
∴(1﹣x3)（1+x）1０展开式的ｘ5的系数是(１＋x)1０的展开式的x5的系数减去（１+ｘ)10的x2的系数
∵（1+ｘ）10的展开式的通项为Tr+1＝C10rxr
令r＝5,2得（１+x)10展开式的含x５的系数为Ｃ1０5；展开式的含x2的系数为C１02
C1０5﹣C1０2＝２５2﹣45=207
故选项为D
点评:
本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
７.（4分)使arcsiｎx＞arｃcosx成立的x的取值范围是（ )

A.

B．

Ｃ.

D.
[﹣1,０）
考点：
反三角函数的运用.
专题：
计算题;转化思想.
分析：
注意ａrｃｓｉnx、ａｒcｃｏsx的范围以及正弦函数的单调性，利用反三角函数的性质，化简不等式,反三角函数的定义域，然后求解即可.
解答：
解:因为arｃsinx>aｒcｃosx　所以ｓiｎ(aｒcsｉnx)>ｓin（arccosx）
即:x＞，且ｘ∈[0，1]，所以解得x∈
故选B．
点评:
本题考查反三角函数的运用,注意函数的定义域，是基础题．
8.（４分)(20０8•西城区二模）双曲线3x2﹣ｙ2=3的渐近线方程是（　 ）

A.
y=±３ｘ
B.
y=±ｘ
C.
y=±ｘ
D.
y=±x
考点:
双曲线的简单性质．
专题：
计算题．
分析：
双曲线3x2﹣y2=３的标准形式为，其渐近线方程是,整理后就得到双曲线的渐近线.
解答：
解:双曲线３x2﹣y2＝３的标准形式为,
其渐近线方程是,
整理得.
故选Ｃ．
点评：
把双曲线方程转化成标准形式后再进行求解.
9．(4分)已知θ是第三象限角,且siｎ4θ+ｃｏｓ4θ=，那么sin2θ等于(　　)

A.

B.

C.

D.

考点：
三角函数中的恒等变换应用．
分析：
根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是sin2θ,所以把正弦和余弦的平方和等于１两边平方，又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果．
解答:
解：∵siｎ２θ+cｏs2θ=1,
∴ｓin4θ＋cos4θ+2ｓｉn2θcos2θ=1,
∵
∴
∵角是第三象限角，
∴sin2θ=，
故选A
点评:
已知一个角的某个三角函数式的值,求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解.
10．（4分)(2014•市中区二模）已知直线ｌ⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题
①α∥β＝l⊥m;
②α⊥β⇒ｌ∥m;
③l∥m⇒α⊥β；
④l⊥ｍ⇒α∥β.
其中正确命题的序号是(　 ）

A.
①②③
B．
②③④
C．
①③
D．
②④
考点:
平面与平面之间的位置关系．
专题：
综合题.
分析：
由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线ｌ⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；
当直线与平面都和同一平面垂直时,直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题;
由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α,再利用面面垂直的判定可得③为真命题；
当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行,也可以在平面内，如果直线ｍ在平面α内，则有α和β相交于m,故④为假命题.
解答：
解:l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β,所以有ｌ⊥m；即①为真命题；
因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内,又由直线m⊂平面β，所以l与m,可以平行，相交，异面；故②为假命题;
因为直线l⊥平面α且ｌ∥m可得直线ｍ⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；
由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交,即④为假命题.
所以真命题为①③．
故选　C．
点评:
本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查.重点考查课本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理,定理以及推论理解透彻，并会用.
1１．(5分）(20１２•荆州模拟）函数y=ｌｏｇa（2﹣ax）在[０，１]上是减函数，则a的取值范围是( 　)

Ａ．
(0，1）
Ｂ．
（0,2)
C．
（1,2)
D.
（2，+∞）
考点:
函数单调性的性质.
专题:
常规题型.
分析：
a>0⇒2﹣ａx在[0,1]上是减函数由复合函数的单调性可得a＞1,在利用对数函数的真数须大于0可解得a的取值范围.
解答：
解:∵a>0,
∴2﹣ax在[0，１]上是减函数．
∴y＝loｇau应为增函数，且u=2﹣ax在[0，1]上应恒大于零．
∴
∴1＜a＜2．
故答案为:Ｃ．
点评:
本题考查了对数函数与其它函数复合在一起的一新函数的单调性，复合函数的单调性遵循的原则是同增异减,即单调性相同复合在一起为增函数，单调性相反,复合在一起为减函数.
１2.（5分)等差数列{an｝,{bn}的前ｎ项和分别为Sｎ与Tn,若，则等于( 　）

A.
１
B.

Ｃ.

D．

考点:
等差数列的前ｎ项和;极限及其运算．
专题：
压轴题.
分析:
利用等差数列的性质求得，再求极限.
解答：
解:∵=
∴
故选C
点评:
本题主要考查等差数列的性质的运用.

13.(５分）用1，２,3,4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数,其中偶数共( )

A.
２4个
B．
３0个
C.
4０个
D．
60个
考点：
排列、组合的实际应用.
专题:
计算题；压轴题.
分析:
根据题意，分2步进行，首先分析个位数字,要求是偶数,则其个位数字为2或４，有2种情况,进而分析百位、十位，将剩下的4个数字，任取2个，分配在百位、十位即可,由分步计数原理,计算可得答案.
解答:
解：根据题意，要求是偶数,则其个位数字为2或4,有２种情况,
将剩下的４个数字,任取２个,分配在百位、十位，有A４2=12种情况,
由分步计数原理,可得共2×12=24个，
故选Ａ．
点评：
本题考查排列、组合的综合运用,注意题目中要求是偶数,要优先分析个位数字．
１４．(5分)在极坐标系中,椭圆的二焦点分别在极点和点（２c,0),离心率为e，则它的极坐标方程是（　 ）

A.

B.

Ｃ.

D.

考点:
简单曲线的极坐标方程．
专题：
计算题；压轴题.
分析:
欲求椭圆的极坐标方程，根据圆锥曲线统一的极坐标方程,只要求出几何量ｐ即可，从而确定它们的极坐标方程．
解答：
解:∵椭圆的极坐标方程,
ｐ即椭圆的焦点到相应准线的距离，
∴，
∴椭圆的极坐标方程是：．
故填:D．
点评
本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程,属于基础题.
15.(5分）(201０•内江二模）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=9０°,点D1、F1分别是A１B1、A1Ｃ1的中点，若BＣ=ＣA=ＣC1，则ＢD1与ＡF1所成角的余弦值是(　 )

A．

B．

C.

D.

考点:
异面直线及其所成的角．
专题:
计算题;压轴题.
分析：
先取BC的中点D，连接D1F1，F１D,将BD1平移到F１D，则∠DF１A就是异面直线BD1与ＡF1所成角，在△ＤF１Ａ中利用余弦定理求出此角即可.
解答:
解:取BC的中点D，连接Ｄ１F1，F1Ｄ
∴D１B∥ＤF1
∴∠ＤF１Ａ就是BＤ1与AF1所成角
设BC＝CA=CC１＝２，则ＡＤ=,AＦ1＝,DF１=
在△ＤF1A中，ｃos∠DF１A=，
故选A

点评：
本小题主要考查异面直线所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
二、填空题(共5小题，每小题4分，满分20分）
１6.(4分）不等式的解集是　{x|﹣２答案为:x|﹣2考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．
1８．（４分)(２0１２•许昌二模)函数y=sin（x﹣）ｃoｓx的最小值.
考点:
三角函数的最值．
专题:
计算题.
分析:
先根据两角和与差的公式和二倍角公式进行化简,再由正弦函数的最值可得到答案．
解答:
解:y＝sin（x﹣)cosx=(siｎx﹣cosx)cosx=sｉnxcｏsx﹣ｃoｓ2x
＝(cos2x＋1）＝﹣
∴y=ｓin(x﹣)cｏｓｘ的最小值为：
故答案为:﹣．
点评:
本题主要考查两角和与差的公式和二倍角公式的应用和正弦函数的最值．考查基础知识的综合应用和灵活能力.
19．(４分）（2０10•郑州二模)若直线l过抛物线ｙ＝ax２(ａ>0)的焦点,并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则ａ=．
考点:
抛物线的应用.
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先把抛物线方程整理成标准方程,可得焦点坐标．进而可得ｌ被抛物线截得的线段长，进而求得a．
解答:
解：抛物线方程整理得x2=y，焦点(０，）
l被抛物线截得的线段长即为通径长,
故＝4，ａ=;
故答案为．
点评:
本题主要考查抛物线的应用,属基础题．
20.（4分）四个不同的小球放入编号为1，２,3，4的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有 144　种（用数字作答)．
考点：
计数原理的应用.
专题:
计算题；压轴题．
分析：
由题意知需要先选两个元素作为一组再排列,恰有一个盒子中有２个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．
解答:
解:四个不同的小球放入编号为1,2，3,4的四个盒子中，
恰有一个空盒,说明恰有一个盒子中有２个小球，
从4个小球中选两个作为一个元素,同另外两个元素在三个位置全排列
故共有C4２A43＝１４４种不同的放法．
故答案为1４4.
点评：
本题考查分步计数原理,是一个基础题,解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列．
三、解答题（共６小题，满分65分）
21.7分）在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z１,Z2，Ｚ3，O (其中O是原点）,已知Z２对应复数．求Z１和Z3对应的复数．
考点：
复数的代数表示法及其几何意义．
分析：
由复数的三角形式和辐角主值可直接求解．
解答:
本小题主要考查复数基本概念和几何意义,以及运算能力．
解:设Ｚ1，Z３对应的复数分别为z１,ｚ3,依题设得==
==
点评:
采取合适的复数表达形式可给计算带来很大方便．
2２.(10分）求sin22０°+coｓ2５０°+sin20°cｏｓ50°的值.
考点:
三角函数中的恒等变换应用．
专题：
计算题.
分析:
先根据二倍角公式降幂,再由积化和差公式、和和差化积化简即可得到答案.
解答:
解：原式＝
=
==
点评:
本小题主要考查三角恒等式和运算能力．属基础题.
23．(12分)如图，圆柱的轴截面ＡBCD是正方形，点Ｅ在底面的圆周上，ＡF⊥DE,F是垂足．
（１)求证:AＦ⊥DＢ;
(2)如果圆柱与三棱锥D﹣AＢE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ＡＢCD所成的角．
考点:
平面与圆柱面的截线；直线与平面所成的角．
专题：
计算题;证明题．
分析：
(1)欲证AF⊥DＢ,先证AF⊥平面DEB，根据线面垂直的判定定理可知只需证EＢ⊥AF，AF⊥DE，且ＥB∩DE=E,即可证得线面垂直;
(2）点Ｅ作ＥＨ⊥AB，Ｈ是垂足，连接DH,易证∠EDH是DE与平面ABCＤ所成的角,在三角形ＥDH中求出此角即可.
解答：
(1）证明：根据圆柱性质,DA⊥平面ABＥ.
∵ＥB⊂平面ABE，
∴DA⊥EＢ.
∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上,
∴AE⊥EB，又AE∩ＡＤ=Ａ,
故得EB⊥平面ＤＡE.
∵ＡF⊂平面DAＥ，
∴EＢ⊥AF.
又AF⊥DE,且EB∩DE=E,
故得AF⊥平面DEB．
∵DB⊂平面DEB，
∴AF⊥DＢ.
（2）解：过点E作ＥH⊥AＢ，Ｈ是垂足,连接DH.
根据圆柱性质,平面ＡBCD⊥平面ABＥ,ＡB是交线．且EＨ⊂平面ABE，所以ＥＨ⊥平面ＡBCD．
又DH⊂平面ABＣD，所以DＨ是ＥD在平面ＡBCＤ上的射影，从而∠ＥＤH是DＥ与平面ＡＢＣD所成的角.
设圆柱的底面半径为Ｒ,则ＤA=AＢ=2R，于是
V圆柱＝2πＲ3,.
由Ｖ圆柱:VD﹣ABE＝3π,得EＨ=R，可知H是圆柱底面的圆心，
AＨ=R，
DＨ=
∴∠EＤH=arcctg=aｒcctｇ(/5),

点评:
本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力.
24.（１2分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量Ｐ千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：Ｐ=1０00（ｘ＋ｔ﹣8)（　x≥8,ｔ≥0）,Q=500(8≤x≤１4)．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．
（1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
(2)为使市场平衡价格不高于每千克１０元，政府补贴至少为每千克多少元？
考点:
根据实际问题选择函数类型.
专题:
应用题;压轴题.
分析：
本题综合考查函数、方程、不等式的解法等基础知识和方法．p=Ｑ得到方程，当根的判别式≥０时,方程有解,求出解可得函数．然后△≥0,原题ｔ≥0，8≤x≤14以及二次根式自变量取值范围得t的另一范围,联立得两个不等式组，求出解集可得自变量取值范围．第二小题,价格不高于１0元，得ｘ≤1０,求出t的取值范围．
解答:
解：(１)依题设有
10０0(x＋t﹣8）＝50０,
化简得5ｘ２+(８ｔ﹣８0)ｘ+(４ｔ2﹣６４t＋２8０)=0.
当判别式△=80０﹣16t2≥0时,
可得x=8﹣±.
由△≥0，t≥0,８≤x≤14，得不等式组：
①
②
解不等式组①,得0≤t≤，不等式组②无解．故所求的函数关系式为
函数的定义域为[0,].
（2)为使x≤１0,应有
8≤1０
化简得t２＋4t﹣5≥０．
解得t≥1或t≤﹣5,由t≥0知t≥１．从而政府补贴至少为每千克１元．
点评：
本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力,以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法.
2５.(１2分）设｛aｎ}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和．
(1）证明；
（２）是否存在常数c＞0，使得成立?并证明你的结论.
考点:
等比数列的前n项和；对数的运算性质;不等式的证明.
专题：
计算题;证明题；压轴题．
分析:
(1）设{aｎ}的公比为q，当ｑ=1时根据Ｓn•Sｎ＋2﹣Ｓn＋12求得结果小于0,不符合；当ｑ≠1时利用等比数列求和公式求得Ｓn•Sn＋２﹣Sｎ+１2<０,进而推断Sn•Ｓｎ+2，根据对数函数的单调性求得lｇ(Sｎ•Ｓn+２）
（ⅱ）当q≠1时,，从而
Sn•Sn＋2﹣Sｎ+12=
=﹣a12qn＜0.
由（i）和（ii）得Sn•Sn+２，＜Ｓn+12．根据对数函数的单调性,知
lｇ(Sn•Ｓｎ+2)＜lgSn+12,
即.
(2）解：不存在.
要使.成立,则有
分两种情况讨论：
（ｉ）当q＝１时,
（Sｎ﹣c）(Sn+２﹣c)=(Ｓn+1﹣c）2
=(ｎa1﹣c)［(n＋２)a１﹣ｃ]﹣[（n＋１)a1﹣c］２
＝﹣a12<0.
可知，不满足条件①，即不存在常数ｃ＞0,使结论成立．
（ii）当q≠１时,若条件①成立,因为
(Sn﹣c）（Sｎ+2﹣c）﹣（Ｓn+1﹣c)2
=
＝﹣a１ｑn[ａ1﹣c(１﹣q)]，
且a１qn≠0，故只能有a１﹣c(1﹣q）=０,即
此时,因为c＞0,a1＞0，所以０0，使结论成立.
综合(i）、(ｉi),同时满足条件①、②的常数c＞0不存在，即不存在常数c>０，使.
点评：
本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识,考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力．
26．（12分)已知椭圆,直线.P是l上点,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OＰ上且满足|OQ|•|OＰ|＝｜OR｜2，当点P在ｌ上移动时，求点Ｑ的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线．
考点：
轨迹方程椭圆的简单性质；曲线与方程.
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先设三个点P、R、Q的坐标分别为（xP,yP）,（xＲ，yR）,（x，y），利用共线条件得出它们坐标的关系，再依据条件|OQ|•|OP｜=|OR|2,将三点的坐标代入，最终得到关于x,y的方程即为所求．
解答:
解:由题设知点Ｑ不在原点．设P、R、Q的坐标分别为（xP，yＰ）,（xR,yR),（x,y）,其中x，y不同时为零.
当点P不在ｙ轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线,
得方程组
解得
由于点P在直线l上及点O、Q、P共线,得方程组．
解得
当点P在y轴上时，经验证①～④式也成立．
由题设|OQ|•|OP|=|OＲ|2,得
将①～④代入上式,化简整理得
因x与ｘp同号或y与yp同号，以及③、④知2x+3ｙ＞０,
故点Q的轨迹方程为（其中x,y不同时为零)．
所以点Ｑ的轨迹是以(１,1)为中心,长、短半轴分别为和且长轴与ｘ轴平行的椭圆、去掉坐标原点．

点评:
本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法,利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力.